Euler–Maclaurinの公式（高校数学）

1 について。$k\le x< k+1$ なら $\lfloor x\rfloor=k$ なので、定義から $P_1(x)=x-k-\frac12=Q_1(x)$、$P_2(x)=Q_2(x)$ である。$x=k+1$ では $\lfloor x\rfloor=k+1$、小数部分は $0$ なので $P_2(k+1)=\frac1{12}$ であり、$Q_2(k+1)=\frac12\left(1-1+\frac16\right)=\frac1{12}$ と一致する。
2 について。$t=x-k$ とおくと $Q_2=\frac12\left(t^2-t+\frac16\right)$ で、$\frac{dt}{dx}=1$ なので $Q_2'(x)=\frac12(2t-1)=t-\frac12=Q_1(x)$ である。$Q_2(k)$ は $t=0$、$Q_2(k+1)$ は $t=1$ での値で、どちらも $\frac12\cdot\frac16=\frac1{12}$ である。
3 について。$t=x-k$ と置換すると
$$ \int_k^{k+1}Q_1\,dx=\int_0^1\left(t-\frac12\right)dt=\frac12-\frac12=0,\qquad\int_k^{k+1}Q_2\,dx=\frac12\int_0^1\left(t^2-t+\frac16\right)dt=\frac12\left(\frac13-\frac12+\frac16\right)=0 $$
である。
4 について。小数部分 $t$ は $0\le t<1$ なので、$P_1=t-\frac12$ は $-\frac12\le P_1<\frac12$ である。$P_2$ は平方完成すると
$$ P_2=\frac12\left(\left(t-\frac12\right)^2-\frac14+\frac16\right)=\frac12\left(\left(t-\frac12\right)^2-\frac1{12}\right) $$
である。$0\le t<1$ では $0\le\left(t-\frac12\right)^2\le\frac14$ なので、$P_2$ は $\frac12\left(0-\frac1{12}\right)=-\frac1{24}$ 以上、$\frac12\left(\frac14-\frac1{12}\right)=\frac12\cdot\frac16=\frac1{12}$ 以下である。$\square$

方針：小区間 $[k,k+1]$ で $Q_1(x)f'(x)$ を部分積分すると「台形の面積 $-$ 積分」が出る。それを足し合わせる。
段 1（1 つの小区間）。$Q_1'(x)=1$ なので、部分積分により
$$ \int_k^{k+1}Q_1(x)f'(x)\,dx=\Bigl[Q_1(x)f(x)\Bigr]_k^{k+1}-\int_k^{k+1}Q_1'(x)f(x)\,dx=Q_1(k+1)f(k+1)-Q_1(k)f(k)-\int_k^{k+1}f(x)\,dx $$
である。$Q_1(k+1)=\frac12$、$Q_1(k)=-\frac12$ なので
$$ \int_k^{k+1}Q_1(x)f'(x)\,dx=\frac{f(k)+f(k+1)}2-\int_k^{k+1}f(x)\,dx $$
である。
段 2（足し合わせる）。段 1 の式を $k=a,\dots,b-1$ について足す。左辺の和は、約束により $\int_a^bP_1f'\,dx$ である。右辺の積分の和は、加法性により $\int_a^bf\,dx$ である。右辺の残りは
$$ \sum_{k=a}^{b-1}\frac{f(k)+f(k+1)}2=\frac12\Bigl(f(a)+2f(a+1)+2f(a+2)+\cdots+2f(b-1)+f(b)\Bigr) $$
である。$a+1,\dots,b-1$ での値は、隣り合う 2 つの項に 1 回ずつ現れるので係数が $2$ になる。これは $\sum_{k=a}^bf(k)-\frac{f(a)+f(b)}2$ に等しい。以上から
$$ \int_a^bP_1f'\,dx=\sum_{k=a}^bf(k)-\frac{f(a)+f(b)}2-\int_a^bf\,dx $$
であり、移項すると定理の式になる。$\square$

方針：各小区間 $[k,k+1]$ での $\frac{P_1(x)}{x^2}$ の積分が負であることを示す。$P_1$ は小区間の左半分で負、右半分で正だが、$\frac1{x^2}$ は左の方が大きいので、負の部分が勝つ。
段 1（1 つの小区間の積分は負）。$k$ を正の整数とし、$c_k:=\int_k^{k+1}\frac{Q_1(x)}{x^2}\,dx$ とおく。$x=k+t$ と置換すると $c_k=\int_0^1\frac{t-\frac12}{(k+t)^2}\,dt$ である。これを $0\le t\le\frac12$ と $\frac12\le t\le1$ に分け、後者で $t=1-s$ と置換すると（$dt=-ds$、$t=\frac12\to s=\frac12$、$t=1\to s=0$）
$$ \int_{1/2}^1\frac{t-\frac12}{(k+t)^2}\,dt=\int_0^{1/2}\frac{\frac12-s}{(k+1-s)^2}\,ds $$
である。積分の変数を $s$ にそろえて前半と合わせると
$$ c_k=\int_0^{1/2}\left(\frac12-s\right)\left(\frac1{(k+1-s)^2}-\frac1{(k+s)^2}\right)ds $$
である。$0\le s<\frac12$ では $\frac12-s>0$ であり、$k+s< k+1-s$ なので $\frac1{(k+1-s)^2}<\frac1{(k+s)^2}$、つまり 2 つ目のかっこは負である。よって被積分関数は $0\le s<\frac12$ で負の連続関数であり、$c_k<0$ である。
段 2（$\gamma>\frac12$）。$J_n=c_1+c_2+\cdots+c_{n-1}$ で、各 $c_k$ は負なので、$J_n$ は $n$ について減少する。$n\ge2$ で $J_n\le J_2=c_1<0$ なので、極限 $\frac12-\gamma=\lim J_n$ も $c_1$ 以下で、負である。よって $\gamma>\frac12$ である。
段 3（不等式）。ex-emf-gamma-integral の $H_n=\log n+\frac12+\frac1{2n}-J_n$ と $\gamma=\frac12-\lim_{m\to\infty}J_m$ を引くと
$$ H_n-\log n-\gamma-\frac1{2n}=\lim_{m\to\infty}J_m-J_n $$
である。$m\ge n$ なら $J_m\le J_n$（段 2 で $J$ は減少）なので、右辺は $0$ 以下である。$\square$

