半マルチンゲール
概要
半マルチンゲール（semimartingale）とは、局所マルチンゲールと有限変動過程の和に書ける càdlàg な適合過程である。Brown 運動にドリフトを足したもの、Poisson 過程、Lévy 過程などを含み、確率積分と伊藤の公式が働く自然な類である。Bichteler–Dellacherie の定理により、単純な被積分過程の積分が連続に振る舞う càdlàg な適合過程はこの類に限られる。分解は一般に一意でないが、連続半マルチンゲールの連続な分解は一意で、これは連続な局所マルチンゲールが有限変動なら $0$ であることによる。
半マルチンゲール（semimartingale）は、局所マルチンゲールと有限変動過程の和に書ける連続時間の確率過程である。「公平な賭けのように揺れる部分」と「経路ごとに Stieltjes 積分ができる、ゆるやかに動く部分」の和と思えばよい。Brown運動 にドリフトを足したもの、伊藤過程、Poisson過程、Lévy 過程など、確率解析に現れる過程の多くがここに入る。
この類が重要なのは、確率積分と 伊藤の公式 がちょうどこの類の上で働くからである。$C^2$ 級の関数で写しても半マルチンゲールのままであり（Mey76 IV.21、p. 301）、さらに Bichteler–Dellacherie の定理により、単純な被積分関数の積分が連続に振る舞う càdlàg 適合過程はこの類に限られる（BSV10 Theorem 1.2）。
分解は一般には一意でない。しかし過程が連続で、分解の 2 つの項も連続と決めれば一意である。その鍵は「連続な局所マルチンゲールで有限変動なものは定数しかない」ことで、この記事ではこれを、もう少し強い「2 次変分が消える連続な局所マルチンゲールは定数である」という形で証明する。そこから、2 次変分の和が $0$ に近づく連続半マルチンゲールは有限変動であること、確定した関数が連続半マルチンゲールになるのは有限変動のときに限ること、$H>1/2$ の非整数 Brown 運動が連続半マルチンゲールでないことが従う。一方、確率積分の構成、伊藤の公式、Bichteler–Dellacherie の定理の難しい向き、Doob–Meyer の分解は引用であり、この記事では証明しない。
| 結果 | 内容 | この記事での扱い |
|---|---|---|
| thm-smg-zero-qv | 2 次変分の和が $0$ に近づく連続局所マルチンゲールは $0$ | 証明 |
| thm-smg-unique | 連続半マルチンゲールの連続な分解は一意 | 証明 |
| cor-smg-qv-fv | 2 次変分が消える連続半マルチンゲールは有限変動 | 証明 |
| prop-smg-bounded | 単純な積分の確率有界性（連続の場合） | 証明 |
| cor-smg-deterministic | 確定した連続関数の判定 | 証明 |
| thm-smg-bd | Bichteler–Dellacherie の定理 | 引用 |
| thm-smg-ito | 伊藤の公式（半マルチンゲール版） | 引用 |
| thm-smg-special | 予測可能な分解の一意性 | 引用 |
定義
以下、確率空間 $(\Omega,\mathcal F,P)$ の上の増大する $\sigma$-代数の族 $(\mathcal F_t)_{t\ge0}$ を固定し、右連続で $\mathcal F_0$ が零集合をすべて含むと仮定する（通常の条件）。過程はこれに適合しているとする。càdlàg とは、経路が右連続で各点で左極限をもつことをいう。過程の等号は、経路全体が確率 $1$ で一致する（区別できない）という意味である。マルチンゲール の定義と停止時刻は同じ記事による。連続時間では、右連続なマルチンゲールと停止時刻 $\tau$ について、止めた過程 $M^\tau:=(M_{t\wedge\tau})_{t\ge0}$ もマルチンゲールである（lem-smg-localize の証明を見よ）。
$\pi\colon a=t_0< t_1<\dots< t_n=b$ を区間 $[a,b]$ の分割とする。
- càdlàg な適合過程 $A$ が $A_0=0$ を満たし、すべての経路と $T>0$ について全変動 $V_T(A):=\sup_\pi\sum_i\lvert A_{t_i}-A_{t_{i-1}}\rvert$（$[0,T]$ の分割についての上限）が有限であるとき、$A$ を有限変動過程という。
