中間値の定理

$f(c)>0$ のとき、def-ivt-continuity で $\varepsilon=f(c)$ とおくと、$x\in I$、$|x-c|<\delta$ ならば $|f(x)-f(c)|< f(c)$、特に $f(x)>f(c)-f(c)=0$ となる $\delta>0$ がとれる。$f(c)<0$ のときは $\varepsilon=-f(c)$ とおけば同様に $f(x)<0$ を得る。

$S:=\{x\in[a,b]\mid f(x)<0\}$ とおく。$a\in S$ なので $S$ は空でなく、$b$ は $S$ の上界である。実数の上限性質により $c:=\sup S$ が存在し、$a\leq c\leq b$ である。$f(c)=0$ を示す。
$f(c)<0$ と仮定する。$f(b)>0$ なので $c\ne b$、すなわち $c< b$ である。lem-ivt-sign-persistence により、ある $\delta>0$ について、$x\in[a,b]$、$|x-c|<\delta$ なら $f(x)<0$ となる。$x:=\min\{c+\delta/2,\,b\}$ とおくと $c< x\leq b$、$|x-c|<\delta$ なので $f(x)<0$、すなわち $x\in S$ である。これは $x>c$ と $c$ が $S$ の上界であることに反する。
$f(c)>0$ と仮定する。$f(a)<0$ なので $c\ne a$ である。lem-ivt-sign-persistence により、ある $\delta>0$ について、$x\in[a,b]$、$|x-c|<\delta$ なら $f(x)>0$ となる。$c-\delta$ は $S$ の上界ではない（$c$ が最小の上界だから）ので、$c-\delta< s$ となる $s\in S$ がある。$s\leq c$ でもあるので $|s-c|<\delta$ となり $f(s)>0$ であるが、$s\in S$ より $f(s)<0$ であって矛盾する。
以上より $f(c)=0$ である。$f(a)<0$、$f(b)>0$ なので $c\ne a$、$c\ne b$ であり、$c\in(a,b)$ である。

数列 $(a_n)$、$(b_n)$ を帰納的に定める。$a_0:=a$、$b_0:=b$ とし、$a_n,b_n$ が定まったとき $m_n:=(a_n+b_n)/2$ とおいて、$f(m_n)\geq0$ なら $a_{n+1}:=a_n$、$b_{n+1}:=m_n$、$f(m_n)<0$ なら $a_{n+1}:=m_n$、$b_{n+1}:=b_n$ とする。帰納法により、すべての $n$ で
$$ a\leq a_n\leq a_{n+1}< b_{n+1}\leq b_n\leq b,\qquad b_n-a_n=\frac{b-a}{2^n},\qquad f(a_n)<0\leq f(b_n) $$
が成り立つ。$(a_n)$ は上に有界な単調増加列、$(b_n)$ は下に有界な単調減少列なので、上限と下限 の記事の定理「単調有界数列の収束」によりそれぞれ極限 $c$、$d$ をもち、$a\leq c\leq d\leq b$ である。$2^n\geq n$ と実数の Archimedes 性により $(b-a)/2^n\to0$ なので、$d-c=\lim(b_n-a_n)=0$、すなわち $c=d$ である。
$f$ は $c$ で連続なので $f(a_n)\to f(c)$、$f(b_n)\to f(c)$ である（任意の $\varepsilon>0$ に対し def-ivt-continuity の $\delta$ をとると、十分大きい $n$ で $|a_n-c|<\delta$ となり、$|f(a_n)-f(c)|<\varepsilon$ となる）。不等式は極限で保たれるので、$f(a_n)<0$ から $f(c)\leq0$、$f(b_n)\geq0$ から $f(c)\geq0$ を得る。よって $f(c)=0$ であり、$f(a)<0< f(b)$ より $c\in(a,b)$ である。

連結空間 の記事の定理「実数直線の連結部分集合」により、$\mathbb{R}$ の部分集合が連結であることと、$s,t\in A$、$s< u< t$ から $u\in A$ が従う（区間である）ことは同値である。特に $[a,b]$ は連結である。同じ記事の定理「連続像は連結」により $f([a,b])$ は連結、したがって区間である。$f(a)<0< f(b)$ で $f(a),f(b)\in f([a,b])$ なので $0\in f([a,b])$、すなわち $f(c)=0$ となる $c\in[a,b]$ がある。$c\ne a,b$ は前の証明と同じである。