方針：thm-emf-em1 の $\int_k^{k+1}Q_1f'\,dx$ を、$Q_1=Q_2'$ を使って部分積分する。$Q_2$ が両端で同じ値 $\frac1{12}$ をとるので、足すと望遠鏡和になる。
段 1（1 つの小区間）。prop-emf-sawtooth の 2 により $Q_2'=Q_1$、$Q_2(k)=Q_2(k+1)=\frac1{12}$ なので、部分積分により
$$ \int_k^{k+1}Q_1(x)f'(x)\,dx=\Bigl[Q_2(x)f'(x)\Bigr]_k^{k+1}-\int_k^{k+1}Q_2(x)f''(x)\,dx=\frac{f'(k+1)-f'(k)}{12}-\int_k^{k+1}Q_2(x)f''(x)\,dx $$
である。
段 2（足し合わせる）。$k=a,\dots,b-1$ について足す。左辺の和は $\int_a^bP_1f'\,dx$ である。右辺の第 1 項の和は
$$ \frac1{12}\Bigl(\bigl(f'(a+1)-f'(a)\bigr)+\bigl(f'(a+2)-f'(a+1)\bigr)+\cdots+\bigl(f'(b)-f'(b-1)\bigr)\Bigr)=\frac{f'(b)-f'(a)}{12} $$
である（途中の項が打ち消し合う）。右辺の第 2 項の和は、prop-emf-sawtooth の 1（$[k,k+1]$ で $P_2=Q_2$）と加法性により $\int_a^bP_2f''\,dx$ である。よって
$$ \int_a^bP_1f'\,dx=\frac{f'(b)-f'(a)}{12}-\int_a^bP_2f''\,dx $$
であり、これを thm-emf-em1 の式に代入すると定理の式になる。$\square$

方針：右の不等式は prop-emf-gamma-half で示した。左の不等式は、thm-emf-em2 を $\frac1x$ に使い、$P_2$ の範囲 $-\frac1{24}\le P_2\le\frac1{12}$ で余りの積分を押さえる。
段 1（2 次の公式を使う）。$f(x)=\frac1x$ では $f'(x)=-\frac1{x^2}$、$f''(x)=\frac2{x^3}$ である。thm-emf-em2 を $a=1$、$b=n$ で使うと
$$ H_n=\log n+\frac{1+\frac1n}2+\frac{-\frac1{n^2}+1}{12}-K_n,\qquad K_n:=\int_1^n\frac{2P_2(x)}{x^3}\,dx $$
である。整理すると
$$ H_n-\log n-\frac1{2n}+\frac1{12n^2}=\frac12+\frac1{12}-K_n=\frac7{12}-K_n $$
である。thm-emf-em2 を使えるのは $a< b$、つまり $n\ge2$ のときだが、$n=1$ でも $K_1=\int_1^1\frac{2P_2(x)}{x^3}\,dx=0$ なので、この式は $1-\log1-\frac12+\frac1{12}=\frac7{12}-0$ として直接成り立つ。
段 2（$K_n$ の極限）。$n\to\infty$ で左辺は $\gamma$ に近づく（$\frac1{2n}\to0$、$\frac1{12n^2}\to0$）。よって $K_n$ は $\frac7{12}-\gamma$ に収束する。この極限を $K$ とすると、段 1 の式から
$$ H_n-\log n-\gamma-\frac1{2n}+\frac1{12n^2}=K-K_n=\lim_{m\to\infty}\bigl(K_m-K_n\bigr)=\lim_{m\to\infty}\int_n^m\frac{2P_2(x)}{x^3}\,dx $$
である。
段 3（余りの積分を押さえる）。$m>n$ とする。$x\ge1$ で $\frac2{x^3}>0$ であり、$P_2(x)\ge-\frac1{24}$ なので、積分の単調性から
$$ \int_n^m\frac{2P_2(x)}{x^3}\,dx\ge-\frac1{24}\int_n^m\frac2{x^3}\,dx=-\frac1{24}\left(\frac1{n^2}-\frac1{m^2}\right)\ge-\frac1{24n^2} $$
である（$\int_n^m\frac2{x^3}\,dx=\left[-\frac1{x^2}\right]_n^m=\frac1{n^2}-\frac1{m^2}$）。$m\to\infty$ としても不等式は保たれるので、段 2 の式の値は $-\frac1{24n^2}$ 以上である。
段 4（まとめ）。段 2・段 3 から
$$ H_n-\log n-\gamma-\frac1{2n}\ge-\frac1{12n^2}-\frac1{24n^2}=-\frac{2+1}{24n^2}=-\frac1{8n^2} $$
である。右の不等式 $H_n-\log n-\gamma-\frac1{2n}\le0$ は prop-emf-gamma-half である。$\square$