代数体における素イデアルの分解

1。$\mathfrak{P}\cap\mathcal{O}_K$ は $1$ を含まない素イデアルである（素イデアルの引き戻し）。$0$ でないことを示す。$0$ でない $x\in\mathfrak{P}$ の $K$ 上の最小多項式を $x^m+a_{m-1}x^{m-1}+\cdots+a_0$（$a_j\in\mathcal{O}_K$）とすると、既約性から $a_0\neq0$ であり、$a_0=-x(x^{m-1}+a_{m-1}x^{m-2}+\cdots+a_1)\in\mathfrak{P}\cap\mathcal{O}_K$ である。

2。$\mathfrak{p}$ は Dedekind 整域 $\mathcal{O}_K$ の $0$ でないイデアルなので可逆であり、$\mathfrak{p}^{-1}:=\{x\in K\mid x\mathfrak{p}\subset\mathcal{O}_K\}$ は $\mathcal{O}_K$ を真に含む（$\mathfrak{p}^{-1}=\mathcal{O}_K$ なら $\mathcal{O}_K=\mathfrak{p}\mathfrak{p}^{-1}=\mathfrak{p}$ となって矛盾する）。$x\in\mathfrak{p}^{-1}\setminus\mathcal{O}_K$ を取る。$\mathfrak{p}\mathcal{O}_L=\mathcal{O}_L$ と仮定すると、$x\mathcal{O}_L=x\mathfrak{p}\mathcal{O}_L\subset\mathcal{O}_K\mathcal{O}_L=\mathcal{O}_L$ より $x\in\mathcal{O}_L\cap K=\mathcal{O}_K$ となり矛盾する。よって $\mathfrak{p}\mathcal{O}_L$ は $0$ でない真のイデアルで、$g\ge1$ 個の素イデアルの積に分解する。

素イデアル $\mathfrak{P}$ について、$\mathfrak{P}\cap\mathcal{O}_K=\mathfrak{p}$ ならば $\mathfrak{P}\supset\mathfrak{p}\mathcal{O}_L$ である。逆に $\mathfrak{P}\supset\mathfrak{p}\mathcal{O}_L$ ならば、素イデアル $\mathfrak{P}\cap\mathcal{O}_K$ は極大イデアル $\mathfrak{p}$ を含むので $\mathfrak{p}$ に等しい。一方、$\mathfrak{P}\supset\mathfrak{p}\mathcal{O}_L$ は $\mathfrak{P}$ が $\mathfrak{P}_1^{e_1}\cdots\mathfrak{P}_g^{e_g}$ を割ることと同値であり、分解の一意性からこれは $\mathfrak{P}$ がある $\mathfrak{P}_i$ に等しいことと同値である。

3。1 を拡大 $L/\mathbb{Q}$ に適用すると $\mathfrak{P}\cap\mathbb{Z}\neq0$ なので、$0$ でない整数 $a\in\mathfrak{P}$ が取れる。$\mathcal{O}_L\cong\mathbb{Z}^{[L:\mathbb{Q}]}$ より $\mathcal{O}_L/a\mathcal{O}_L\cong(\mathbb{Z}/a\mathbb{Z})^{[L:\mathbb{Q}]}$ は有限なので、その商 $\kappa(\mathfrak{P})=\mathcal{O}_L/\mathfrak{P}$ は有限である。$\kappa(\mathfrak{p})$ も同様に有限であり、$\mathfrak{P}\cap\mathcal{O}_K=\mathfrak{p}$ から単射 $\kappa(\mathfrak{p})\to\kappa(\mathfrak{P})$ が引き起こされる。有限体の拡大は有限次である。$\square$

$K=\mathbb{Q}$、$\mathfrak{p}=p\mathbb{Z}$ の場合は、$\mathcal{O}_L\cong\mathbb{Z}^n$ より $\mathcal{O}_L/p\mathcal{O}_L\cong\mathbb{F}_p^n$ であり、主張は直ちに従う。一般の場合は $\mathcal{O}_K$ が単項イデアル整域とは限らないので、$\mathfrak{p}$ で局所化して同じ議論に帰着させる。

$S:=\mathcal{O}_K\setminus\mathfrak{p}$、$A:=S^{-1}\mathcal{O}_K$、$B:=S^{-1}\mathcal{O}_L\subset L$ とおく。$A$ は離散付値環（Dedekind整域 の記事の定理「Noether整域におけるDedekind整域の特徴づけ」の 3）であり、特に単項イデアル整域である。

