球面三角形の面積

半径 $R$ の球面 $x^2+y^2+z^2=R^2$ を、3 つの座標平面 $x=0$、$y=0$、$z=0$ で切ると、合同な 8 つの部分に分かれる。そのうち $x,y,z$ がすべて $0$ 以上の部分は、3 点 $X=(R,0,0)$、$Y=(0,R,0)$、$Z=(0,0,R)$ を、座標平面の上にある円の弧で結んだ三角形である。

• 面積：球面の面積 $4\pi R^2$ の $\dfrac18$ なので $\dfrac{\pi R^2}2$ である。
• 角：$X$ で弧 $XY$ は $(0,1,0)$ の向きに、弧 $XZ$ は $(0,0,1)$ の向きに出ていく。この 2 つの向きは垂直なので、$X$ での角は $\dfrac\pi2$ である。$Y$、$Z$ でも同じで、内角の和は $\dfrac{3\pi}2$（$270^\circ$）である。
  内角の和から $\pi$ を引くと $\dfrac{3\pi}2-\pi=\dfrac\pi2$ で、これは面積 $\dfrac{\pi R^2}2$ を $R^2$ で割った値に等しい。

半径 $R$ の球面で、北極 $N=(0,0,R)$ と、赤道上の 2 点 $P_1$（経度 $0$）、$P_2$（経度 $\theta$、$0<\theta<\pi$）を、経線と赤道の弧で結んだ三角形を考える（図1）。

• 角：経線は赤道と垂直に交わるので、$P_1$ と $P_2$ での角は $\dfrac\pi2$ である。$N$ での角は 2 本の経線のなす角で、経度の差 $\theta$ に等しい。内角の和は $\theta+\pi$ である。
• 面積：北半球（面積 $2\pi R^2$）を経度で切り分けたとき、経度の幅 $\theta$ の部分の面積は幅に比例して $2\pi R^2\times\dfrac{\theta}{2\pi}=\theta R^2$ である（比例することは lem-gir-lune で示す）。
  内角の和から $\pi$ を引くと $\theta$ で、面積を $R^2$ で割った値 $\theta$ に等しい。$\theta=\dfrac\pi3$（$60^\circ$）なら、角は $60^\circ,90^\circ,90^\circ$ で和は $240^\circ$、面積は $\dfrac{\pi R^2}3$ である。$\theta=\dfrac\pi2$ なら ex-gir-start-octant の三角形になる。

1. 赤道（平面 $z=0$ での切り口）と経線（$z$ 軸を含む平面での切り口）は大円である。
2. 北緯 $45^\circ$ の緯線は、平面 $z=\dfrac{R}{\sqrt2}$ での切り口で、半径 $\dfrac R{\sqrt2}$ の円である。この平面は原点を通らないので、緯線は大円ではない（赤道を除く）。
3. 経度 $0$ の赤道上の点 $P_1=(R,0,0)$ と、経度 $\dfrac\pi2$ の赤道上の点 $Y=(0,R,0)$ を通る大円は、$O,P_1,Y$ を通る平面 $z=0$ での切り口、つまり赤道である。

1. ex-gir-start-pole の三角形（$R=1$、$\theta=\dfrac\pi3$）で、北極 $\vec n=(0,0,1)$ での角を計算する。$\vec p_1=(1,0,0)$、$\vec p_2=\left(\dfrac12,\dfrac{\sqrt3}2,0\right)$ はどちらも $\vec n$ と垂直なので、$\vec t_{NP_1}=\vec p_1$、$\vec t_{NP_2}=\vec p_2$ である。内積は $\dfrac12$、長さはどちらも $1$ なので、角の余弦は $\dfrac12$ で、角は $\dfrac\pi3$ である。
2. 同じ三角形の $P_1$ での角：$\vec t_{P_1N}=\vec n-(\vec p_1\cdot\vec n)\vec p_1=(0,0,1)$、$\vec t_{P_1P_2}=\vec p_2-(\vec p_1\cdot\vec p_2)\vec p_1=\left(\dfrac12,\dfrac{\sqrt3}2,0\right)-\dfrac12(1,0,0)=\left(0,\dfrac{\sqrt3}2,0\right)$ である。内積は $0$ なので、角は $\dfrac\pi2$ である。