$k=f(a)$ なら $c=a$、$k=f(b)$ なら $c=b$ とすればよい。以下 $k$ は $f(a)$ と $f(b)$ の真に間にあるとする。$f(a)< k< f(b)$ のときは $g(x):=f(x)-k$、$f(a)>k>f(b)$ のときは $g(x):=k-f(x)$ とおく。$g$ は $[a,b]$ 上で連続で $g(a)<0< g(b)$ を満たすので、lem-ivt-sign-change により $g(c)=0$ となる $c\in(a,b)$ がある。どちらの場合も $f(c)=k$ である。

$[a,b]$ はコンパクト空間であり（コンパクト空間 の記事の定理「有界閉集合とコンパクト性の一致」）、同じ記事の定理「最大値・最小値の存在」により $f(x_{\min})=m$、$f(x_{\max})=M$ となる $x_{\min},x_{\max}\in[a,b]$ がある。$f([a,b])\subset[m,M]$ は最小値・最大値の定義から明らかである。逆に $k\in[m,M]$ とする。$x_{\min}=x_{\max}$ なら $m=M=k$ でよい。そうでなければ、$x_{\min}$ と $x_{\max}$ を端点とする閉区間に $f$ を制限して thm-ivt を使うと、$f(c)=k$ となる $c$ がその区間、したがって $[a,b]$ にある。

$f(x)=x^n$ は $[0,1+y]$ 上で連続である。$f(0)=0\leq y$ であり、$1+y\geq1$ より $f(1+y)=(1+y)^n\geq1+y>y$ である。thm-ivt により $f(x)=y$ となる $x\in[0,1+y]$ がある。一意性：$0\leq x_1< x_2$ なら
$$ x_2^n-x_1^n=(x_2-x_1)(x_2^{n-1}+x_2^{n-2}x_1+\cdots+x_1^{n-1}) $$
で、右辺の第 2 因子は $x_2^{n-1}>0$ 以上なので $x_1^n< x_2^n$ である。したがって $x^n=y$ を満たす $x\geq0$ は 2 つない。

$a_n$ で割って $a_n=1$ としてよい。$R:=1+|a_{n-1}|+\cdots+|a_0|$ とおく。$|x|\geq R$ ならば $|x|\geq1$ なので
$$ |a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_0|\leq(|a_{n-1}|+\cdots+|a_0|)\,|x|^{n-1}< R\,|x|^{n-1}\leq|x|^n $$
である。したがって $p(x)=x^n+(a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_0)$ の符号は $x^n$ の符号と一致し、$n$ が奇数なので $p(R)>0$、$p(-R)<0$ である。$p$ は $[-R,R]$ 上で連続なので、lem-ivt-sign-change により $p(c)=0$ となる $c\in(-R,R)$ がある。

$f$ が狭義単調増加でも狭義単調減少でもないとする。$f$ は単射なので $x< y$ なら $f(x)\ne f(y)$ であり、ある $x_1< y_1$ で $f(x_1)< f(y_1)$、ある $x_2< y_2$ で $f(x_2)>f(y_2)$ となる（どちらかがなければ $f$ は狭義単調である）。$t\in[0,1]$ に対し
$$ x(t):=(1-t)x_1+tx_2,\qquad y(t):=(1-t)y_1+ty_2 $$
とおくと、$I$ が区間なので $x(t),y(t)\in I$ であり、$y(t)-x(t)=(1-t)(y_1-x_1)+t(y_2-x_2)>0$ である。$g(t):=f(y(t))-f(x(t))$ は $[0,1]$ 上で連続で、$g(0)>0>g(1)$ なので、thm-ivt により $g(c)=0$ となる $c\in(0,1)$ がある。すると $x(c)< y(c)$ かつ $f(x(c))=f(y(c))$ となり、$f$ が単射であることに反する。