最大値・最小値の定理（高校数学）

$f(x)=x^2-2x$ を閉区間 $0\le x\le3$ で考える。平方完成すると $f(x)=(x-1)^2-1$ なので、$(x-1)^2\ge0$ から、すべての $x$ で $f(x)\ge-1$ で、等号は $x=1$ のときである。最小値は $f(1)=-1$ である。また、$0\le x\le3$ では $-1\le x-1\le2$ なので $(x-1)^2\le4$、したがって $f(x)\le3$ で、等号は $x=3$ のときである。最大値は $f(3)=3$ である。

同じ $f(x)=x^2-2x$ を開区間 $0< x<3$ で考える。$x=1$ は区間に入るので、最小値は $-1$ のままである。一方、区間のどの $x$ でも $x<3$ なので $(x-1)^2<4$、つまり $f(x)<3$ である。しかも、$x$ を $3$ に近づけると $f(x)$ は $3$ にいくらでも近づく。たとえば $f(2.9)=2.61$、$f(2.99)=2.9601$、$f(2.999)=2.996001$ である。
$f(x)<3$ なので $3$ は最大値ではない。$3$ より小さい値 $M$ も最大値ではない。$f(x)>M$ となる $x$ が区間の中にあるからである（$3$ に十分近い $x$ をとればよい）。したがって、この関数には最大値がない。値は $3$ に「届かない」。

1. ex-evh-start-open の $f(x)=x^2-2x$（$0< x<3$）は、$K=3$ で上に有界で、最大値をもたない。有界であっても最大値があるとは限らない。
2. $f(x)=\dfrac1x$ を $0< x\le1$ で考える。$0< x\le1$ なら $\dfrac1x\ge1$ で、等号は $x=1$ のときなので、最小値は $1$ である。一方、$x=\dfrac1n$（$n$ は正の整数）で $f(x)=n$ なので、どんな定数 $K$ をとっても $f(x)>K$ となる $x$ がある。$f$ は上に有界でなく、最大値ももたない。
3. 最大値 $f(c)$ があれば、$K=f(c)$ として上に有界である。つまり「最大値がある」ほうが「上に有界」より強い。

$f(x)=x(2.6-x)$ を $[0,2]$ で考える。$f(x)=-(x-1.3)^2+1.69$ なので、この例では 2 次関数の知識で、各区間での最大値が分かる。区間を半分に切り、2 つの半分での最大値を比べて、大きいほう（等しければ左）を残す。大きいほうの半分は、比べた相手の半分のどの値にも負けない値を持つので、勝ち残りの区間になっている。

残った区間は $1.3$ を含んだまま縮み（図 1）、両端は最大の点 $x=1.3$ に近づく。

$f(x)=xe^{-x}$ を $[0,3]$ で考える。
段 1（存在）。$x$ と $e^{-x}$ は連続なので、積 $f$ も連続である。thm-evh-main により、$f$ は $[0,3]$ で最大値と最小値をもつ。
段 2（候補）。$f'(x)=e^{-x}-xe^{-x}=(1-x)e^{-x}$ である。最大値・最小値をとる点が区間の内側にあれば、そこで $f'=0$ となる（関数の増減と極値 の定理「最大・最小をとる点の候補」）。$f'(x)=0$ となるのは $x=1$ だけなので、候補は端点 $0$、$3$ と、$x=1$ の 3 つである。
段 3（比べる）。
$$ f(0)=0,\qquad f(1)=e^{-1}=0.3678\ldots,\qquad f(3)=3e^{-3}=0.1493\ldots $$
である。段 1 で最大値の存在が分かっていて、最大値をとる点はこの 3 つのどれかなので、最大値は $\dfrac1e$（$x=1$）、最小値は $0$（$x=0$）である（図 2）。

$f(x)=x^3-3x$ を、$x\ge-2$ の範囲（区間 $[-2,\infty)$）で考える。$f'(x)=3x^2-3=3(x+1)(x-1)$ なので、$f'=0$ となるのは $x=\pm1$ である。候補の値は
$$ f(-2)=-8+6=-2,\qquad f(-1)=-1+3=2,\qquad f(1)=1-3=-2 $$
で、ex-evh-candidates と同じように比べると「最大値は $2$」となりそうである。しかし $f(2.5)=15.625-7.5=8.125>2$ であり（図 3）、$x$ を大きくすると $f(x)$ はいくらでも大きくなる（$x\ge2$ なら $f(x)=x(x^2-3)\ge x$）。最大値はない。
破れているのは、区間が有界である（右端がある）という仮定である。最大値の存在が保証されないので、「最大値をとる点は候補のどれか」という推論の出発点がない。$f(-1)=2$ は極大値であって、最大値ではない。

