t構造

三角圏 $(\mathcal D,\Sigma,\{\text{完全三角形}\})$ のt構造（t-structure）とは、充満部分圏の組 $(\mathcal D^{\le0},\mathcal D^{\ge0})$ であって、$\mathcal D^{\le n}:=\Sigma^{-n}\mathcal D^{\le0}$、$\mathcal D^{\ge n}:=\Sigma^{-n}\mathcal D^{\ge0}$ とおくとき、次を満たすもののことをいう。
(t1) $X\in\mathcal D^{\le0}$、$Y\in\mathcal D^{\ge1}$ ならば $\operatorname{Hom}_{\mathcal D}(X,Y)=0$（$X$ から $Y$ への射は零射しかない）。
(t2) $\mathcal D^{\le0}\subset\mathcal D^{\le1}$ かつ $\mathcal D^{\ge1}\subset\mathcal D^{\ge0}$。
(t3) 任意の $X\in\mathcal D$ に対し、$A\in\mathcal D^{\le0}$、$B\in\mathcal D^{\ge1}$ となる完全三角形 $A\to X\to B\to\Sigma A$ が存在する。
移動関手 $\Sigma$ の向きは三角圏の記事の規約（複体に対しては $(\Sigma X)_n=X_{n-1}$）に従う。

def-t-structureのもとで、(t3)の対象 $A$、$B$ は $X$ から（自然同型を除いて）一意に定まり、$X$ について関手的である（(t1)の直交性から従う。BBD82 §1.3）。それぞれ $\tau_{\le0}X:=A$、$\tau_{\ge1}X:=B$ と書く。次に $\tau_{\ge0}:=\Sigma\,\tau_{\ge1}\Sigma^{-1}$ と定め、一般に $n\in\mathbb{Z}$ に対し
$$ \tau_{\le n}:=\Sigma^{-n}\tau_{\le0}\Sigma^{n},\qquad\tau_{\ge n}:=\Sigma^{-n}\tau_{\ge0}\Sigma^{n} $$
とおく（$n=1$ のとき $\tau_{\ge1}$ は先に定めたものと自然同型である）。これらを切断関手（truncation functor）という。$\tau_{\le n}X\in\mathcal D^{\le n}$、$\tau_{\ge n}X\in\mathcal D^{\ge n}$ であり、自然同型 $\tau_{\le0}\tau_{\ge0}\cong\tau_{\ge0}\tau_{\le0}$ が成り立つ（BBD82 §1.3）。充満部分圏
$$ \mathcal D^\heartsuit:=\mathcal D^{\le0}\cap\mathcal D^{\ge0} $$
を、このt構造の心（heart）という。$X\in\mathcal D$ に対し
$$ H^n(X):=\tau_{\le0}\tau_{\ge0}(\Sigma^nX)\in\mathcal D^\heartsuit $$
と定め、$H^n\colon\mathcal D\to\mathcal D^\heartsuit$ を（このt構造に関する）コホモロジー関手という（コホモロジーの記法に倣い、上付き添字で書く）。