内部ホーンと内部アノダイン射

要点：1 は持ち上げ性質の閉包性、2 は小対象の議論、3 は内部ホーンがすべての頂点を含むこと、4 は頂点の順序の反転、5 はファイブレーションの包含関係による。

要点：右ホーンと境界の結は内部ホーンになる（段 1）。これを単体の貼り合わせで単射全体に広げ（段 2）、反転を使って右アノダイン射全体に広げる（段 3）。

$\Delta^m\times\Delta^2$ は順序集合 $[m]\times[2]$ の脈体であり、非退化単体は真に増加する鎖である（Kan–Quillenモデル構造 の補題「角柱の補題」の証明と同じ）。鎖の元 $(c,r)$ の $c$ を列、$r$ を行とよぶ。$X_0:=(\partial\Delta^m\times\Delta^2)\cup(\Delta^m\times\Lambda^2_1)$ に入らない鎖は、列の集合が $[m]$ 全体で、行 $0$ と行 $2$ の元をともに含むものである（$\Lambda^2_1$ の単体は行が $\{0,1\}$ か $\{1,2\}$ に収まるもの）。
$0\le i\le j\le m$ について $(m+2)$ 単体 $\tau_{ij}$ を、$0\le i\le j< m$ について $(m+1)$ 単体 $\sigma_{ij}$ を、次の鎖で定める。
$$ \tau_{ij}:\ (0,0),\dots,(i,0),(i,1),\dots,(j,1),(j,2),\dots,(m,2), $$
$$ \sigma_{ij}:\ (0,0),\dots,(i,0),(i,1),\dots,(j,1),(j+1,2),\dots,(m,2). $$
$\tau_{ij}$ は格子の上の単調な道で、$[m]\times[2]$ の極大な鎖はちょうど $\tau_{ij}$ たちである。どちらでも頂点 $(i,1)$ は $i+1$ 番目（$0$ から数える）の頂点で、$\sigma_{ij}$ では $1\le i+1\le m$、$\tau_{ij}$ では $1\le i+1\le m+1$ なので、最初の頂点でも最後の頂点でもない。
まず $\sigma_{ij}$ を $j=0,1,\dots,m-1$ の順に、各 $j$ では $i=0,1,\dots,j$ の順に貼り、次に $\tau_{ij}$ を $j=0,1,\dots,m$ の順に、各 $j$ では $i=0,1,\dots,j$ の順に貼る。各段で貼る単体を $x$ とし、それまでに得た部分単体的集合を $Y$ とすると、
$$ x^{-1}(Y)=\Lambda^{\dim x}_{i+1} $$
となる。つまり、$x$ の面のうち頂点 $(i,1)$ を除いた面だけが新しく、ほかの面はすべて $Y$ に入っている。$x$ は単射 $\Delta^{\dim x}\to\Delta^m\times\Delta^2$ を定めるので、$Y\cup x=Y\amalg_{\Lambda^{\dim x}_{i+1}}\Delta^{\dim x}$ であり（Kan–Quillenモデル構造 の補題「角柱の補題」の証明と同じ補集合による判定）、各段は内部ホーンの包含の押し出しである。すべての極大な鎖を貼り終えると $\Delta^m\times\Delta^2$ 全体が得られる。

順序を保つ写像 $s\colon[n]\to[n]\times[2]$ と $r\colon[n]\times[2]\to[n]$ を
$$ s(a)=\begin{cases}(a,0)&(a< k)\\(k,1)&(a=k)\\(a,2)&(a>k)\end{cases},\qquad r(a,b)=\begin{cases}a&(a< k,\ b=0\ \text{または}\ a>k,\ b=2)\\k&(\text{それ以外})\end{cases} $$
で定める（HTT09 p. 99 の写像）。$rs=\mathrm{id}$ は定義から明らかである。$r$ が順序を保つこと：$r$ の値は行 $0$ では $\min(a,k)$、行 $1$ では $k$、行 $2$ では $\max(a,k)$ であり、$(a,b)\le(a',b')$ なら $r(a,b)\le r(a',b')$ である。$s$ の第 1 成分は恒等写像なので、$s$ は $\Lambda^n_k$ を $\Lambda^n_k\times\Delta^2$ に写す。
$r$ が始域を $\Lambda^n_k$ に写すことを確かめる。$\Lambda^n_k$ の単体は、$k$ 以外のある頂点を値にとらない鎖である（ホーンと充填条件 の命題「ホーンは面の和である」）。$\Delta^n\times\Lambda^2_1$ の鎖で行が $\{0,1\}$ に収まるものの $r$ による像は $\{0,\dots,k\}$ に入り、$n\ne k$ を値にとらない。行が $\{1,2\}$ に収まるものの像は $\{k,\dots,n\}$ に入り、$0\ne k$ を値にとらない。$\Lambda^n_k\times\Delta^2$ の鎖で、列が $a_0\ne k$ を値にとらないものを考える。$a_0< k$ なら、$r$ が値 $a_0$ をとるのは $(a_0,0)$ だけで、$a_0>k$ なら $(a_0,2)$ だけなので、像は $a_0$ を値にとらない。よって $r$ は $\lambda\mathbin{\square}h_1$ の始域を $\Lambda^n_k$ に写し、$s$ と $r$ は $\lambda$ を $\lambda\mathbin{\square}h_1$ のレトラクトとして表す。$\square$

