射影平面

1. $[x:y:z]$ で $z\ne0$ なら $[x:y:z]=[x/z:y/z:1]$ で、第 3 成分を $1$ にする代表はただ 1 つである。よって $\iota$ は単射で、像は第 3 成分が $0$ でない点の全体、すなわち $\mathbb{P}^2(K)\setminus L_\infty$ である。
2. $[x:y:1]\in L(a:b:c)$ は $ax+by+c=0$ と同じなので、前半が従う。$L(a:b:c)\cap L_\infty$ は $ax+by=0$、$z=0$ の点で、$(a,b)\ne(0,0)$ なので解の空間は 1 次元であり、$(-b,a,0)$ が張る。$L(a:b:c)\ne L_\infty$ となるのは $(a,b)\ne(0,0)$ のときなので、最後の主張も従う。
3. 2 直線 $ax+by+c=0$、$a'x+b'y+c'=0$ が平行であることは $(a,b)$ と $(a',b')$ が比例することと同値で、これは (2) の無限遠点 $[-b:a:0]$ と $[-b':a':0]$ が一致することと同値である。平行でなければ 2 直線は $K^2$ の 1 点で交わり、その像が交点である。$\square$

(i) 異なる 2 点 $U=Kp$、$V=Kq$ では $p,q$ が 1 次独立なので、$U+V$ は 2 次元で、$U$ と $V$ を含む直線である。$U,V$ を含む 2 次元部分空間 $W$ は $U+V$ を含み、次元が等しいので $W=U+V$ である。
(ii) 異なる 2 直線 $W_1,W_2$ では $W_1\subsetneq W_1+W_2$ なので $\dim(W_1+W_2)=3$ であり、基底と次元 の命題「部分空間の和と共通部分の次元」により
$$ \dim(W_1\cap W_2)=\dim W_1+\dim W_2-\dim(W_1+W_2)=2+2-3=1 $$
である。よって $W_1\cap W_2$ は両方の上にある点で、両方の上にある点 $U$ は $U\subset W_1\cap W_2$ をみたし、次元が等しいので $U=W_1\cap W_2$ である。
(iii) 3 点 $[p],[q],[r]$ が共線であることは、$p,q,r$ がある 2 次元部分空間に入ること、すなわち 1 次従属であることと同値である（(i) により共通の直線は $Kp+Kq$ に限る）。4 点 $[1:0:0]$、$[0:1:0]$、$[0:0:1]$、$[1:1:1]$ のうちどの 3 つを並べた行列式も $\pm1$ で、どの体でも $0$ でないので、どの 3 つも 1 次独立であり、共線でない。$\square$

入れ替えた組での (i) は元の (ii) そのもので、入れ替えた組での (ii) は元の (i) そのものである。入れ替えた組での (iii) は「4 本の直線で、どの 3 本も同じ点を通らないものがある」である。(iii) の 4 点を $A,B,C,D$ とし、4 本の直線 $AB$、$BC$、$CD$、$DA$ をとる。
これらは互いに異なる：たとえば $AB=CD$ なら $A,B,C$ が共線になり、ほかの組も同様である。3 本が同じ点 $X$ を通ったとする。$AB,BC,CD$ の場合、$AB\cap BC=B$（異なる 2 直線の共有点は 1 つ）なので $X=B$ で、$B$ が $CD$ の上にあるから $B,C,D$ が共線になり矛盾する。$BC,CD,DA$ の場合も同様に $X=D$ から $B,C,D$ が共線になる。$AB,BC,DA$ の場合、$X=AB\cap BC=B$ かつ $X=AB\cap DA=A$ となり $A\ne B$ に矛盾する。$AB,CD,DA$ の場合、$X=AB\cap DA=A$ が $CD$ の上にあり、$A,C,D$ が共線になって矛盾する。
後半：公理から命題 $S$ を導く推論を、入れ替えた組（これも射影平面）にそのまま当てはめれば、入れ替えた命題が得られる。$\square$

