Moreau–吉田正則化

$F(y):=\varphi(y)+\frac1{2\lambda}\|x-y\|^2$ とおく。内積の展開から、すべての $y,p$ について
$$ \|x-y\|^2=\|x-p\|^2-2(x-p,y-p)+\|y-p\|^2\qquad(\ast) $$
である。
$v:=\frac{x-p}\lambda\in\partial\varphi(p)$ とする。$p\in D(\varphi)$ であり、劣勾配の不等式と $(\ast)$ から
$$ F(y)-F(p)\ge(v,y-p)+\frac1{2\lambda}\bigl(-2(x-p,y-p)+\|y-p\|^2\bigr)=\frac1{2\lambda}\|y-p\|^2\ge0 $$
である。よって $p$ は $F$ の最小点であり、最小点の一意性から $p=J_\lambda x$ である。
逆に $p=J_\lambda x$ とすると、$F(p)=e_\lambda\varphi(x)$ は実数なので $\varphi(p)$ は有限である。$y\in D(\varphi)$ と $0< t< 1$ について $p_t:=p+t(y-p)$ とおく。$\varphi$ の凸性から $\varphi(p_t)\le\varphi(p)+t(\varphi(y)-\varphi(p))$ であり、$(\ast)$ で $y$ を $p_t$ に替えると $\|x-p_t\|^2=\|x-p\|^2-2t(x-p,y-p)+t^2\|y-p\|^2$ である。$F(p)\le F(p_t)$ に代入して整理すると
$$ 0\le t\bigl(\varphi(y)-\varphi(p)\bigr)-\frac t\lambda(x-p,y-p)+\frac{t^2}{2\lambda}\|y-p\|^2 $$
である。$t$ で割って $t\downarrow0$ とすると $\varphi(y)\ge\varphi(p)+\bigl(\frac{x-p}\lambda,y-p\bigr)$ を得る。$y\notin D(\varphi)$ ではこの不等式は自明なので、$\frac{x-p}\lambda\in\partial\varphi(p)$ である。
最後の主張は、$x\in p+\lambda\partial\varphi(p)$ が $\frac{x-p}\lambda\in\partial\varphi(p)$ の言いかえであることと、$J_\lambda x$ がただ 1 つであることによる。$\square$

thm-my-prox-char で得た 2 つの劣勾配に、劣微分の単調性を当てる。

$p:=J_\lambda x$、$q:=J_\lambda y$、$h:=y-x$、$L:=\frac1\lambda(x-p,h)$ とおく。
上からの評価：$e_\lambda\varphi(y)$ の定義の下限で点 $p$ をとると $e_\lambda\varphi(y)\le\varphi(p)+\frac1{2\lambda}\|y-p\|^2$ である。$e_\lambda\varphi(x)=\varphi(p)+\frac1{2\lambda}\|x-p\|^2$ を引き、$\|y-p\|^2=\|x-p\|^2+2(x-p,h)+\|h\|^2$ を使うと
$$ e_\lambda\varphi(y)-e_\lambda\varphi(x)\le L+\frac1{2\lambda}\|h\|^2 $$
である。
下からの評価：$x$ と $y$ の役割を入れかえると $e_\lambda\varphi(x)-e_\lambda\varphi(y)\le\frac1\lambda(y-q,-h)+\frac1{2\lambda}\|h\|^2$ であり、
$$ e_\lambda\varphi(y)-e_\lambda\varphi(x)\ge\frac1\lambda(y-q,h)-\frac1{2\lambda}\|h\|^2=L+\frac1\lambda\bigl((y-q)-(x-p),h\bigr)-\frac1{2\lambda}\|h\|^2 $$
である。$(y-q)-(x-p)=h-(q-p)$ であり、thm-my-firm により $(q-p,h)\le\|h\|^2$ なので $\bigl(h-(q-p),h\bigr)\ge0$ である。よって $e_\lambda\varphi(y)-e_\lambda\varphi(x)\ge L-\frac1{2\lambda}\|h\|^2$ である。
2 つを合わせて主張の評価を得る。右辺は $\|h\|\to0$ で $o(\|h\|)$ なので、$e_\lambda\varphi$ は $x$ で Fréchet 微分可能で勾配は $\frac{x-p}\lambda$ である。これが $\partial\varphi(p)$ に入ることは thm-my-prox-char である。勾配の Lipschitz 性は thm-my-firm の最後の不等式を $\lambda$ で割ったものである。$\square$

