定数分離と方程式の実数解の個数

$x=0$ は解ではない（左辺 $e^0=1$、右辺 $0$）。そこで $x\ne0$ として両辺を $x$ で割ると、方程式は
$$ 3=g(x),\qquad g(x):=\frac{e^x}x\quad(x\ne0) $$
と同じになる。いくつかの点で $g$ の値を計算する。

$g(0.5)>3>g(1)$、$g(1)<3< g(2)$ なので、$g$ が連続であることから（中間値の定理）、$0.5< x<1$ と $1< x<2$ に解が少なくとも 1 つずつある。$x<0$ では $e^x>0$、$x<0$ なので $g(x)<0$ で、$g(x)=3$ にはならない。
これで解は少なくとも 2 個と分かった。しかし、ちょうど 2 個だろうか。$x$ がもっと大きいところや、$0$ に近いところで、また $3$ になることはないだろうか。

$x>0$ で考える。両辺を $x$ で割ると $0.2=h(x)$、$h(x):=\dfrac{\log x}x$ となる。

$h(1)<0.2< h(e)$ と $h(10)>0.2>h(20)$ から、$1< x< e$ と $10< x<20$ に解が少なくとも 1 つずつある。$x=100$ では $h$ はもっと小さい。では、$x$ をさらに大きくしたとき、$h$ がまた増えて $0.2$ に戻ることはないのだろうか。表の値をいくら増やしても、この問いには答えられない。

1. $g(x)=x^3+x$ は $g'(x)=3x^2+1>0$ なので実数全体で増加する。$x\to-\infty$ で $g(x)\to-\infty$、$x\to\infty$ で $g(x)\to\infty$ なので、どんな実数 $a$ についても $x^3+x=a$ はちょうど 1 つの実数解をもつ。たとえば $a=2$ なら解は $x=1$ である（$1+1=2$）。
2. $g(x)=e^x-x$ を $x>0$ で考える。$g'(x)=e^x-1>0$（$x>0$）なので、$g$ は $(0,\infty)$ で増加する。$x\to+0$ で $g(x)\to e^0-0=1$ である。$x\to\infty$ では、後の lem-crg-growth の 1 から $e^x>1+x+\frac{x^2}2$ なので $g(x)>1+\frac{x^2}2\to\infty$ である。よって $e^x-x=a$ は、$a>1$ なら正の解をちょうど 1 つもち、$a\le1$ なら正の解をもたない。たとえば $a=e-1=1.718\ldots$ なら解は $x=1$ である。$a=1$ のときの解 $x=0$ は、区間 $(0,\infty)$ に入っていない。

$x\log x$ は、$x=0.1$ で $-0.230\ldots$、$x=0.01$ で $-0.0460\ldots$、$x=0.001$ で $-0.00690\ldots$ である。$\dfrac{\log x}x$ は $x=e$ までは増え、その後はゆっくり $0$ に近づく。$\dfrac{e^x}x$ の $x=10$ から $x=20$ への増え方に比べて、$\dfrac{\log x}x$ の減り方はずっと遅い。表の値だけから「$0$ に近づく」と決めることはできず、段 3 のような証明が要る。

1. $a=3$（$>e$）：解は $x=0.6190\ldots$ と $x=1.5121\ldots$ の 2 つである。ex-crg-start-exp で見つけた 2 つの区間 $0.5< x<1$、$1< x<2$ に 1 つずつあり、ほかにはない。
2. $a=2$（$0\le a< e$）：解はない。実際、$e^x-2x$ の最小値は $x=\log2$ でとる $2-2\log2=0.613\ldots>0$ である（$(e^x-2x)'=e^x-2$ の符号から）。
3. $a=-1$（$<0$）：$e^x=-x$ の解は $x=-0.5671\ldots$ の 1 つである。

$\log x$ は $x>0$ でだけ定義されるので、$x>0$ で考える。
段 1（分離する）。$x>0$ なので両辺を $x$ で割ってよく、方程式は $a=h(x)$、$h(x)=\dfrac{\log x}x$ と同じになる。
段 2（区間に分ける）。商の微分により
$$ h'(x)=\frac{\frac1x\cdot x-\log x\cdot1}{x^2}=\frac{1-\log x}{x^2} $$
である。$1-\log x>0\iff x< e$ なので、$h$ は $(0,e]$ で増加、$[e,\infty)$ で減少する。$h(e)=\dfrac1e=0.3678\ldots$ である。
段 3（端を調べる）。$x\to+0$ では $\log x\to-\infty$、$\dfrac1x\to\infty$ なので、積 $h(x)=\log x\cdot\dfrac1x\to-\infty$ である。$x\to\infty$ では lem-crg-growth の 3 により $h(x)\to0$ である。
段 4（数えて足す）。$(0,e)$ では $h$ は増加し、端の極限は $-\infty$ と $\frac1e$ なので、$a<\frac1e$ のとき解が 1 つある。$(e,\infty)$ では $h$ は減少し、端の極限は $\frac1e$ と $0$ なので、$0< a<\frac1e$ のとき解が 1 つある。$x=e$ は $a=\frac1e$ のときの解である。足すと