1. 角 $\pi$ の月形は半球で、面積は $2\pi R^2$ である。lem-gir-lune の式でも $2\cdot\pi\cdot R^2=2\pi R^2$ である。
2. 角 $\dfrac\pi2$ の月形は球面の $\dfrac14$ で、面積は $\pi R^2$ である。地球（$R\approx6371\ \mathrm{km}$）なら約 $1.28\times10^8\ \mathrm{km}^2$ である。
3. ex-gir-start-pole の三角形は、角 $\theta$ の月形を赤道で上下に 2 等分した上半分である（赤道を含む平面 $z=0$ に関する折り返し $(x,y,z)\mapsto(x,y,-z)$ で上下は移り合う。この折り返しは、点対称 $\vec x\mapsto-\vec x$ で $(x,y,z)\mapsto(-x,-y,-z)$ と移したあと、$z$ 軸のまわりの $\pi$ 回転 $(x,y,z)\mapsto(-x,-y,z)$ を行ったものなので、(S2) を 2 回使って面積が等しい）。よって面積は $\dfrac{2\theta R^2}2=\theta R^2$ で、例で使った比例の事実が確かめられた。

1. ex-gir-start-octant の三角形：$A=B=C=\dfrac\pi2$ なので $R^2\left(\dfrac{3\pi}2-\pi\right)=\dfrac{\pi R^2}2$ で、球面の $\dfrac18$ と一致する。
2. ex-gir-start-pole の三角形：$R^2\left(\theta+\dfrac\pi2+\dfrac\pi2-\pi\right)=\theta R^2$ で、ex-gir-lune (3) と一致する。
3. 正四面体の 4 つの頂点を半径 $R$ の球面の上にとり（正四面体の中心を球の中心にする）、各辺を大円の弧に取り替えると、球面は合同な 4 つの球面三角形に分かれる（正四面体の対称性で移り合う）。1 つの面積は $\dfrac{4\pi R^2}4=\pi R^2$ で、3 つの角は等しい。その角を $\alpha$ とすると $R^2(3\alpha-\pi)=\pi R^2$ から $\alpha=\dfrac{2\pi}3$（$120^\circ$）である。各頂点には 3 つの三角形が集まり、$3\times120^\circ=360^\circ$ で頂点のまわりを 1 周している。
4. 正二十面体で同じことをすると、20 個の三角形の 1 つの面積は $\dfrac{\pi R^2}5$ で、$R^2(3\alpha-\pi)=\dfrac{\pi R^2}5$ から $\alpha=\dfrac{2\pi}5$（$72^\circ$）である。各頂点には 5 つの三角形が集まり、$5\times72^\circ=360^\circ$ である。

地球を半径 $R=6371\ \mathrm{km}$ の球とみなす。1 辺がおよそ $100\ \mathrm{km}$ の正三角形の形の球面三角形を考える。面積を平面の正三角形の面積 $\dfrac{\sqrt3}4\times100^2\approx4330\ \mathrm{km}^2$ で近似すると、球過量は
$$ A+B+C-\pi=\frac{S}{R^2}\approx\frac{4330}{6371^2}\approx\frac{4330}{4.059\times10^7}\approx1.067\times10^{-4} $$
（ラジアン）で、度に直すと約 $0.0061^\circ$、秒に直すと約 $22''$ である。3 つの角はそれぞれ $60^\circ$ より約 $7''$ 大きいだけである（球面の余弦定理を使って正確に計算しても、球過量は $22.005''$ で、ほとんど変わらない。球面三角法）。
1 辺 $100\ \mathrm{m}$ の三角形なら、面積は $10^6$ 分の $1$ になるので、球過量も $10^6$ 分の $1$ の約 $0.000022''$ で、分度器ではまったく分からない。校庭の三角形の内角の和が $180^\circ$ と区別できないのはこのためである。一方、地球の $\dfrac18$ を覆う ex-gir-start-octant の三角形（面積 約 $6.38\times10^7\ \mathrm{km}^2$）では、球過量は $90^\circ$ にもなる。

