代数多様体
概要
代数多様体（algebraic variety）とは、体 $k$ 上のスキームであって、整で、$k$ 上分離的かつ有限型であるものをいう。局所的には $k$ 上有限生成な整域のスペクトル、すなわち素イデアルで定まる連立多項式方程式の解の空間であり、それを有限個、分離的に貼り合わせたものにあたる。$k$ が代数閉体なら、アフィン多様体の閉点は古典的な零点集合の点と 1 対 1 に対応し、多様体の次元は関数体の $k$ 上の超越次数に等しい。既約性を課さない流儀や、基礎体を代数閉体に限る流儀もある。
前提知識: スキーム, 有限型射, 分離射, Hilbertの零点定理
平面の曲線 $y^2=x^3-x$ や、行列式が $0$ でない $n$ 次正方行列の全体のように、有限個の多項式で定まる図形を、座標のとり方によらない 1 つの幾何的対象として扱うための枠組みが代数多様体である。古典的には、代数閉体 $k$ の上で $k^n$ の部分集合として零点集合を考えた（アフィン代数的集合）。しかし、それでは $\mathbb{R}$ や $\mathbb{Q}$ のような代数閉でない体の上の方程式や、いくつかの零点集合を貼り合わせた図形（射影空間など）を扱いにくい。そこでスキームの言葉を使い、「体 $k$ 上有限生成な整域のスペクトルを、有限個、分離的に貼り合わせたもの」として代数多様体を定める。$k$ が代数閉体のときは、この定義の閉点が古典的な零点集合の点とちょうど対応する（thm-algebraic-variety-classical-points）。
定義
以下、$k$ は体とする。$k$ 上のスキームとは、スキーム $X$ と射 $X\to\operatorname{Spec}k$（構造射）の組であり、$k$ 上のスキームの間の射はつねに構造射と両立するもの（$k$ 上の射）を考える。スキームの記事の定義「スキームの基本的な形容詞」にあるとおり、スキーム $X$ が整であるとは、$X$ が空でなく、空でないすべての開集合 $U$ について $\mathcal{O}_X(U)$ が整域であることをいい、これは $X$ が被約（どの $\mathcal{O}_X(U)$ も $0$ 以外の冪零元をもたない）かつ既約（位相空間として空でなく、2 つの真の閉集合の和に書けない）であることと同値である。
体 $k$ 上の 代数多様体（algebraic variety）、または単に $k$ 上の 多様体 とは、$k$ 上のスキーム $X$ であって、次の 3 条件を満たすものをいう。
(R1) $X$ は整である。
(R2) 構造射 $X\to\operatorname{Spec}k$ は分離射である（$X$ は $k$ 上分離的である）。
(R3) 構造射 $X\to\operatorname{Spec}k$ は有限型射である。すなわち $X$ は、$k$ 上の有限生成代数 $A_1,\dots,A_r$ のスペクトル $\operatorname{Spec}A_i$ と同型な有限個の開集合で覆われる。
$k$ 上の多様体 $X,Y$ の間の 射 とは、$k$ 上のスキームの射 $X\to Y$ をいう。多様体 $X$ がアフィンスキームであるとき、$X$ を アフィン多様体 という。$X$ の位相空間としての Krull 次元（既約閉集合の真の減少列 $Z_0\supsetneq Z_1\supsetneq\cdots\supsetneq Z_d$ の長さ $d$ の上限）を $X$ の 次元 といい、$\dim X$ と書く。
アフィン多様体 $X$ は $X\cong\operatorname{Spec}A$ と書け、$A=\mathcal{O}_X(X)$ は $k$ 上有限生成な整域である。逆に、$k$ 上有限生成な整域 $A$ について $\operatorname{Spec}A$ はアフィン多様体である（整であることは、$A$ が整域なので $\operatorname{Spec}A$ が空でなく既約（生成点 $(0)$ をもつ）で、茎 $A_{\mathfrak{p}}$ がすべて整域なので被約であることから従い、アフィンスキームの構造射は分離的である（分離射の命題「アフィンスキームの射の分離性」））。$A$ を生成元で表せば $A\cong k[x_1,\dots,x_n]/\mathfrak{p}$（$\mathfrak{p}$ は素イデアル）となるので、アフィン多様体とは「素イデアルで定まる連立方程式の解の空間」にほかならない。
$X$ を $k$ 上の多様体とする。
- $X$ の空でない開集合 $U$ に開部分スキームの構造を入れたものを $X$ の 開部分多様体 という（これが多様体であることは prop-algebraic-variety-subvarieties）。
- $X$ の閉部分スキーム $Z$ であって、それ自身が整であるものを $X$ の 閉部分多様体 という。
閉部分スキームとは、閉埋め込み $Z\to X$（位相空間としては閉集合への同相で、層の射 $\mathcal{O}_X\to i_*\mathcal{O}_Z$ が全射であるもの）のことである（スキームの定義「開部分スキームと閉部分スキーム」）。
閉部分多様体の典型は、閉集合に「被約誘導構造」を入れたものである。スキーム $X$ の閉集合 $T$ に対し、台が $T$ で被約な閉部分スキーム $Z\subset X$ がただ 1 つ存在する。アフィン開集合 $\operatorname{Spec}A\subset X$ の上では、$T\cap\operatorname{Spec}A=V(I)$ となる根基イデアル $I\subset A$ をとって $Z\cap\operatorname{Spec}A=\operatorname{Spec}A/I$ とすればよい（Stacks Tag 01J3、Schemes, Lemma 12.4）。この $Z$ を $T$ の 被約誘導構造 という。
定義の流儀