- càdlàg な適合過程 $M$ が $M_0=0$ を満たし、確率 $1$ で $\tau_n\uparrow\infty$ となる停止時刻の列で、各 $M^{\tau_n}$ がマルチンゲールになるものがあるとき、$M$ を局所マルチンゲールという。列 $(\tau_n)$ を局所化列という。
càdlàg な適合過程 $X$ が半マルチンゲールであるとは、
$$X_t=X_0+M_t+A_t\qquad(t\ge0)$$
と書けることをいう。ここで $M$ は局所マルチンゲール、$A$ は有限変動過程である。さらに $X$、$M$、$A$ がすべて連続な経路をもつようにとれるとき、$X$ を連続半マルチンゲールといい、この書き方を連続な分解という。
$A$ に可積分性は課さない（Mey76 IV.15、p. 298）。$M$ を真のマルチンゲールに限り可積分性も課す定義もあり、DM70 p. 92 の脚注は、この記事の定義の過程を厳密には「局所」半マルチンゲールと呼ぶべきものとしている。現在はこの記事の定義が標準である。日本語ではセミマルチンゲールともいう。
直観としては、$A$ が過程の傾向、$M$ が公平なゆらぎを表す。離散時間では マルチンゲール の定理「Doobの分解」により、可積分な適合過程はすべてマルチンゲールと予測可能な過程の和になるので、この分解に制約はない。連続時間では $A$ の有限変動性が本物の条件になり、制約が生じる。
例
強度 $\lambda>0$ の Poisson過程 $N$ を、自身の生成する（完備化した）$\sigma$-代数の族に関して考える。増分の独立性と $E[N_t-N_s]=\lambda(t-s)$ から、$N_t-\lambda t$ はマルチンゲールである。したがって
$$N_t=(N_t-\lambda t)+\lambda t,\qquad N_t=0+N_t$$
はどちらも半マルチンゲールの分解で、$A$ が違う。これは、$N_t-\lambda t$ が $0$ でない局所マルチンゲールで、しかも有限変動であることを意味する。連続性を外すと cor-smg-fv が成り立たない反例である。
基本的な性質
半マルチンゲールの全体は実ベクトル空間をなす。$X$ が半マルチンゲールで $\tau$ が停止時刻なら、$X^\tau$ も半マルチンゲールである。
$M,M'$ が局所マルチンゲールで局所化列が $(\tau_n),(\tau_n')$ なら、$\tau_n\wedge\tau_n'$ が $M+M'$ の局所化列になる。止めたマルチンゲールはマルチンゲールだからである。定数倍は明らかで、有限変動過程の和と定数倍も有限変動である。$X=X_0+M+A$ のとき $X^\tau=X_0+M^\tau+A^\tau$ で、$(M^\tau)^{\tau_n}=(M^{\tau_n})^\tau$ はマルチンゲール、$V_T(A^\tau)\le V_T(A)$ である。$\square$
$X$ が局所的に半マルチンゲールなら半マルチンゲールである（停止時刻の列 $T_n\uparrow\infty$ で各 $X^{T_n}$ が半マルチンゲールなら $X$ もそうである。Mey76 IV.33、p. 311）。積も半マルチンゲールで（同 IV.23）、確率測度を同値なものに取り替えても半マルチンゲールのままである（同 VI.23、p. 377）。分解は取り替えで変わり、その変わり方を述べるのが Girsanovの定理 である。これらの証明は確率積分を要するので、この記事では証明しない。
連続な分解の一意性
$[0,T]$ の分割 $\pi\colon0=t_0< \dots< t_n=T$ の幅を $\lvert\pi\rvert:=\max_i(t_i-t_{i-1})$ と書き、過程 $Y$ について
$$S_\pi(Y):=\sum_{i=1}^n(Y_{t_i}-Y_{t_{i-1}})^2,\qquad\omega_\pi(Y):=\sup\{\lvert Y_s-Y_u\rvert\mid s,u\in[0,T],\ \lvert s-u\rvert\le\lvert\pi\rvert\}$$
とおく。$Y$ の経路が連続なら、一様連続性により $\lvert\pi\rvert\to0$ で $\omega_\pi(Y)\to0$ である。
