テンソル(豊穣圏)

同義語：余テンソル余テンソル(豊穣圏)tensor (enriched category)cotensor (enriched category)

概要

前提知識: 豊穣圏, 対称モノイダル閉圏, 内部Hom, 米田の補題(豊穣圏)

テンソル(豊穣圏)（tensor in an enriched category）は、豊穣圏の対象 $X$ に基礎圏 $\mathcal V$ の対象 $K$ を「掛ける」操作である。集合で豊穣化された普通の圏では、集合 $K$ と対象 $X$ のテンソルは $X$ の $K$ 個のコピーの余積 $\coprod_K X$（余冪）であり、双対の余テンソルは直積 $\prod_K X$（冪）である。一般の $\mathcal V$ では「$K$ 個のコピー」という言い方はできないが、$K\odot X$ から $Y$ への射の対象が「$K$ でパラメータづけられた $X\to Y$ の族の対象」$[K,\mathcal B(X,Y)]$ になる、という普遍性で同じものを定義できる。
テンソルと余テンソルは、重みが $\mathcal V$ の対象 $1$ つだけという最も単純な重み付き余極限・極限である（重み付き極限(豊穣圏)）。それにもかかわらず、豊穣圏論では中心的な役割を果たす。テンソルがあれば台の圏の極限がそのまま豊穣極限になり（極限(豊穣圏)）、余テンソルと錐による極限がそろえば一般の重み付き極限がすべて作れる。この記事では定義と例を述べたあと、テンソルの基本性質（台の圏での随伴、単位律・結合律、豊穣左随伴による保存）を証明し、主定理として「豊穣圏が完備であることと、錐による極限と余テンソルをすべて持つことは同値」を証明する。

定義

この記事を通して $(\mathcal V,\otimes,I)$ を局所小で完備かつ余完備な対称モノイダル閉圏とし、内部Homを $[K,Z]$ と書く。$\mathcal V$ の台の圏の射集合を $\mathcal V_0(K,Z)$ と書く。$\mathcal V$-豊穣圏 $\mathcal B$ の台の圏 $\mathcal B_0$ は $\mathcal B_0(X,Y)=\mathcal V_0(I,\mathcal B(X,Y))$ で定まる。$\mathcal V$ は内部Homにより $\mathcal V$ 自身の上の豊穣圏とみなせる（豊穣圏の命題「基礎圏の自己豊穣」）。

テンソルと余テンソル

$K\in\mathcal V$、$X\in\mathcal B$ とする。$K$ と $X$ のテンソルとは、対象 $K\odot X\in\mathcal B$ と、$Y\in\mathcal B$ について豊穣自然（自然変換(豊穣圏)）な $\mathcal V$ の同型
$$ \mathcal B(K\odot X,Y)\cong[K,\mathcal B(X,Y)] $$
の組である。双対的に、$K$ と $Y\in\mathcal B$ の余テンソルとは、対象 $K\pitchfork Y\in\mathcal B$ と、$X$ について豊穣自然な同型
$$ \mathcal B(X,K\pitchfork Y)\cong[K,\mathcal B(X,Y)] $$
の組である。すべての $K,X$ についてテンソルが存在するとき $\mathcal B$ はテンソルを持つ（tensored）といい、余テンソルについても同様に余テンソルを持つ（cotensored）という。

テンソルを英語で copower、余テンソルを power と呼ぶ流儀もある。記号も文献によって $K\otimes X$、$K\cdot X$、$X^K$、$\{K,X\}$ などがある（Kel82 §3.7、(3.42)・(3.44)、p. 48、Rie14 定義 3.7.2・3.7.3）。
定義の同型で $Y=K\odot X$ とし、恒等射 $I\to\mathcal B(K\odot X,K\odot X)$ を右辺に移すと、射 $\eta\colon K\to\mathcal B(X,K\odot X)$ が得られる。これを単位という。米田の補題(豊穣圏) により、同型は $\eta$ との合成
$$ \mathcal B(K\odot X,Y)\longrightarrow[\mathcal B(X,K\odot X),\mathcal B(X,Y)]\xrightarrow{\ [\eta,1]\ }[K,\mathcal B(X,Y)] $$
で与えられる。つまりテンソルとは、「$K$ でパラメータづけられた $X\to K\odot X$ の族」$\eta$ で、$X$ から出る族の中で普遍的なものである。
テンソルは、単位 $\mathcal V$-圏（対象 $1$ つ、Hom 対象 $I$）を添字とし、重みを $K$ とする重み付き余極限であり、余テンソルは同じ重みによる重み付き極限である（重み付き極限(豊穣圏) の例「単一対象の重みと表現可能な重み」、Kel82 §3.7）。