1. 立方体の中心を球の中心にして 8 つの頂点を球面の上にとり、各辺を大円の弧にすると、球面は合同な 6 つの球面四角形に分かれる。1 つの面積は $\dfrac{4\pi R^2}6=\dfrac{2\pi R^2}3$ で、4 つの角は等しい（$\alpha$ とする）。cor-gir-polygon で $n=4$ として $R^2(4\alpha-2\pi)=\dfrac{2\pi R^2}3$ から $\alpha=\dfrac{2\pi}3$（$120^\circ$）である。各頂点に 3 つの四角形が集まり、$3\times120^\circ=360^\circ$ である。平面の正方形の角 $90^\circ$ より大きい。
2. 公式に $n=2$ を形式的に入れると $R^2(\alpha_1+\alpha_2)$ で、角 $\theta$ の月形（2 つの角がどちらも $\theta$）では $2\theta R^2$ となり、lem-gir-lune と一致する。月形は「辺が 2 本の多角形」とみなせる。

1. ex-gir-start-octant の 8 つの三角形による分割は、正八面体を球面に写したものである。$V=6$（$(\pm R,0,0)$ など）、$F=8$、$E=12$ で、$2V-F=12-8=4$、$V-E+F=6-12+8=2$ である。
2. ex-gir-check (4) の正二十面体の分割では $V=12$、$F=20$、$E=30$ で、$2V-F=24-20=4$、$V-E+F=12-30+20=2$ である。各頂点での角の和は $5\times\dfrac{2\pi}5=2\pi$ で、prop-gir-euler の仮定を満たしている。

半径 $R$ の球面で、北極 $N$ と、北緯 $45^\circ$ の緯線の上の経度 $0$ と経度 $\theta$ の 2 点 $Q_1,Q_2$ をとる。$N$ と $Q_1$、$N$ と $Q_2$ は経線の弧で結び、$Q_1$ と $Q_2$ は緯線の弧で結んだ図形 $G$ を考える。

• 角：経線と緯線は垂直に交わるので $Q_1$、$Q_2$ での角は $\dfrac\pi2$、$N$ での角は $\theta$ である。角だけを見ると ex-gir-start-pole と同じで、$A+B+C-\pi=\theta$ である。
• 面積：北緯 $45^\circ$ より北の部分（高さ $R-\dfrac{R}{\sqrt2}$ の球冠）の面積は $2\pi R\left(R-\dfrac R{\sqrt2}\right)=2\pi R^2\left(1-\dfrac1{\sqrt2}\right)$ である（球冠の面積の公式は 球の表面積 を参照。この記事では証明しない）。$G$ はその経度の幅 $\theta$ の部分なので、面積は $\theta R^2\left(1-\dfrac1{\sqrt2}\right)\approx0.293\,\theta R^2$ である。
  面積は $R^2(A+B+C-\pi)=\theta R^2$ の約 $0.29$ 倍しかない。緯線（赤道以外）は大円ではなく、def-gir-triangle の三角形の辺にならないので、thm-gir-main は使えない。

半径 $R$ の円柱の側面の上に三角形を描く。側面を切り開くと長方形に広がり、そのとき長さも角も変わらない。側面の上で「まっすぐな線」（広げたときに線分になる線）を辺とする三角形は、広げると平面の三角形になるので、内角の和はちょうど $\pi$ である。一方、面積は三角形の大きさに応じていくらでも大きくなる。$R^2(A+B+C-\pi)=0$ は面積と一致しない。
円柱は、半径が $R$ で丸まっていても「曲がっていない」曲面（曲率 $0$）で、球面とは違う。thm-gir-main の $R^2$ は、球面の曲がり具合を表す量である（rem-gir-gauss-bonnet）。