グラフの概形と漸近線

$f(x)=\dfrac{x^2}{x-1}$（$x\ne1$）とする。
段 1（割り算）。$x^2$ を $x-1$ で割ると、商は $x+1$、余りは $1$ である（$x^2=(x-1)(x+1)+1$）。よって
$$ f(x)=x+1+\frac1{x-1} $$
である。
段 2（増減）。$f'(x)=1-\dfrac1{(x-1)^2}=\dfrac{(x-1)^2-1}{(x-1)^2}=\dfrac{x(x-2)}{(x-1)^2}$ である。分母は正なので、$f'$ の符号は $x(x-2)$ の符号と同じである。$f(0)=0$、$f(2)=\dfrac42=4$ である。
段 3（凹凸）。$f''(x)=\dfrac2{(x-1)^3}$ なので、$x<1$ で $f''<0$（上に凸）、$x>1$ で $f''>0$（下に凸）である。

段 4（遠くと、$x=1$ の近く）。段 1 の式で、$x\to\pm\infty$ のとき $\dfrac1{x-1}\to0$ なので、$f(x)-(x+1)\to0$ である。グラフは直線 $y=x+1$ に限りなく近づく。たとえば $x=10$ では $f(x)-(x+1)=\frac19=0.111\ldots$、$x=100$ では $\frac1{99}=0.0101\ldots$ である。また $x\to1+0$ で $f(x)\to\infty$、$x\to1-0$ で $f(x)\to-\infty$ で、グラフは直線 $x=1$ に沿って上下に伸びる。
直線 $y=x+1$ と $x=1$ を、このグラフの漸近線という（図1）。極大値 $0$ が極小値 $4$ より小さいことも、2 つの枝が漸近線で分かれていることから説明がつく。

$g(x)=xe^{-x}$ とする。積の微分（積の微分とLeibnizの公式）により $g'(x)=e^{-x}-xe^{-x}=(1-x)e^{-x}$、$g''(x)=-e^{-x}-(1-x)e^{-x}=(x-2)e^{-x}$ である。$e^{-x}>0$ なので、$x<1$ で増加、$x>1$ で減少し、$x=1$ で極大値 $\dfrac1e=0.367\ldots$ をとる。$x<2$ で上に凸、$x>2$ で下に凸で、点 $\Bigl(2,\dfrac2{e^2}\Bigr)=(2,\,0.270\ldots)$ は変曲点である。
$x\to\infty$ では $g(x)=\dfrac x{e^x}\to0$ である（定数分離と方程式の実数解の個数 の補題「指数関数と対数関数の増え方」）。グラフは右へ行くと $x$ 軸に近づく。一方、$x\to-\infty$ では $x\to-\infty$、$e^{-x}\to\infty$ なので $g(x)\to-\infty$ で、しかも $\dfrac{g(x)}x=e^{-x}\to\infty$ である。左へ行くと、グラフはどんな直線よりも急に落ちていく（図2）。

1. $y=\dfrac1x$：$x\to+0$ で $\infty$、$x\to-0$ で $-\infty$ なので $x=0$ は縦の漸近線である。$x\to\pm\infty$ で $\dfrac1x\to0$ なので、$y=0$ は両側で横の漸近線である。
2. $y=\tan x$：$x\to\dfrac\pi2-0$ で $\infty$、$x\to\dfrac\pi2+0$ で $-\infty$ なので、$x=\dfrac\pi2$ は縦の漸近線である。周期 $\pi$ から、$x=\dfrac\pi2+n\pi$（$n$ は整数）はすべて縦の漸近線である（三角関数のグラフと周期）。
3. ex-csa-start-exp の $y=xe^{-x}$：$x\to\infty$ で $y=0$ は横の漸近線である。$x\to-\infty$ には漸近線がない（後の thm-csa-slant で、$\frac{g(x)}x\to\infty$ がその理由になる）。

1. ex-csa-start-rational の $f(x)=\dfrac{x^2}{x-1}$：$\dfrac{f(x)}x=\dfrac x{x-1}=\dfrac1{1-\frac1x}\to1$、$f(x)-x=\dfrac{x^2-x(x-1)}{x-1}=\dfrac x{x-1}\to1$。よって $y=x+1$ で、割り算の結果と一致する。$x\to-\infty$ でも同じ計算で $y=x+1$ である。
2. $f(x)=\sqrt{x^2+1}$：$x\to\infty$ では $\dfrac{f(x)}x=\sqrt{1+\frac1{x^2}}\to1$ で、分子を有理化すると
   $$ f(x)-x=\frac{(x^2+1)-x^2}{\sqrt{x^2+1}+x}=\frac1{\sqrt{x^2+1}+x}\to0 $$
   なので、漸近線は $y=x$ である。$x\to-\infty$ では $x<0$ なので $\dfrac{f(x)}x=-\sqrt{1+\frac1{x^2}}\to-1$、$f(x)+x=\dfrac1{\sqrt{x^2+1}-x}\to0$（分母は $\infty$ に近づく）なので、漸近線は $y=-x$ である。左右で漸近線が違う。