$M$ を連続な局所マルチンゲールとし、$\tau_n:=\inf\{t\mid\lvert M_t\rvert\ge n\}$ とおく。このとき $\tau_n$ は停止時刻で、$\tau_n\uparrow\infty$ であり、$M^{\tau_n}$ は $n$ で抑えられるマルチンゲールである。
$M$ の連続性から $\{\tau_n\le t\}=\{\sup_{s\le t}\lvert M_s\rvert\ge n\}\in\mathcal F_t$ で、経路は有界区間で有界だから $\tau_n\uparrow\infty$ である。局所化列 $(\sigma_k)$ をとると、$M^{\sigma_k\wedge\tau_n}$ はマルチンゲールで、$k\to\infty$ で $M^{\tau_n}$ に各点で収束し、$n$ で抑えられる。条件付き期待値の優収束定理により $M^{\tau_n}$ はマルチンゲールである。
止めた過程がマルチンゲールであること
右連続なマルチンゲール $Y$ と有界な停止時刻 $S$ について $E[Y_S]=E[Y_0]$ である（Dur19 Theorem 7.5.1、p. 375）。$\tau$ を停止時刻、$s< t$、$C\in\mathcal F_s$ とし、$S$ を $C$ の上で $\tau\wedge t$、$C$ の外で $\tau\wedge s$ と定める。$u< s$ なら $\{S\le u\}=\{\tau\le u\}$、$u\ge s$ なら $\{S\le u\}=(C\cap\{\tau\wedge t\le u\})\cup(\Omega\setminus C)\in\mathcal F_u$ なので、$S$ は有界な停止時刻である。$E[Y_S]=E[Y_{\tau\wedge s}]=E[Y_0]$ を引き算すると $E[Y_{\tau\wedge t}1_C]=E[Y_{\tau\wedge s}1_C]$ である。よって $Y^\tau$ はマルチンゲールである。$\square$
$N$ が $\lvert N\rvert\le K$ を満たすマルチンゲールで $N_0=0$ なら、$[0,T]$ の任意の分割 $\pi$ について
$$E[S_\pi(N)]=E[N_T^2],\qquad E[S_\pi(N)^2]\le12K^4$$
である。
増分の直交性から $E[S_\pi(N)]=E[N_T^2]\le K^2$ である。$S_\pi(N)^2$ を展開し、同じ時刻より後ろの増分の和を条件付き期待値で $4K^2$ に抑える。
詳しい証明を開く
$D_i:=N_{t_i}-N_{t_{i-1}}$ とおく。$i< j$ なら $E[D_iD_j]=E\bigl[D_iE[D_j\mid\mathcal F_{t_{j-1}}]\bigr]=0$ で、同じ計算を条件付きで行うと、各 $i$ について
$$\sum_{j>i}E[D_j^2\mid\mathcal F_{t_i}]=E[(N_T-N_{t_i})^2\mid\mathcal F_{t_i}]\le4K^2$$
である。$i=0$ の形の期待値から $E[S_\pi(N)]=E[N_T^2]\le K^2$ を得る。次に
$$S_\pi(N)^2=\sum_iD_i^4+2\sum_iD_i^2\sum_{j>i}D_j^2$$
と展開する。$\lvert D_i\rvert\le2K$ から $\sum_iD_i^4\le4K^2S_\pi(N)$ で、第 $2$ 項の期待値は、$D_i^2$ が $\mathcal F_{t_i}$ 可測であることと上の評価から $8K^2E[S_\pi(N)]$ 以下である。合わせて $E[S_\pi(N)^2]\le12K^2\cdot K^2$ である。$\square$
$M$ を連続な局所マルチンゲール、$T>0$ とし、$[0,T]$ の分割の列 $(\pi_k)$ が $\lvert\pi_k\rvert\to0$ を満たすとする。$S_{\pi_k}(M)\to0$（確率収束）なら、確率 $1$ ですべての $t\in[0,T]$ について $M_t=0$ である。