• $a\le0$：1 個（$(0,e)$ の中。$a=0$ なら $x=1$、$a<0$ なら $0< x<1$ の中）。
• $0< a<\dfrac1e$：2 個（$1< x< e$ と $x>e$ に 1 つずつ）。
• $a=\dfrac1e$：1 個（$x=e$）。
• $a>\dfrac1e$：0 個。
  数値：$a=0.2$ では解は $x=1.2958\ldots$ と $x=12.713\ldots$ の 2 つで、ex-crg-start-log で見つけた区間 $1< x< e$ と $10< x<20$ に 1 つずつある。$(e,\infty)$ で $h$ は減少し続けるので、$x=20$ より先で $0.2$ に戻ることはない。$a=-1$ では $\log x=-x$ の解は $x=0.5671\ldots$ の 1 つである。

方程式 $xe^x=ax$ を考える。両辺を $x$ で割ると $e^x=a$ となり、$a>0$ なら解 $x=\log a$ が 1 つ、$a\le0$ なら解なし、と数えてしまう。しかし $x=0$ は、どんな $a$ についても元の方程式の解である（両辺とも $0$）。$x(e^x-a)=0$ と因数分解して正しく数えると、

• $a\le0$：$x=0$ の 1 個。
• $a>0$、$a\ne1$：$x=0$ と $x=\log a$ の 2 個。
• $a=1$：$\log1=0$ なので $x=0$ の 1 個。
  となる。$x$ で割るときには、$x=0$ が解かどうかを必ず別に調べる。prop-crg-exp の段 1 で $x=0$ を先に調べたのは、このためである。

$g(x)=x-\dfrac1x$（$x\ne0$）は $g'(x)=1+\dfrac1{x^2}>0$ で、定義域のどの点でも導関数が正である。しかし $g(x)=0$ は $x=1$ と $x=-1$ の 2 つの解をもつ（$1-1=0$、$-1+1=0$）。$g(-1)=0=g(1)$ なので、$g$ は定義域全体では増加していない。rem-crg-premises の 1 は区間についての定理で、$(-\infty,0)\cup(0,\infty)$ は区間ではない。
区間ごとに thm-crg-monotone-count を使えば正しく数えられる。$(-\infty,0)$ では端の極限が $-\infty$（$x\to-\infty$）と $\infty$（$x\to0-0$）、$(0,\infty)$ では $-\infty$（$x\to0+0$）と $\infty$（$x\to\infty$）なので、どんな $a$ でも各区間に 1 つずつ、合わせて 2 個の解がある。実際 $x-\frac1x=a$ は $x^2-ax-1=0$ と同じで、判別式 $a^2+4>0$、2 つの解の積は $-1$ なので、正の解と負の解が 1 つずつある。

$g(x)=x$（$x<1$）、$g(x)=x+1$（$x\ge1$）とする。$g$ は実数全体で増加し、$x\to-\infty$ で $-\infty$、$x\to\infty$ で $\infty$ に近づく。しかし $g(x)=1.5$ には解がない。$x<1$ なら $g(x)=x<1$、$x\ge1$ なら $g(x)=x+1\ge2$ だからである。$g$ は $x=1$ で値が $1$ から $2$ へ跳ぶ（連続でない）ので、thm-crg-monotone-count の証明の段 4 で使った中間値の定理が使えない。微分可能な関数は連続なので、増減を導関数で調べた関数ではこの問題は起きない。

ex-crg-log の $h(x)=\dfrac{\log x}x$ を $(e,\infty)$ で考える。$h$ は減少し、$x\to\infty$ で $0$ に近づく。$a=0$ とすると、$h(x)=0$ となるのは $\log x=0$、つまり $x=1$ のときだけで、$(e,\infty)$ には解がない。$x$ を大きくすると $h(x)$ は $0$ にいくらでも近づく（$x=100$ で $0.046\ldots$、$x=10000$ で $0.00092\ldots$）が、$x>1$ では $\log x>0$ なので $h(x)>0$ のままである。
「$h$ の値は $\frac1e$ から $0$ まで動くから、$0\le a<\frac1e$ なら $(e,\infty)$ に解がある」と数えると、$a=0$ で解を 1 つ多く数えてしまう。端の極限は「近づく値」であって、とる値ではない。

1. $g(x)=\dfrac{e^x}x$：$g'(x)=\dfrac{(x-1)e^x}{x^2}$ なので、臨界点は $x=1$、臨界値は $g(1)=e$ である。
2. $g(x)=x^3-3x$：$g'(x)=3(x-1)(x+1)$ なので、臨界点は $x=\pm1$、臨界値は $g(-1)=2$ と $g(1)=-2$ である。解の配置 では、$x^3-3x=m$ の解の個数が $m=\pm2$ で変わることを見た。
3. $g(x)=x^3$：臨界点は $x=0$、臨界値は $0$ である。$x^3=a$ の解はどの $a$ でも 1 個で、臨界値 $0$ で個数は変わらない。臨界値は「個数が変わりうる値」であって、必ず変わるわけではない。

$g(x)=\dfrac{e^x}x$ を 2 つの区間 $(-\infty,0)$、$(0,\infty)$ に分けて命題を使う。$(-\infty,0)$ では臨界点はなく、端の極限は $0$ と $-\infty$ なので $S=\{0\}$ である。$(0,\infty)$ では臨界値は $e$、端の極限は $\infty$ と $\infty$ なので $S=\{e\}$ である。合わせると、個数が変わりうるのは $a=0$ と $a=e$ だけで、$a<0$、$0< a< e$、$a>e$ の各範囲では個数が一定である。各範囲から 1 つずつ $a=-1,1,3$ を選んで数えれば、prop-crg-exp の 1 個、0 個、2 個が得られる。$a=0$、$a=e$ は別に調べる。