例

集合による豊穣化：余積と直積

$\mathcal V=\mathbf{Set}$（直積）のとき、豊穣圏は局所小な圏、内部Hom $[K,Z]$ は写像の集合 $Z^K$ である。$\mathcal B(\coprod_KX,Y)\cong\prod_K\mathcal B(X,Y)=\mathcal B(X,Y)^K$ なので、余積 $\coprod_KX$ は $K$ と $X$ のテンソルであり、同様に直積 $\prod_KY$ は余テンソルである。$\mathbf{Set}$ では豊穣自然性は通常の自然性と同じである。したがって局所小な圏がテンソルを持つことは、集合で添字づけられた同じ対象のコピーの余積をすべて持つことと同値である。

基礎圏自身

$\mathcal B=\mathcal V$ のとき、$K\odot X=K\otimes X$、$K\pitchfork Y=[K,Y]$ である。豊穣自然な同型 $[K\otimes X,Y]\cong[K,[X,Y]\,]$ が対称モノイダル閉圏で成り立つからである（Kel82 (1.27)）。したがって $\mathcal V$ はテンソルと余テンソルを持つ。

加群の圏

$R$ を可換環、$A$ を $R$ 代数とし、$\mathcal V$ を $R$ 加群の圏、$\mathcal B$ を左 $A$ 加群の圏とする。$\mathcal B(M,N)=\operatorname{Hom}_A(M,N)$ は $R$ 加群であり、$\mathcal B$ は $\mathcal V$-豊穣圏になる。$R$ 加群 $K$ と $A$ 加群 $M$ について、$K\otimes_RM$（$A$ は $M$ に作用）と $\operatorname{Hom}_R(K,N)$（$A$ は値に作用）が、それぞれテンソルと余テンソルである。実際、テンソル積と Hom の随伴により $R$ 加群の自然な同型
$$ \operatorname{Hom}_A(K\otimes_RM,N)\cong\operatorname{Hom}_R(K,\operatorname{Hom}_A(M,N))\cong\operatorname{Hom}_A(M,\operatorname{Hom}_R(K,N)) $$
がある。

圏による豊穣化：円柱と射の圏

$\mathcal V=\mathbf{Cat}$（直積）、$\mathcal B=\mathbf{Cat}$ とする。$\mathbf 2=\{0\to1\}$ について、テンソル $\mathbf 2\odot X$ は直積 $\mathbf 2\times X$（$X$ の円柱）である。$\mathbf{Cat}(\mathbf 2\times X,Y)\cong[\mathbf 2,\mathbf{Cat}(X,Y)]$ の右辺の対象は関手 $X\to Y$ の間の自然変換なので、自然変換は円柱からの関手にほかならない。余テンソル $\mathbf 2\pitchfork Y$ は射の圏 $[\mathbf 2,Y]$ である（重み付き極限(豊穣圏) の例「圏による豊穣化での余テンソル」）。ホモトピー論の円柱 $X\times[0,1]$ と道の空間 $Y^{[0,1]}$ の圏論版である。

単体的集合による豊穣化

コンパクト生成な弱 Hausdorff 空間の圏 $\mathbf{Top}$ は、写像空間の特異複体を Hom 対象として単体的集合で豊穣化され、テンソルと余テンソルを持つ。単体的集合 $K$ と空間 $X$ について $K\odot X=|K|\times X$、$K\pitchfork X$ は写像空間 $\operatorname{Map}(|K|,X)$ である（$|K|$ は幾何学的実現。Rie14 例 3.7.15、p. 41。この記事では証明しない）。単体的モデル圏の公理はこのテンソル・余テンソルを使って述べられる。