1. $X\in\ell$ なら $X\ne P$ なので $PX$ は定まる。単射：$X\ne Y$ で $PX=PY$ なら、この直線は $X,Y$ を通るので (i) により $\ell$ に等しく、$P$ が $\ell$ の上にあることになって矛盾する。全射：$P$ を通る直線 $m$ は $\ell$ と異なる（$P\notin\ell$）ので、(ii) により $\ell$ と 1 点 $X$ で交わり、$m=PX$ である。
2. (iii) の 4 点 $A,B,C,D$ のうち、$\ell$ の上にあるのは 2 つ以下、$m$ の上にあるのも 2 つ以下である。4 点のどれかが $\ell$ にも $m$ にもなければよい。そうでないなら、ちょうど 2 つずつで、名前を付け替えて $\ell=AB$、$m=CD$ としてよい。$X:=AC\cap BD$ とおく（$AC\ne BD$：等しければ $A,B,C$ が共線）。$X$ が $\ell=AB$ の上にあれば、$X$ は $AB$ と $AC$ の共有点なので $X=A$ となり、$A$ が $BD$ の上にあって $A,B,D$ が共線になる。$X$ が $m=CD$ の上にあれば、同様に $X=C$ で $B,C,D$ が共線になる。どちらも矛盾なので、$X$ が求める点である。$\square$

1. 2 本の直線 $\ell,m$ をとり、lem-pp-count の (2) で両方の上にない点 $P$ をとると、同じ補題の (1) により
   $$ \lvert\ell\rvert=\lvert\{P\text{ を通る直線}\}\rvert=\lvert m\rvert $$
   である（$\lvert\ell\rvert$ は $\ell$ の上の点の個数）。よってどの直線の点の個数も同じで、それを $n+1$ とおく。$n\ge2$ であること：公理 (iii) の 4 点 $A,B,C,D$ をとり、直線 $AB$ と、その上にない点 $C$ を考える。$C$ を通る直線 $CA$、$CB$、$CD$ は互いに異なる（たとえば $CA=CD$ なら $A,C,D$ が共線）ので、$\lvert AB\rvert$ は $C$ を通る直線の本数で 3 以上である。
2. 点 $P$ に対し、$P$ を通らない直線 $\ell$ がある（$P$ が $AB$ と $CD$ の両方の上にあれば $P=AB\cap CD$ で、$P$ は $AC$ の上にない。もしあれば $P=AB\cap AC=A$ が $CD$ の上にあることになる）。補題の (1) により、$P$ を通る直線の本数は $\lvert\ell\rvert=n+1$ である。
3. 点 $P$ を固定する。$P$ 以外の点 $Q$ は、$P$ を通る直線のうち $PQ$ ただ 1 本の上にある。$P$ を通る $n+1$ 本の直線のそれぞれには $P$ 以外に $n$ 個の点があるので、点の個数は $1+(n+1)n=n^2+n+1$ である。直線は (i) により 2 点で決まるので有限個であり、thm-pp-duality で入れ替えた組も点が有限個の射影平面である。これに (1) と (3) の前半を当てはめると、入れ替えた組の「直線」（元の点）の上の「点」（元の直線）の個数は (2) により $n+1$ なので、直線の個数は $n^2+n+1$ である。$\square$

$h(x,y):=\bigl(x,y,\sqrt{1-x^2-y^2}\bigr)$ は $D^2$ から上半球面 $\{(a,b,c)\in S^2\mid c\ge0\}$ への連続な全単射で、$\varphi$ は $h$ と商写像 $\mathbb{R}^3\setminus\{0\}\to\mathbb{R}\mathrm{P}^2$ の合成なので連続である。
全射であること：点 $[a:b:c]$ の代表を長さ $1$ にとり、$c<0$ なら $-1$ 倍すれば、$c\ge0$ の単位ベクトルになる。これは $h(a,b)$ であり、$\varphi(a,b)=[a:b:c]$ である。
同一視される点：$\varphi(v)=\varphi(w)$ とすると、単位ベクトル $h(v),h(w)$ は $0$ でない定数倍の関係にあり、長さが $1$ なので $h(w)=\pm h(v)$ である。$+$ なら $w=v$ である。$-$ なら第 3 成分が $\ge0$ どうしで符号が逆なので両方 $0$、すなわち $v,w$ は境界の点で $w=-v$ である。逆に境界の $v$ について $\varphi(-v)=[-v:0]=[v:0]=\varphi(v)$ である。よって $\varphi$ のファイバーはちょうど $\sim$ の同値類で、$\varphi$ は連続な全単射 $D^2/{\sim}\to\mathbb{R}\mathrm{P}^2$ を誘導する。$D^2/{\sim}$ はコンパクトな $D^2$ の像なのでコンパクトで、$\mathbb{R}\mathrm{P}^2$ は Hausdorff なので、この全単射は同相写像である（閉集合の像がコンパクト、したがって閉になる）。$\square$

要点：円板の中の帯 $S:=\{(x,y)\in D^2\mid\lvert y\rvert\le\tfrac12\}$ を長方形 $R$ とみなすと、prop-pp-disc の貼り合わせは $S$ の上ではちょうど $(1,y)\sim(-1,-y)$ になる。