$\tau_n$ を lem-smg-localize のものとし、$N:=M^{\tau_n}$ とおく。分割の区間のうち $\tau_n$ を内部に含むものは高々 $1$ つで、そこの増分は $\omega_\pi(M)$ 以下だから、
$$S_\pi(N)\le S_\pi(M)+\omega_\pi(M)^2$$
である。右辺は $\pi=\pi_k$ で $0$ に確率収束する。lem-smg-moment により $S_{\pi_k}(N)$ は $L^2$ 有界なので一様可積分で、$E[S_{\pi_k}(N)]\to0$ である。同じ補題の等式から $E[N_T^2]=0$ である。$N$ はマルチンゲールだから $t\le T$ で $N_t=E[N_T\mid\mathcal F_t]=0$ で、連続性から $[0,T]$ 全体で確率 $1$ で $N=0$ である。$n\to\infty$ として $\tau_n\uparrow\infty$ を使えば結論を得る。$\square$
連続な局所マルチンゲール $M$ が有限変動なら、$M=0$ である。
$S_\pi(M)\le\max_i\lvert M_{t_i}-M_{t_{i-1}}\rvert\sum_i\lvert M_{t_i}-M_{t_{i-1}}\rvert\le\omega_\pi(M)V_T(M)$ が $\lvert\pi\rvert\to0$ で $0$ に収束するので、すべての $T$ について thm-smg-zero-qv を使えばよい。$\square$
連続半マルチンゲール $X$ の連続な分解 $X=X_0+M+A$ は一意である。
$X=X_0+M+A=X_0+M'+A'$ を $2$ つの連続な分解とする。$M-M'=A'-A$ は連続な局所マルチンゲール（prop-smg-basic の証明）で有限変動だから、cor-smg-fv により $0$ である。$\square$
$M$ を $X$ の局所マルチンゲール部分、$A$ を有限変動部分という。項の連続性は省けない。ex-smg-poisson の $N$ を使うと、連続な過程 $X=0$ にも $0=(N_t-\lambda t)+(\lambda t-N_t)$ という $0+0$ と異なる分解がある。
2 次変分
有限変動の項は 2 乗和に寄与しない。
$X=X_0+M+A$ を連続半マルチンゲールの連続な分解とすると、$[0,T]$ の分割について
$$\lvert S_\pi(X)-S_\pi(M)\rvert\le\bigl(2\omega_\pi(M)+\omega_\pi(A)\bigr)V_T(A)$$
が成り立つ。とくに $\lvert\pi\rvert\to0$ で右辺は $0$ に収束する。
増分を $\Delta_iM,\Delta_iA$ と書くと $S_\pi(X)-S_\pi(M)=2\sum_i\Delta_iM\,\Delta_iA+\sum_i(\Delta_iA)^2$ である。$\lvert\Delta_iM\rvert\le\omega_\pi(M)$、$\lvert\Delta_iA\rvert\le\omega_\pi(A)$ と $\sum_i\lvert\Delta_iA\rvert\le V_T(A)$ から従う。$\square$
連続な局所マルチンゲール $M$ については、$\lvert\pi\rvert\to0$ で $S_\pi(M)$ が連続な増加過程 $[M]_T$ に確率収束する（Mey76 VI.4、p. 358。同書の和と $[X,X]$ は $X_0^2$ の項を含むが、ここでは $X_0=0$ の部分だけを見ている。この記事では証明しない）。prop-smg-qv-drop により、連続半マルチンゲール $X$ でも $S_\pi(X)$ は同じ極限に収束する。この極限 $[X]:=[M]$ を $X$ の 2 次変分という。Brown 運動では $[B]_T=T$ である（$S_\pi(B)$ の平均は $T$、分散は $2\sum_i(t_i-t_{i-1})^2\le2T\lvert\pi\rvert$）。
$X=X_0+M+A$ を連続半マルチンゲールの連続な分解とし、$[0,T]$ の分割の列 $(\pi_k)$ で $\lvert\pi_k\rvert\to0$、$S_{\pi_k}(X)\to0$（確率収束）となるものがあるとする。このとき確率 $1$ で $[0,T]$ の上 $M=0$ であり、$X-X_0$ は $[0,T]$ で $A$ に等しく、有限変動である。