1：下限の中身 $\varphi(y)+\frac1{2\lambda}\|x-y\|^2$ は $\lambda$ について減少するので、$\mu< \lambda$ なら $e_\lambda\varphi\le e_\mu\varphi$ である。$y=x$ とおけば $e_\mu\varphi\le\varphi$ である。$L:=\lim_{\lambda\downarrow0}e_\lambda\varphi(x)=\sup_{\lambda>0}e_\lambda\varphi(x)\le\varphi(x)$ とおく。$L< +\infty$ と仮定し、$p_\lambda:=J_\lambda x$、$r_\lambda:=\|x-p_\lambda\|$ とおく。Fenchel–Moreauの定理 の補題「連続アフィン下界の存在」により、$g\in H$、$c\in\mathbb{R}$ で $\varphi(y)\ge(g,y)+c$（$y\in H$）となるものがある。$(g,p_\lambda)\ge(g,x)-\|g\|r_\lambda$ なので
$$ L\ge e_\lambda\varphi(x)=\varphi(p_\lambda)+\frac{r_\lambda^2}{2\lambda}\ge(g,x)+c-\|g\|r_\lambda+\frac{r_\lambda^2}{2\lambda} $$
である。$M:=\max\{L-(g,x)-c,\ 0\}$ とおくと $r_\lambda^2\le2\lambda\|g\|r_\lambda+2\lambda M$ であり、$r_\lambda\le4\lambda\|g\|$ または $r_\lambda^2< 4\lambda M$ が成り立つ（$r_\lambda>4\lambda\|g\|$ なら $2\lambda\|g\|r_\lambda< \frac12r_\lambda^2$ なので $r_\lambda^2< \frac12r_\lambda^2+2\lambda M$ となり、$r_\lambda^2< 4\lambda M$ を得る）。どちらにしても $\lambda\to0$ で $r_\lambda\to0$、すなわち $p_\lambda\to x$ である。$\varphi(p_\lambda)\le e_\lambda\varphi(x)\le L$ と $\varphi$ の下半連続性から $\varphi(x)\le\liminf_{\lambda\downarrow0}\varphi(p_\lambda)\le L$ であり、$L=\varphi(x)$ である。$L=+\infty$ なら $\varphi(x)=+\infty=L$ である。$x\notin D(\varphi)$ で $L< +\infty$ とすると $\varphi(x)\le L< +\infty$ となって矛盾するので、$e_\lambda\varphi(x)\to+\infty$ である。
2：$J_\lambda x\in D(\varphi)$ なので、$J_\lambda x\to x$ なら $x\in\overline{D(\varphi)}$ である。逆に、$z\in D(\varphi)$ では 1 の証明で $L=\varphi(z)< +\infty$ なので $J_\lambda z\to z$ である。$x\in\overline{D(\varphi)}$ と $\varepsilon>0$ について $\|x-z\|< \varepsilon$ となる $z\in D(\varphi)$ をとると、thm-my-firm から
$$ \|J_\lambda x-x\|\le\|J_\lambda x-J_\lambda z\|+\|J_\lambda z-z\|+\|z-x\|\le2\varepsilon+\|J_\lambda z-z\| $$
であり、$\limsup_{\lambda\downarrow0}\|J_\lambda x-x\|\le2\varepsilon$ である。$\varepsilon$ は任意なので $J_\lambda x\to x$ である。
3：$e_\lambda\varphi\le\varphi$ から $\inf e_\lambda\varphi\le\inf\varphi$ であり、$e_\lambda\varphi(x)\ge\varphi(J_\lambda x)\ge\inf\varphi$ から逆の不等号を得る。劣微分 の命題「劣微分の基本性質」の 2（Fermat の規則）により、$x$ が $\varphi$ の最小点であることは $0\in\partial\varphi(x)$ と同値であり、thm-my-prox-char で $p=x$ とおくとこれは $J_\lambda x=x$ と同値である。一方 $e_\lambda\varphi$ は凸で微分可能なので、$x$ がその最小点であることは $\nabla e_\lambda\varphi(x)=0$ と同値である（劣微分 の系「微分可能性と劣微分」の 1 により $\partial e_\lambda\varphi(x)=\{\nabla e_\lambda\varphi(x)\}$ で、Fermat の規則を当てる）。thm-my-gradient の式から、これは $J_\lambda x=x$ と同値である。$\square$

$v:=x-J_1x$ が $\varphi$ の $J_1x$ での劣勾配であることを、共役の側で $J_1x$ が $\varphi^*$ の $v$ での劣勾配であることと読みかえる。