$a>0$、$b>0$ とし、双曲線 $\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1$ の $x\ge a$、$y\ge0$ の部分を考える。$y$ について解くと $y=f(x)=\dfrac ba\sqrt{x^2-a^2}$ である。
$\dfrac{f(x)}x=\dfrac ba\sqrt{1-\dfrac{a^2}{x^2}}\to\dfrac ba$ であり、
$$ f(x)-\frac bax=\frac ba\bigl(\sqrt{x^2-a^2}-x\bigr)=\frac ba\cdot\frac{-a^2}{\sqrt{x^2-a^2}+x}\to0 $$
である。よって漸近線は $y=\dfrac bax$ である。ほかの部分も、$x$ を $-x$ に、$y$ を $-y$ に置きかえる対称性から、漸近線は 2 本の直線 $y=\pm\dfrac bax$ である。たとえば $a=3$、$b=2$、$x=30$ のとき、$f(30)-\frac23\cdot30=\frac23(\sqrt{891}-30)=-0.1002\ldots$ で、差はすでに小さい。

1. $\dfrac{2x+1}{x-3}$：$2x+1=(x-3)\cdot2+7$ なので $S=2$。横の漸近線 $y=2$、縦の漸近線 $x=3$。
2. $\dfrac{x^3}{x^2-1}$：$x^3=(x^2-1)x+x$ なので $S=x$。斜めの漸近線 $y=x$、縦の漸近線 $x=1$、$x=-1$（$x^3$ と $x^2-1=(x-1)(x+1)$ は共通の因数をもたない）。
3. $\dfrac{x^4}{x^2+1}$：$x^4=(x^2+1)(x^2-1)+1$ なので $S=x^2-1$ は 2 次で、漸近線はない。実際 $\dfrac{f(x)}x=\dfrac{x^3}{x^2+1}\to\infty$（$x\to\infty$）である。分母 $x^2+1$ は $0$ にならないので、縦の漸近線もない。
4. $\dfrac{x^2-1}{x-1}$：分子・分母は共通の因数 $x-1$ をもち、$x\ne1$ で $\dfrac{x^2-1}{x-1}=x+1$ である。$x\to1$ で値は $2$ に近づくので、$x=1$ は縦の漸近線ではない。グラフは直線 $y=x+1$ から点 $(1,2)$ を除いたものである。

1. $f(x)=x+\log x$（$x>0$）：$\dfrac{f(x)}x=1+\dfrac{\log x}x\to1$（定数分離と方程式の実数解の個数 の補題）だが、$f(x)-x=\log x\to\infty$ なので、$k$ が存在しない。グラフは傾き $1$ の方向へ伸びるが、どの直線 $y=x+k$ からも離れていく。
2. $f(x)=\sqrt x$：$\dfrac{f(x)}x=\dfrac1{\sqrt x}\to0$ だが、$f(x)-0\cdot x=\sqrt x\to\infty$ なので、横の漸近線はない。傾き $0$ の方向（放物線 $x=y^2$ の向き）へ伸びる。
3. $f(x)=xe^{-x}$ の $x\to-\infty$：ex-csa-start-exp のとおり $\dfrac{f(x)}x=e^{-x}\to\infty$ で、$m$ が存在しない。