prop-smg-qv-drop により $S_{\pi_k}(M)\to0$（確率収束）である。thm-smg-zero-qv により結論を得る。$\square$
逆に $X-X_0$ が有限変動なら、$S_\pi(X)\le\omega_\pi(X)V_T(X)\to0$ なので cor-smg-qv-fv が当てはまり、局所マルチンゲール部分は $0$ である。
確率積分と伊藤の公式
$H$ を局所有界な予測可能過程（定義は def-smg-predictable）とする。局所マルチンゲール $M$ に対して局所マルチンゲール $H\cdot M$ が定まり（Mey76 IV.18、p. 299）、半マルチンゲール $X=X_0+M+A$ に対して
$$\int_0^tH_s\,dX_s:=(H\cdot M)_t+\int_0^tH_s\,dA_s$$
とおく。第 $2$ 項は経路ごとの Stieltjes 積分である。右辺は分解の取り方によらない（同 IV.20、pp. 300–301）。ex-smg-poisson のように分解が一意でなくても積分が定まるのは、$2$ つの分解の差の上で $2$ つの積分の定義が一致するからである。この構成はこの記事では証明しない。伊藤の公式 の記事は Brown 運動に対する積分を $L^2$ の等長性から作っており、$H\cdot M$ はその一般化である。
$X$ を半マルチンゲール、$F$ を $\mathbb R$ 上の $C^2$ 級関数とする。$F\circ X$ は半マルチンゲールで、
$$F(X_t)=F(X_0)+\int_0^tF'(X_{s-})\,dX_s+\frac12\int_0^tF''(X_{s-})\,d[X^c]_s+\sum_{0< s\le t}\bigl(F(X_s)-F(X_{s-})-F'(X_{s-})\Delta X_s\bigr)$$
が成り立つ。ここで $X^c$ は $X$ の連続なマルチンゲール部分、$\Delta X_s:=X_s-X_{s-}$ で、右辺の級数は確率 $1$ で絶対収束する。とくに $X$ が連続なら
$$F(X_t)=F(X_0)+\int_0^tF'(X_s)\,dX_s+\frac12\int_0^tF''(X_s)\,d[X]_s$$
である。
これは Mey76 IV.21（p. 301）の $1$ 次元の場合で、多次元でも同じ形で成り立つ。この記事では証明しない。連続な場合の分解は、局所マルチンゲール部分が $\int_0^tF'(X_s)\,dM_s$、有限変動部分が $\int_0^tF'(X_s)\,dA_s+\frac12\int_0^tF''(X_s)\,d[X]_s$ で、thm-smg-unique によりこれが $F(X)$ の連続な分解である。$F(x)=x^2$ とすると $X_t^2=X_0^2+2\int_0^tX_s\,dX_s+[X]_t$ となり、Stieltjes 積分の連鎖律との差がちょうど 2 次変分であることが分かる。
次の命題は、半マルチンゲールが積分の相手として働く理由の初等的な部分である。
$X$ を連続半マルチンゲール、$T>0$ とする。任意の $\varepsilon>0$ に対して定数 $C$ があり、$[0,T]$ の任意の分割 $0=t_0< \dots< t_n=T$ と、$\mathcal F_{t_{i-1}}$ 可測で $\lvert h_i\rvert\le1$ を満たす確率変数 $h_1,\dots,h_n$ について
$$P\Bigl(\Bigl\lvert\sum_{i=1}^nh_i(X_{t_i}-X_{t_{i-1}})\Bigr\rvert>C\Bigr)< \varepsilon$$
が成り立つ。
$\lvert M\rvert+V(A)$ が $m$ に達する時刻で止めると、$A$ の項の和は $m$ 以下、$M$ の項の和は増分の直交性から $L^2$ ノルムが $m$ 以下である。$\tau_m\uparrow\infty$ と Chebyshev の不等式で結論を得る。
詳しい証明を開く