段 1（$B$ は階数 $n$ の自由 $A$ 加群）。$B$ は有限生成 $A$ 加群であり、体 $L$ の部分加群なので捩れをもたない。単項イデアル整域上の有限生成で捩れのない加群は自由なので（単項イデアル整域 の記事の定理「単項イデアル整域上の加群」）、$B$ は基底 $b_1,\dots,b_r$ をもつ。$b_j$ たちは $K$ 上 1 次独立である（$K$ 係数の 1 次関係は、分母を払えば $A$ 係数の 1 次関係になる）。また $L$ の任意の元 $x$ は $0$ でない整数 $m$ により $mx\in\mathcal{O}_L\subset B$ となるので、$b_j$ たちは $L$ を $K$ 上張る。よって $r=n$ である。

段 2（$A/\mathfrak{p}A\cong\kappa(\mathfrak{p})$ と $B/\mathfrak{p}B\cong\mathcal{O}_L/\mathfrak{p}\mathcal{O}_L$）。$s\in S$ に対し、$\mathfrak{p}$ は極大なので $st-1\in\mathfrak{p}$ となる $t\in\mathcal{O}_K$ がある。自然な写像 $\mathcal{O}_L/\mathfrak{p}\mathcal{O}_L\to B/\mathfrak{p}B$ を考える。全射であること：$b\in\mathcal{O}_L$、$s\in S$ について $b/s-tb=b(1-st)/s\in\mathfrak{p}B$ である。単射であること：$x\in\mathcal{O}_L\cap\mathfrak{p}B$ なら、分母を払って $sx\in\mathfrak{p}\mathcal{O}_L$ となる $s\in S$ があり、$x=t(sx)+(1-st)x\in\mathfrak{p}\mathcal{O}_L$ である。同じ議論を $\mathcal{O}_K$ と $A$ に当てると $\kappa(\mathfrak{p})=\mathcal{O}_K/\mathfrak{p}\cong A/\mathfrak{p}A$ を得る。

段 3。段 1 から $B/\mathfrak{p}B\cong(A/\mathfrak{p}A)^n$ であり、段 2 と合わせて $\mathcal{O}_L/\mathfrak{p}\mathcal{O}_L\cong\kappa(\mathfrak{p})^n$ である。これらの同型は $\mathcal{O}_K$ の作用と両立するので、$\kappa(\mathfrak{p})$ 上のベクトル空間の同型である。$\square$

減少列 $\mathcal{O}_L=\mathfrak{P}^0\supset\mathfrak{P}\supset\mathfrak{P}^2\supset\cdots\supset\mathfrak{P}^e$ を考えると、$$\dim_{\kappa(\mathfrak{p})}\mathcal{O}_L/\mathfrak{P}^e=\sum_{j=0}^{e-1}\dim_{\kappa(\mathfrak{p})}\mathfrak{P}^j/\mathfrak{P}^{j+1}$$である。各 $\mathfrak{P}^j/\mathfrak{P}^{j+1}$ は $\mathfrak{P}$ で消されるので体 $\kappa(\mathfrak{P})$ 上のベクトル空間である。これが $\kappa(\mathfrak{P})$ 上 1 次元であることを示せば、$\kappa(\mathfrak{p})$ 上の次元は $f(\mathfrak{P}\mid\mathfrak{p})$ となり、主張が従う。

$\mathfrak{P}^j\neq\mathfrak{P}^{j+1}$ である（等しければ可逆イデアル $\mathfrak{P}^j$ を消去して $\mathcal{O}_L=\mathfrak{P}$ となる）。$\kappa(\mathfrak{P})$ 部分空間は $\mathcal{O}_L$ 部分加群、すなわち $\mathfrak{P}^{j+1}\subset J\subset\mathfrak{P}^j$ を満たすイデアル $J$ に対応する。含むことは割ることなので $J$ は $\mathfrak{P}^{j+1}$ を割り、分解の一意性から $J=\mathfrak{P}^i$（$i\le j+1$）であり、$J\subset\mathfrak{P}^j$ から $i\ge j$ である。よって $J$ は $\mathfrak{P}^j$ か $\mathfrak{P}^{j+1}$ であり、$\mathfrak{P}^j/\mathfrak{P}^{j+1}$ は $0$ と自分自身以外の部分空間をもたない $0$ でないベクトル空間、すなわち 1 次元である。$\square$