$h(x)=\dfrac{x^3}{x^2-1}$ とする。
段 1（定義域と対称性）。$x\ne\pm1$ で定義される。$h(-x)=\dfrac{-x^3}{x^2-1}=-h(x)$ なので、グラフは原点に関して対称である。$h(x)=0$ となるのは $x=0$ だけである。
段 2（増減）。商の微分により
$$ h'(x)=\frac{3x^2(x^2-1)-x^3\cdot2x}{(x^2-1)^2}=\frac{x^4-3x^2}{(x^2-1)^2}=\frac{x^2(x^2-3)}{(x^2-1)^2} $$
である。$h'$ の符号は $x^2-3$ の符号と同じで（$x=0$ では $h'=0$）、$|x|>\sqrt3$ で増加、$|x|<\sqrt3$（$x\ne\pm1$）で減少する。$x=\sqrt3$ で極小値 $h(\sqrt3)=\dfrac{3\sqrt3}{3-1}=\dfrac{3\sqrt3}2=2.598\ldots$、$x=-\sqrt3$ で極大値 $-\dfrac{3\sqrt3}2$ をとる。$x=0$ では $h'=0$ だが、前後で $h'<0$ なので極値ではない。
段 3（凹凸）。計算すると $h''(x)=\dfrac{2x(x^2+3)}{(x^2-1)^3}$ である。$x^2+3>0$ なので、$h''$ の符号は $\dfrac x{(x^2-1)^3}$ の符号と同じで、$x<-1$ で $-$、$-1< x<0$ で $+$、$0< x<1$ で $-$、$x>1$ で $+$ である。$x=0$ の前後で符号が変わるので、原点は変曲点である。
段 4（漸近線）。$x^3=(x^2-1)x+x$ なので $h(x)=x+\dfrac x{x^2-1}$ で、prop-csa-rational により $y=x$ は両側の漸近線、$x=\pm1$ は縦の漸近線である。$x\to1+0$ では分子 $1$、分母は正のまま $0$ に近づくので $h\to\infty$、$x\to1-0$ では $h\to-\infty$ である。
段 5（表）。$x\ge0$ の部分は次のとおりで、$x<0$ の部分は原点に関して対称に描く（図3）。

$f(x)=x+\dfrac{\sin x^2}x$（$x>0$）とする。$\left|\dfrac{\sin x^2}x\right|\le\dfrac1x\to0$ なので、$y=x$ は $x\to\infty$ での漸近線である。一方、導関数は
$$ f'(x)=1+\frac{2x\cos x^2\cdot x-\sin x^2}{x^2}=1+2\cos x^2-\frac{\sin x^2}{x^2} $$
である。$x=\sqrt{2n\pi}$（$n$ は正の整数）では $\cos x^2=1$、$\sin x^2=0$ なので $f'(x)=3$、$x=\sqrt{(2n+1)\pi}$ では $\cos x^2=-1$、$\sin x^2=0$ なので $f'(x)=-1$ である。どちらの $x$ もいくらでも大きくとれるので、$f'(x)$ は $x\to\infty$ で極限をもたない。グラフは直線 $y=x$ のまわりを細かく揺れながら近づき、接線の傾きは $1$ に近づかない（図4の右）。prop-csa-derivative-limit は「$f'$ に極限があるなら」という仮定のもとでだけ成り立つ。

$f(x)=\dfrac{\sin x}x$（$x>0$）は、$\left|\dfrac{\sin x}x\right|\le\dfrac1x\to0$ なので、$y=0$ を $x\to\infty$ での横の漸近線にもつ。しかし $x=n\pi$（$n$ は正の整数）では $f(x)=0$ で、グラフは漸近線と無限回交わる（図4の左）。漸近線の定義（def-csa-asymptote）は「差が $0$ に近づく」ことだけを求めていて、「交わらない」ことは求めていない。ex-csa-start-rational のように交わらない場合が多いが、それは定義から出ることではない。

1. $F(x,y)=x^2-xy+y$ に $y=mx+k$ を代入すると
   $$ x^2-x(mx+k)+(mx+k)=(1-m)x^2+(m-k)x+k $$
   となる。この $x$ の式が $0$ になる $x$ が、直線と曲線の交点の $x$ 座標である。$x^2$ の係数が $0$（$m=1$）で、さらに $x$ の係数も $0$（$k=m=1$）となるのは $y=x+1$ のときで、そのとき式は定数 $1$ になり、交点は 1 つもない。$y=x+1$ は ex-csa-start-rational で求めた漸近線である。同じように $x=c$ を代入すると $c^2-cy+y=(1-c)y+c^2$ で、$y$ の係数が $0$ になるのは $c=1$、そのとき式は $1$ で交点がない。$x=1$ は縦の漸近線である。
2. 双曲線 $\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1$ に $y=\dfrac bax+k$ を代入すると、$x^2$ の項は消えて $-\dfrac{2k}{ab}x-\dfrac{k^2}{b^2}-1=0$ となる。$x$ の係数も $0$ になるのは $k=0$ で、そのとき式は $-1=0$ となり交点がない。$y=\dfrac bax$ は ex-csa-hyperbola で求めた漸近線である。