内部アノダイン射の全体を $\mathcal R={}^\square(\mathcal A_1^\square)$ とする。
$\mathcal A_3\subset\mathcal R$。 単射 $i$ で $h_1\mathbin{\square}i\cong i\mathbin{\square}h_1$ が $\mathcal R$ に入るものの全体は、余積・押し出し・可算列の合成・レトラクトで閉じている。これは Kan–Quillenモデル構造 の命題「Gabriel–Zisman の定理」の証明の 2 の (a)(b)(c) で、第 1 因子を $h_1$ に固定し、アノダイン拡大の全体を $\mathcal R$ に替えた議論である（使うのは、補集合 $(\Delta^2\setminus\Lambda^2_1)\times(L\setminus K)$ が $L\setminus K$ について足し算的であることと、$\mathcal R$ の閉包性だけである）。lem-ia-prism により境界の包含 $\partial\Delta^m\subset\Delta^m$ はこの全体に入り、単射は境界の包含の胞体複体なので（同じ記事の補題「単射は単体を貼って作れる」）、すべての単射が入る。
結論。 $\mathcal A_2\subset\mathcal A_3\subset\mathcal R$ から $\mathcal A_1^\square\subset\mathcal A_3^\square\subset\mathcal A_2^\square$ を得る。lem-ia-retract により $\mathcal A_1$ の写像は $\mathcal A_3$ の写像のレトラクトなので $\mathcal A_1\subset{}^\square(\mathcal A_3^\square)$、すなわち $\mathcal A_3^\square\subset\mathcal A_1^\square$ である。また上の段落の議論を $\mathcal R$ の代わりに ${}^\square(\mathcal A_2^\square)$（これも prop-ia-basic の 1 と同じ閉包性をもつ）で行えば $\mathcal A_3\subset{}^\square(\mathcal A_2^\square)$、すなわち $\mathcal A_2^\square\subset\mathcal A_3^\square$ である。よって $\mathcal A_1^\square=\mathcal A_2^\square=\mathcal A_3^\square$ であり、左持ち上げ性質で定まるクラスも等しい。$\square$

要点：指数の全単射で、正方形と持ち上げをそのまま書き換える。

1 の前半：内部ホーンの包含 $\lambda$ について、lem-ia-exp により $\lambda\mathbin{\square}j$ が $p$ に対して持ち上がることを示せばよい。lem-ia-retract により $\lambda$ は $\lambda\mathbin{\square}h_1$ のレトラクトなので、$\lambda\mathbin{\square}j$ は $(\lambda\mathbin{\square}h_1)\mathbin{\square}j\cong(\lambda\mathbin{\square}j)\mathbin{\square}h_1$ のレトラクトである。$\lambda\mathbin{\square}j$ は単射なので後者は $\mathcal A_3$ に入り、thm-ia-joyal により内部アノダインである。よって $\lambda\mathbin{\square}j$ も内部アノダインで、$p$ に対して持ち上がる。
2：任意の内部ファイブレーション $p$ について、$i\mathbin{\square}j$ が $p$ に対して持ち上がることは、lem-ia-exp により $i$ が $\langle j,p\rangle$ に対して持ち上がることと同値であり、1 の前半により $\langle j,p\rangle$ は内部ファイブレーションなので成り立つ。
1 の後半：lem-ia-exp により、$(\partial\Delta^m\subset\Delta^m)\mathbin{\square}j\cong j\mathbin{\square}(\partial\Delta^m\subset\Delta^m)$ が $p$ に対して持ち上がることを示せばよい。$j$ が内部アノダインなら、これは 2 により内部アノダインである。
3：$j=(\emptyset\subset K)$、$p=(\mathcal C\to\Delta^0)$ とすると、$\mathrm{Fun}(\emptyset,\mathcal C)=\mathrm{Fun}(\emptyset,\Delta^0)=\mathrm{Fun}(K,\Delta^0)=\Delta^0$ なので、$\langle j,p\rangle$ は $\mathrm{Fun}(K,\mathcal C)\to\Delta^0$ である。1 の前半を使う。$\square$

この制限は $\langle h_1,X\to\Delta^0\rangle$ である。lem-ia-exp により、それが $\partial\Delta^m\subset\Delta^m$ に対して持ち上がることは、$(\partial\Delta^m\subset\Delta^m)\mathbin{\square}h_1\in\mathcal A_2$ が $X\to\Delta^0$ に対して持ち上がることと同値である。すべての $m$ についてこれが成り立つことは $X\to\Delta^0\in\mathcal A_2^\square$ と同じで、thm-ia-joyal により $\mathcal A_2^\square=\mathcal A_1^\square$ なので、$X$ が準圏であることと同値である。$\square$