$f$ については、剰余体の拡大 $\kappa(\mathfrak{p})\subset\kappa(\mathfrak{Q})\subset\kappa(\mathfrak{P})$ に拡大次数の乗法性を当てればよい。$e$ については、$\mathfrak{p}\mathcal{O}_M=\mathfrak{Q}^{a}\mathfrak{A}$（$a=e(\mathfrak{Q}\mid\mathfrak{p})$、$\mathfrak{A}$ は $\mathfrak{Q}$ で割り切れないイデアル）と書き、$\mathcal{O}_L$ に持ち上げると $\mathfrak{p}\mathcal{O}_L=(\mathfrak{Q}\mathcal{O}_L)^{a}\,\mathfrak{A}\mathcal{O}_L$ である。$\mathfrak{Q}\mathcal{O}_L$ における $\mathfrak{P}$ の指数は $e(\mathfrak{P}\mid\mathfrak{Q})$ である。$\mathfrak{A}$ を割る素イデアル $\mathfrak{Q}'\neq\mathfrak{Q}$ について、$\mathfrak{Q}'\mathcal{O}_L$ を割る素イデアルは $\mathfrak{Q}'$ の上にあり（prop-pdnf-lying-over の 2）、$\mathfrak{Q}$ の上にある $\mathfrak{P}$ とは異なる。よって $\mathfrak{A}\mathcal{O}_L$ は $\mathfrak{P}$ で割り切れず、$\mathfrak{p}\mathcal{O}_L$ における $\mathfrak{P}$ の指数は $a\cdot e(\mathfrak{P}\mid\mathfrak{Q})$ である。$\square$

$h$ の係数は $\mathcal{O}_K$ に属し、判別式は係数の整数係数多項式なので（判別式 の記事の定理「判別式は係数の多項式である」）$d\in\mathcal{O}_K$ である。$h$ は標数 $0$ の体上の既約多項式なので重根をもたず、$d\neq0$ である。

$x\in\mathcal{O}_L$ を $K$ 上の基底 $1,\alpha,\dots,\alpha^{n-1}$ で $x=\sum_{i=0}^{n-1}c_i\alpha^i$（$c_i\in K$）と書く。$0\le j\le n-1$ について $x\alpha^j$ のトレース $\operatorname{Tr}_{L/K}$（$K$ 線形写像 $L\to L$、$z\mapsto x\alpha^jz$ の跡）を取ると$$\operatorname{Tr}_{L/K}(x\alpha^j)=\sum_{i=0}^{n-1}\operatorname{Tr}_{L/K}(\alpha^{i+j})\,c_i$$である。$\operatorname{Tr}_{L/K}(y)$ は $L$ の $K$ 上の $n$ 個の埋め込み $\sigma_1,\dots,\sigma_n$（$K$ の代数閉包への）による像の和であり（Ste12 Proposition 2.4.3）、$y\in\mathcal{O}_L$ なら各 $\sigma_k(y)$ は $\mathbb{Z}$ 上整なので、$\operatorname{Tr}_{L/K}(y)\in K$ は $\mathcal{O}_K$ に属する。よって行列 $T:=\bigl(\operatorname{Tr}_{L/K}(\alpha^{i+j})\bigr)_{i,j}$ と左辺の列ベクトル $b$ は $\mathcal{O}_K$ 成分である。$V:=\bigl(\sigma_k(\alpha)^{i}\bigr)_{k,i}$ とおくと $T=V^{\mathsf T}V$ であり、Vandermonde の行列式により$$\det T=(\det V)^2=\prod_{1\le k< l\le n}\bigl(\sigma_k(\alpha)-\sigma_l(\alpha)\bigr)^2=d$$である。$Tc=b$ の両辺に $T$ の余因子行列 $\operatorname{adj}T$（$\mathcal{O}_K$ 成分）を掛けると $d\,c=(\operatorname{adj}T)\,b$ なので、$dc_i\in\mathcal{O}_K$、すなわち $dx\in\mathcal{O}_K[\alpha]$ である。

$d\notin\mathfrak{p}$ なら $dt-1\in\mathfrak{p}$ となる $t\in\mathcal{O}_K$ があり、$x\in\mathcal{O}_L$ について $x=t(dx)+(1-dt)x\in\mathcal{O}_K[\alpha]+\mathfrak{p}\mathcal{O}_L$ である。$\square$