前順序：最小元としてのテンソル

$\mathcal V=\mathbf 2=\{0<1\}$ を、$\otimes=\min$、$I=1$、$[a,b]=1\iff a\le b$ で対称モノイダル閉圏とみる。$\mathbf 2$-豊穣圏は前順序集合である（$\mathcal B(x,y)=1\iff x\le y$）。$\mathbf 2$ は前順序なので、豊穣自然性の条件は自動的にみたされる。
テンソル $K\odot x$ の条件は「すべての $y$ について $\mathcal B(K\odot x,y)=[K,\mathcal B(x,y)]$」である。$K=1$ なら右辺は $\mathcal B(x,y)$ なので $1\odot x$ は $x$ と同値な元であり、つねに存在する。$K=0$ なら右辺はつねに $1$ なので、$0\odot x$ はすべての $y$ 以下の元、すなわち最小元である。したがって空でない前順序集合がテンソルを持つことは、最小元を持つことと同値であり、同様に余テンソルを持つことは最大元を持つことと同値である（空の前順序集合はどちらも空虚に持つ）。

基本性質

台の圏での全単射と随伴

$K\odot X$ が存在すれば、$Y\in\mathcal B_0$ について自然な全単射 $\mathcal B_0(K\odot X,Y)\cong\mathcal V_0(K,\mathcal B(X,Y))$ がある。とくにテンソルは、単位と両立するただ 1 つの同型を除いて一意である。
$\mathcal B$ がテンソルを持てば、$K\odot-$ は $\mathcal B_0$ 上の関手に一意に延び、1 の全単射は $X,Y$ の両方について自然になる。
$\mathcal B$ がテンソルと余テンソルを持てば、$X,Y$ について自然な同型 $\mathcal B(K\odot X,Y)\cong\mathcal B(X,K\pitchfork Y)$ があり、台の圏で $K\odot-$ は $K\pitchfork-$ の左随伴である。

1：定義の同型に $\mathcal V_0(I,-)$ を当て、閉性による $\mathcal V_0(I,[K,Z])\cong\mathcal V_0(I\otimes K,Z)\cong\mathcal V_0(K,Z)$ を使う。豊穣自然な変換は台の圏の射についても自然なので（Kel82 §1.3）、得られる全単射は $Y$ について自然である。2 つのテンソル $T,T'$ があれば $\mathcal B_0(T,-)\cong\mathcal V_0(K,\mathcal B(X,-))\cong\mathcal B_0(T',-)$ であり、通常の米田の補題により $T\cong T'$ である。
2：$x\colon X'\to X$ に対し、$Y$ について自然な写像
$$ \mathcal B_0(K\odot X,Y)\cong\mathcal V_0(K,\mathcal B(X,Y))\xrightarrow{\ (-\circ x)_*\ }\mathcal V_0(K,\mathcal B(X',Y))\cong\mathcal B_0(K\odot X',Y) $$
は、米田の補題によりただ 1 つの射 $K\odot x\colon K\odot X'\to K\odot X$ との前合成である。一意性から $K\odot(x\circ x')=(K\odot x)\circ(K\odot x')$、$K\odot\mathrm{id}=\mathrm{id}$ が従い、作り方から全単射は $X$ についても自然である。
3：$\mathcal B(K\odot X,Y)\cong[K,\mathcal B(X,Y)]\cong\mathcal B(X,K\pitchfork Y)$ であり、$\mathcal V_0(I,-)$ を当てれば台の圏の自然な全単射 $\mathcal B_0(K\odot X,Y)\cong\mathcal B_0(X,K\pitchfork Y)$ を得る。$\square$