$X=X_0+M+A$ を連続な分解とする。全変動 $V_t(A)$ は連続な適合過程である。$\tau_m:=\inf\{t\mid\lvert M_t\rvert+V_t(A)\ge m\}$ とおくと $\tau_m\uparrow\infty$ で、$N:=M^{\tau_m}$ は lem-smg-localize の議論により $m$ で抑えられるマルチンゲールである。$m$ を $P(\tau_m< T)< \varepsilon/2$ となるようにとる。
$\{\tau_m\ge T\}$ の上では、問題の和は $I+J$ に等しい。ここで $D_i:=N_{t_i}-N_{t_{i-1}}$、$I:=\sum_ih_iD_i$、$J:=\sum_ih_i(A^{\tau_m}_{t_i}-A^{\tau_m}_{t_{i-1}})$ で、$\lvert J\rvert\le m$ である。$i< j$ なら $h_iD_ih_j$ は $\mathcal F_{t_{j-1}}$ 可測で有界なので $E[h_iD_ih_jD_j]=0$ である。よって $E[I^2]=\sum_iE[h_i^2D_i^2]\le\sum_iE[D_i^2]=E[N_T^2]\le m^2$ である。
Chebyshev の不等式から、$C>m$ について問題の確率は $P(\tau_m< T)+m^2/(C-m)^2$ 以下である。$C$ を大きくとれば $\varepsilon$ 未満になる。$C$ は分割にも $h_i$ にもよらない。$\square$
一般の半マルチンゲールでも同じ性質が成り立ち、しかも逆が成り立つ。BSV10 にしたがい、停止時刻 $0=\tau_0\le\dots\le\tau_n=T$ と有界な $\mathcal F_{\tau_{j-1}}$ 可測な $f_j$ で作った $H=\sum_jf_j1_{(\tau_{j-1},\tau_j]}$ を単純な被積分過程といい、$I_S(H):=\sum_jf_j(S_{\tau_j}-S_{\tau_{j-1}})$ とおく。写像 $I_S$ が、一様ノルムから確率収束の位相へ連続であるとき、$S$ を良い積分子（good integrator）という（同 Definition 1.1）。
càdlàg な適合過程 $S=(S_t)_{0\le t\le T}$ について、次は同値である。
- $S$ は良い積分子である。
- $S=M+A$（$M$ は局所マルチンゲール、$A$ は有限変動な適合過程）と書ける。
これは BSV10 Theorem 1.2 の引用で、この記事では証明しない。同定理の $M$、$A$ には $0$ から始まる条件がなく、$S_0$ はどちらかの項に含めて読む。2 から 1 は prop-smg-bounded と同じ種類の議論で、1 から 2 が本質的である。同論文は、離散時間の Doob–Meyer の分解から凸結合の極限をとって連続時間の分解を作る初等的な証明を与えている。
半マルチンゲールでない過程
$f\colon[0,\infty)\to\mathbb R$ を連続関数とする。過程 $X_t:=f(t)$ が連続半マルチンゲールであることと、$f$ が各 $[0,T]$ で 有界変動関数 であることは同値である（フィルトレーションは何でもよい）。
$f$ が有界変動なら、$M=0$、$A=f-f(0)$ が連続な分解である。逆に $X$ が連続半マルチンゲールとし、ある $T$ で $f$ の全変動が無限とする。分割 $\pi_k$ を $\sum_i\lvert f(t_i)-f(t_{i-1})\rvert\ge k$ となるようにとり、$h_i:=\operatorname{sgn}(f(t_i)-f(t_{i-1}))$（定数）とおくと、prop-smg-bounded の和は確定した値で $k$ 以上である。$\varepsilon=1/2$ の定数 $C$ より大きい $k$ で矛盾する。$\square$
どの点でも微分できない連続関数は、Lebesgue の定理により有界変動でない。したがって 高木関数 $f$ の $X_t=f(t)$ は連続半マルチンゲールでない。
$H\in(0,1)$ とする。連続な中心化 Gauss 過程 $B^H$ で共分散が $\frac12(s^{2H}+t^{2H}-\lvert t-s\rvert^{2H})$ のものを、Hurst 指数 $H$ の非整数 Brown 運動という。増分は $E[(B^H_t-B^H_s)^2]=\lvert t-s\rvert^{2H}$ を満たし、$H=1/2$ は Brown 運動である。