$f(x)=x+\dfrac1x$ を $\dfrac12\le x\le3$ で考える。$f$ は分母が $0$ にならないこの区間で連続である。
段 1（最小値）。$x>0$ なので、相加平均と相乗平均の関係から $x+\dfrac1x\ge2\sqrt{x\cdot\dfrac1x}=2$ で、等号は $x=\dfrac1x$、すなわち $x=1$ のときである（相加平均と相乗平均）。最小値は $f(1)=2$ である。
段 2（最大値）。$f'(x)=1-\dfrac1{x^2}$ は $x=1$ でだけ $0$ になる。最大値は存在し（thm-evh-main）、その点は端点か $x=1$ なので、$f\bigl(\frac12\bigr)=\dfrac52$、$f(1)=2$、$f(3)=\dfrac{10}3$ を比べて、最大値は $\dfrac{10}3$ である。
段 3（値の範囲）。cor-evh-range により、$f$ のとる値の全体は $\Bigl[2,\dfrac{10}3\Bigr]$ である。たとえば $f(x)=3$ となる $x$ がある。実際、$x+\dfrac1x=3$ を解くと $x^2-3x+1=0$、$x=\dfrac{3\pm\sqrt5}2$ で、$\dfrac{3+\sqrt5}2=2.618\ldots$ は区間の中にある。

$f(x)=x$ を開区間 $0< x<1$ で考える。$f$ は連続で、$0< f(x)<1$ なので有界である。しかし最大値はない。区間のどの点 $c$ をとっても、$c<\dfrac{c+1}2<1$ なので、点 $\dfrac{c+1}2$ での値が $f(c)$ より大きい。同じく、$0<\dfrac c2< c$ なので、最小値もない。
証明のどこが崩れるか。勝ち残りの区間をとる操作は、閉区間 $[0,1]$ の中で行うと点 $1$ に集まる。点 $1$ は定義域に入らないので、prf-evh-main の段 2 の「$c$ は定義域の点」が成り立たない。

$f(x)=x$ を $x\ge0$ の範囲で考える。$f$ は連続である。どんな定数 $K$ をとっても、$x=|K|+1$ で $f(x)>K$ なので、上に有界でなく、最大値もない（最小値は $f(0)=0$ である）。区間に右端がないので、「区間を半分に切る」ことが最初からできない。

$[0,1]$ で $f(0)=0$、$0< x\le1$ で $f(x)=\dfrac1x$ と定める。区間は閉区間だが、$f$ は $x=0$ で連続でない（$x\to+0$ で $f(x)$ はいくらでも大きくなり、極限をもたない）。ex-evh-bounded の 2 と同じく、$x=\dfrac1n$ で $f(x)=n$ なので、上に有界でなく、最大値もない。
勝ち残りの区間は $0$ に集まる。prf-evh-main の段 3 の点 $y_n$ は $0$ に近づくが、$f(y_n)\ge f(x)$ を保ったまま大きな値をとり、$f(0)=0$ には近づかない。$f$ が $0$ で連続でないので、段 3 の「$f(y_n)\to f(c)$」が使えない。

$[0,1]$ で、$0\le x<1$ なら $f(x)=x$、$f(1)=0$ と定める。$0\le f(x)<1$ なので有界である。$0\le x<1$ の点 $c$ については、$\dfrac{c+1}2$ での値のほうが大きい。$f(1)=0$ も最大値ではない。よって最大値はない。値は $1$ にいくらでも近づくが、$x=1$ で値が $0$ に落ちるので、$1$ に届かない。$f$ は $x=1$ で連続でない（$\lim_{x\to1-0}f(x)=1\ne0=f(1)$）。ex-evh-open の関数に点 $1$ を付け加えても、そこでの値を $1$ より小さくすると、最大値は生まれない（$f(1)\ge1$ と決めれば最大値 $f(1)$ ができるが、$f(1)>1$ のときは $x=1$ で連続でない。連続でなくても最大値をもつことはあり、定理の仮定は結論が成り立つための十分条件である）。

$1\le x\le2$ を満たす有理数 $x$ だけを考え、$f(x)=-(x^2-2)^2$ とする。$f$ は多項式なので、有理数の点だけで考えても連続である。$x^2=2$ となる有理数はないので、どの有理数 $x$ でも $x^2-2\ne0$、つまり $f(x)<0$ である。一方、$\sqrt2$ に近づく有理数の列（たとえば $1.4,\ 1.41,\ 1.414,\ \ldots$）をとると、$f(x)$ は $0$ にいくらでも近づく。したがって、$f(c)$ をどの有理数 $c$ でとっても、それより大きい値をとる有理数 $x$ があり、最大値はない。勝ち残りの区間は $\sqrt2$ に向かって縮むが、$\sqrt2$ は有理数でないので、lem-evh-nested が有理数の中では成り立たない。
同じ範囲で $f(x)=\dfrac1{(x^2-2)^2}$ とすると、これも有理数の点では連続だが、上に有界でない。