1 の全単射は豊穣自然な同型よりも弱い。余テンソルの側でいえば、$X$ について自然な全単射 $\mathcal B_0(X,C)\cong\mathcal V_0(K,\mathcal B(X,Y))$ をみたす対象 $C$ があっても、$C$ が $K\pitchfork Y$ であるとは限らない例がある（$\mathcal V=\mathbf{Cat}$、$K=\emptyset$（空圏）とし、極限(豊穣圏) の注意「反例：2射を見落とす積」の 2 圏 $\mathcal B$ で $C=1$ とする。$\mathcal B_0(X,1)$ と $\mathcal V_0(\emptyset,\mathcal B(X,Y))$ はどの $X$ でも 1 点なので全単射はあるが、$\mathcal B(0,1)$ は自己射 $\alpha^n$ をもつので終対象の圏 $[\emptyset,\mathcal B(0,Y)]$ と同型でない）。ただし余テンソルが存在することがわかっていれば、台の全単射で余テンソルが特定できる。

単位律と結合律

$\mathcal B$ がテンソルを持てば、$X\in\mathcal B$、$K,L\in\mathcal V$ について同型
$$ I\odot X\cong X,\qquad (K\otimes L)\odot X\cong K\odot(L\odot X) $$
がある。

$Y\in\mathcal B$ を任意にとる。prop-tensor-enriched-underlying の 1 と $[I,Z]\cong Z$ から
$$ \mathcal B_0(I\odot X,Y)\cong\mathcal V_0(I,\mathcal B(X,Y))=\mathcal B_0(X,Y) $$
であり、これは $Y$ について自然だから、米田の補題により $I\odot X\cong X$ である。次に、閉性 $[K\otimes L,Z]\cong[K,[L,Z]\,]$ とテンソルの定義（$L\odot X$ について）を使うと
$$ \begin{aligned} \mathcal B_0((K\otimes L)\odot X,Y)&\cong\mathcal V_0(K\otimes L,\mathcal B(X,Y))\cong\mathcal V_0(K,[L,\mathcal B(X,Y)])\\ &\cong\mathcal V_0(K,\mathcal B(L\odot X,Y))\cong\mathcal B_0(K\odot(L\odot X),Y) \end{aligned} $$
であり、各段が $Y$ について自然なので、米田の補題により $(K\otimes L)\odot X\cong K\odot(L\odot X)$ である。$\square$

$\mathcal V=\mathbf{Set}$ では、これは $\coprod_{K\times L}X\cong\coprod_K\coprod_LX$ という当たり前の等式である。この命題は Rie14 補題 3.7.7（p. 39）にある。

豊穣左随伴はテンソルを保つ

$F\colon\mathcal B\to\mathcal C$ を $G\colon\mathcal C\to\mathcal B$ の豊穣左随伴（随伴関手(豊穣圏)）とする。$K\odot X$ が $\mathcal B$ に存在すれば、$F(K\odot X)$ は $\mathcal C$ における $K$ と $FX$ のテンソルである。双対的に、豊穣右随伴は余テンソルを保つ。

$Y\in\mathcal C$ について豊穣自然な同型の列
$$ \mathcal C(F(K\odot X),Y)\cong\mathcal B(K\odot X,GY)\cong[K,\mathcal B(X,GY)]\cong[K,\mathcal C(FX,Y)] $$
がある。最初と最後は随伴の同型、真ん中はテンソルの定義の同型に豊穣関手 $G$ を代入したもので、豊穣自然な同型に豊穣関手を代入したものや $[K,-]$ を当てたものは豊穣自然である。よって $F(K\odot X)$ は $K\odot FX$ の定義をみたす。余テンソルについては向きを逆にすればよい。$\square$

逆に、$\mathcal B$ がテンソルを持つとき、豊穣関手 $F\colon\mathcal B\to\mathcal C$ が豊穣右随伴を持つことは、台の関手 $F_0$ が右随伴を持ち、$F$ がテンソルを保つ（$F(K\odot X)$ が単位の像とともに $K$ と $FX$ のテンソルになる）ことと同値である（Kel82 定理 4.85 の双対、p. 78。この記事では証明しない）。
テンソルを持つ豊穣圏では、台の圏 $\mathcal B_0$ での錐による極限がそのまま豊穣極限になる（極限(豊穣圏) の命題「テンソルがある場合」）。双対的に、余テンソルを持てば $\mathcal B_0$ の余極限は豊穣余極限である（余極限(豊穣圏) の命題「余テンソルによる昇格」）。テンソルがないとこれは成り立たない（極限(豊穣圏) の注意「反例：2射を見落とす積」）。