$H>1/2$ なら $B^H$ は、それが適合するどのフィルトレーションについても連続半マルチンゲールでない。実際、$[0,T]$ の $n$ 等分 $\pi_n$ について $E[S_{\pi_n}(B^H)]=T^{2H}n^{1-2H}\to0$ なので、連続半マルチンゲールなら cor-smg-qv-fv により $[0,T]$ で有限変動である。すると $p:=1/H>1$ について
$$\sum_i\lvert\Delta_iB^H\rvert^p\le\omega_{\pi_n}(B^H)^{p-1}V_T(B^H)\to0$$
である。一方、左辺は $n\to\infty$ で正の定数 $E[\lvert B_1^H\rvert^p]\,T$ に確率収束する（Nua06 p. 1544）ので矛盾する。
$H< 1/2$ でも $B^H$ は半マルチンゲールでなく、この場合は 2 次変分が無限大になる（同 p. 1544）。この記事では証明しない。なお、$B^H$ に独立な Brown 運動 $W$ を足した $B^H+W$ は、$H\in(3/4,1)$ なら有限区間で法則が Brown 運動と同値になり、半マルチンゲールである（Cheridito の結果、同 p. 1545）。これは自身のフィルトレーションに関する主張で、そのフィルトレーションに $W$ は適合しないので、prop-smg-basic と矛盾しない。
条件を外したときに結論が崩れる例を、表にまとめる。各行は、その行の条件だけを外している。
| 外す条件 | 反例 | 成り立たなくなること |
|---|---|---|
| 経路の連続性 | Poisson 過程から作る $N_t-\lambda t$ | 有限変動な局所マルチンゲールは $0$（cor-smg-fv） |
| 分解の項の連続性 | $0=(N_t-\lambda t)+(\lambda t-N_t)$ | 分解の一意性（thm-smg-unique） |
| 有界変動性（連続で確定） | $X_t=f(t)$（$f$ は高木関数） | 連続半マルチンゲールであること（cor-smg-deterministic） |
| 半マルチンゲールであること | $H>1/2$ の非整数 Brown 運動 | 2 次変分が消えれば有限変動（cor-smg-qv-fv） |
予測可能な分解
連続でない場合に一意性を回復するには、有限変動の項に条件を課す。
$\Omega\times(0,\infty)$ の上で、左連続な適合過程をすべて可測にする最小の $\sigma$-代数を予測可能 $\sigma$-代数といい、これに関して可測な過程を予測可能過程という。
離散時間で「$A_n$ が $\mathcal F_{n-1}$ 可測」という条件にあたる。連続な適合過程は予測可能である。
跳びの大きさが有界な半マルチンゲール $X$ は、$A$ が予測可能な有限変動過程であるような分解 $X=X_0+M+A$ をもち、そのような分解は一意である。
これは Mey76 IV.32（pp. 310–311）の一部で、そこでは跳びの条件より弱い条件のもとで述べられている。この記事では証明しない。このような分解をもつ $X$ を特殊半マルチンゲール、分解を標準分解という。一意性の核心は、予測可能で有限変動な局所マルチンゲールは $0$ である（同 IV.13、pp. 297–298）という、cor-smg-fv の一般化である。
Poisson 過程では、$\lambda t$ は確定した連続関数で予測可能だから、$N_t=(N_t-\lambda t)+\lambda t$ が標準分解である。$N$ の跳びは $1$ なので thm-smg-special が使え、もう一つの分解 $N=0+N$ は標準分解と異なるので、$N$ は予測可能でない。連続半マルチンゲールでは $A$ が予測可能なので、連続な分解が標準分解である。
関連項目
- 前提: マルチンゲール, 有界変動関数
- 例: Brown運動, Poisson過程
- 道具: Doobの任意抽出定理, Doobの極大不等式
- 直後に読む: 伊藤の公式, 田中の公式
- 発展: Girsanovの定理, 確率微分方程式, 福島分解
参考文献
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