主定理：完備性の判定

$\mathcal V$-豊穣圏 $\mathcal B$ が完備であるとは、小さい $\mathcal V$-圏 $\mathcal A$ 上のすべての重み $W\colon\mathcal A\to\mathcal V$ と図式 $F\colon\mathcal A\to\mathcal B$ について、重み付き極限 $\{W,F\}$ が存在することをいう（重み付き極限(豊穣圏) の定義「豊穣重み付き極限・余極限」）。余完備も重み付き余極限について同様に定める。錐による極限（conical limit）は極限(豊穣圏) の意味で、小さい通常の圏を添字とするものとする。

完備性と余テンソル

$\mathcal V$-豊穣圏 $\mathcal B$ について、次は同値である。

$\mathcal B$ は完備である。
$\mathcal B$ は小さい図式の錐による極限をすべて持ち、余テンソルを持つ。
双対的に、$\mathcal B$ が余完備であることは、小さい図式の錐による余極限をすべて持ち、テンソルを持つことと同値である。

1 ⇒ 2：余テンソル $K\pitchfork Y$ は単位 $\mathcal V$-圏上の重み $K$ による重み付き極限であり（Kel82 §3.7、p. 48）、錐による極限は添字圏を自由に豊穣化した重みによる重み付き極限である（極限(豊穣圏) の定義「自由豊穣圏を使う重み」）。どちらも小さい $\mathcal V$-圏上の重み付き極限なので、完備な $\mathcal B$ に存在する。
2 ⇒ 1：$\mathcal A$ を小さい $\mathcal V$-圏、$W\colon\mathcal A\to\mathcal V$、$F\colon\mathcal A\to\mathcal B$ を豊穣関手とする。$T\in\mathcal B$ について $G_T:=\mathcal B(T,F(-))\colon\mathcal A\to\mathcal V$ とおく。自然変換対象は等化子
$$ [\mathcal A,\mathcal V](W,G_T)=\operatorname{Eq}\Bigl(\prod_a[Wa,G_Ta]\overset{\rho_T}{\underset{\sigma_T}{\rightrightarrows}}\prod_{a,b}[\mathcal A(a,b)\otimes Wa,G_Tb]\Bigr) $$
である（重み付き極限(豊穣圏) の定義「自然変換対象」）。ここで $\rho_T$ の $(a,b)$ 成分は、$b$ 成分への射影のあと $W$ の作用 $\mathcal A(a,b)\otimes Wa\to Wb$ を前から合成するもの、$\sigma_T$ の $(a,b)$ 成分は、$a$ 成分への射影のあと $G_T$ の作用、すなわち $F$ の作用 $\mathcal A(a,b)\to\mathcal B(Fa,Fb)$ と $\mathcal B$ の合成で後から合成するものである。
仮定から、$\mathcal B$ には余テンソルと積があるので
$$ P:=\prod_aWa\pitchfork Fa,\qquad Q:=\prod_{a,b}(\mathcal A(a,b)\otimes Wa)\pitchfork Fb $$
がとれる。積は豊穣積で、余テンソルの定義の同型は $T$ について豊穣自然なので、$T$ について豊穣自然な同型
$$ \mathcal B(T,P)\cong\prod_a[Wa,G_Ta],\qquad\mathcal B(T,Q)\cong\prod_{a,b}[\mathcal A(a,b)\otimes Wa,G_Tb] $$
がある。$\rho_T$ と $\sigma_T$ は $T$ について豊穣自然である。$\rho_T$ は $W$ の作用の前合成で $T$ に関係しないので明らかであり、$\sigma_T$ は $\mathcal B$ での後合成で、$T$ への前合成とは合成の結合律により可換である。したがって、上の同型を通して $\rho_T,\sigma_T$ は豊穣自然変換 $\mathcal B(-,P)\Rightarrow\mathcal B(-,Q)$ を定める。豊穣米田埋め込みは豊穣充満忠実なので（米田の補題(豊穣圏) の系「豊穣米田埋め込みの充満忠実性」と系「自然変換集合での形」）、ただ 1 組の射 $\rho,\sigma\colon P\rightrightarrows Q$（$\mathcal B_0$ の射）があって、$\mathcal B(T,\rho)$、$\mathcal B(T,\sigma)$ は上の同型を通して $\rho_T$、$\sigma_T$ に一致する。
仮定から $\rho,\sigma$ の錐による等化子 $L\to P$ が $\mathcal B$ に存在する。これは豊穣極限なので、$T$ について豊穣自然な同型
$$ \mathcal B(T,L)\cong\operatorname{Eq}\bigl(\mathcal B(T,\rho),\mathcal B(T,\sigma)\bigr)\cong\operatorname{Eq}(\rho_T,\sigma_T)=[\mathcal A,\mathcal V](W,\mathcal B(T,F(-))) $$
がある。これは重み付き極限 $\{W,F\}$ の定義そのものなので、$L=\{W,F\}$ である。双対の主張は、$\mathcal B^{\mathrm{op}}$ に同じ議論を当てればよい（$\mathcal B^{\mathrm{op}}$ の余テンソルは $\mathcal B$ のテンソルである）。$\square$

これは Kel82 定理 3.73（p. 54）であり、証明で作った $L$ はエンドによる公式 $\{W,F\}\cong\int_aWa\pitchfork Fa$（重み付き極限(豊穣圏) の命題「エンド・コエンド表示」）のエンドを、積と等化子で具体的に書いたものである。双対的に、余テンソルの代わりにテンソルを使う公式 $U\star F\cong\int^aUa\odot Fa$ は、豊穣 Kan 拡張の各点公式に使われる（Kan拡張(豊穣圏)）。

基礎圏の完備性

$\mathcal V$ は $\mathcal V$-豊穣圏として完備かつ余完備である。

$\mathcal V$ はテンソルと余テンソルを持つ（ex-tensor-enriched-self）。$\mathcal V_0$ は完備かつ余完備なので、台の圏の錐による極限・余極限はすべて存在し、テンソルを持つことから極限は豊穣極限であり（極限(豊穣圏) の命題「テンソルがある場合」）、余テンソルを持つことから余極限は豊穣余極限である（余極限(豊穣圏) の命題「余テンソルによる昇格」）。よって thm-tensor-enriched-completeness とその双対から従う。$\square$

反例の表

外す条件	反例	成り立たなくなること
余テンソルを持つこと（主定理の 2）	対象が高々 $1$ つの圏全体からなる $\mathbf{Cat}$ の充満部分 $\mathbf{Cat}$-圏	錐による極限はすべてあるが、射を $2$ つ以上持つ $X$ について $\mathbf 2\pitchfork X$ がなく、完備でない（重み付き極限(豊穣圏) の注意「反例：錐による極限がすべてあっても重み付き極限がすべてあるとは限らない」、Kel82 §3.8、p. 50）
錐による極限を持つこと（主定理の 2）	前順序集合 $\{a,b,\top\}$（$a,b<\top$、$a,b$ は比較不能）を $\mathbf 2$-豊穣圏とみたもの	最大元 $\top$ があるので余テンソルはすべてある（ex-tensor-enriched-preorder）が、$a$ と $b$ の共通の下界がないので積 $a\times b$ がなく、完備でない
豊穣自然な同型（台の全単射に弱める）	極限(豊穣圏) の注意「反例：2射を見落とす積」の 2 圏、$K=\emptyset$、$C=1$	台の全単射 $\mathcal B_0(X,1)\cong\mathcal V_0(\emptyset,\mathcal B(X,Y))$（両辺 1 点）はあるが、$\mathcal B(0,1)$ が終対象の圏でないので $1$ は $\emptyset\pitchfork Y$ でない