「代数多様体」の定義は文献によって異なる。違いは主に、既約性を課すか、基礎体を代数閉体に限るか、点をどう考えるかにある（Vak25 5.3.7 は、既約性や代数閉体を定義に含める文献があると注意している）。
| この記事 | 被約だけを課す流儀 | 古典的な流儀 | |
|---|---|---|---|
| 典拠 | Stacks Tag 020D | Vak25 11.2.9 | アフィン代数的集合 の言葉 |
| 基礎体 $k$ | 任意の体 | 任意の体 | 代数閉体 |
| 被約 | 課す | 課す | 点の集合なので問題にならない |
| 既約 | 課す | 課さない（課したものを既約多様体と呼ぶ） | 流儀による |
| 分離的 | 課す | 課す | 零点集合を貼り合わせる段階で課す |
| 有限型 | 課す | 課す | 有限個の変数の多項式 |
| 点 | スキームの点（生成点を含む） | スキームの点 | $k^n$ の点 |
この記事の定義は、有限型射の例「体上の代数多様体」、双有理写像の定義の前置き、スキームの定義「スキームの基本的な形容詞」の注意（古典的な代数多様体は代数閉体上の整で分離的な有限型スキームに対応する）と一致している。既約性を課さない流儀で「多様体」と書かれた主張は、この記事の言葉では「被約で分離的な有限型スキーム」についての主張と読み替える。
例と反例
例
$\mathbb{A}^n_k=\operatorname{Spec}k[x_1,\dots,x_n]$ はアフィン多様体である（多項式環は $k$ 上有限生成な整域）。次元は $n$ である（超越次数の定理「体上有限生成な整域の次元」により $\dim k[x_1,\dots,x_n]=\operatorname{trdeg}_kk(x_1,\dots,x_n)=n$）。
射影空間 $\mathbb{P}^n_k$ も $k$ 上の多様体である。$\mathbb{P}^n_k$ は $n+1$ 個のアフィン開集合 $U_i\cong\mathbb{A}^n_k$（$x_i\neq0$ の部分）で覆われるので有限型であり、分離的であることは分離射の命題「射影空間の分離性」による。被約性は各 $U_i$ で確かめればよい。既約性は、$U_i$ がどれも既約で、どの 2 つも交わる（$U_i\cap U_j\cong\operatorname{Spec}k[x_l/x_i]_{x_j/x_i}\neq\emptyset$）ことから従う。
詳細
位相空間 $X$ が既約な開集合 $U_0,\dots,U_n$ で覆われ、どの 2 つも交わるとする。$X=F_1\cup F_2$（$F_1,F_2$ は閉集合）とすると、各 $U_i$ は既約なので $U_i\subset F_1$ または $U_i\subset F_2$ である。$U_i\subset F_1$ かつ $U_j\not\subset F_1$ となる $i,j$ があったとすると $U_j\subset F_2$ であり、$U_j\cap F_1$ は $U_j$ の閉集合で、空でない開集合 $U_i\cap U_j$ を含む。既約空間の空でない開集合は稠密なので $U_j\cap F_1=U_j$ となり矛盾する。よってすべての $U_i$ が同じ $F_1$（または $F_2$）に含まれ、$X=F_1$ または $X=F_2$ である。
$f\in k[x,y]$ が既約多項式なら、$k[x,y]$ は一意分解整域なので $(f)$ は素イデアルであり、$C:=\operatorname{Spec}k[x,y]/(f)$ はアフィン多様体である。たとえば $f=y^2-(x^3-x)$ は、どの体 $k$ の上でも既約である。実際、$y$ について最高次の係数が $1$ なので、$k[x][y]$ での分解は $(y-a)(y-b)$（$a,b\in k[x]$）の形に限り、$a+b=0$、$ab=-(x^3-x)$ から $x^3-x=a^2$ となるが、左辺の次数 $3$ は奇数なので不可能である。$C$ の座標環の商体は $k(x)$ 上 $y$ で生成される 2 次拡大なので超越次数は $1$ であり、$\dim C=1$ である。
$n^2$ 個の変数 $x_{ij}$ の多項式 $\det=\det(x_{ij})$ について、$\mathbb{A}^{n^2}_k$ の基本開集合
$$
GL_{n,k}:=D(\det)=\operatorname{Spec}k[x_{ij}]_{\det}
$$
は、単位行列の点を含むので空でない開集合であり、prop-algebraic-variety-subvarieties により多様体である。その $k$ 有理点は行列式が $0$ でない $n$ 次正方行列、すなわち一般線形群 $GL_n(k)$ の元である。行列の積と逆行列は多項式と $1/\det$ で書けるので、$GL_{n,k}$ は多様体であって群の構造をもつもの（群多様体）の例になる。完備な群多様体がアーベル多様体である。
$\operatorname{Spec}\mathbb{Q}(i)$ は $\mathbb{Q}$ 上の多様体である。$\mathbb{Q}(i)\cong\mathbb{Q}[t]/(t^2+1)$ は $\mathbb{Q}$ 上有限生成な整域だからである。これは 1 点からなる $0$ 次元の多様体だが、その点の剰余体は $\mathbb{Q}$ でなく $\mathbb{Q}(i)$ である。
同様に、$\mathbb{A}^1_{\mathbb{R}}=\operatorname{Spec}\mathbb{R}[x]$ の閉点は $\mathbb{R}[x]$ の極大イデアル、すなわち $(x-a)$（$a\in\mathbb{R}$）と $(x^2+bx+c)$（$b^2-4c<0$）である。後者は、共役な 2 つの複素数 $\frac{-b\pm i\sqrt{4c-b^2}}{2}$ の組を 1 つの点として記録している。古典的な流儀で $\mathbb{R}^1$ の点だけを見ると、この情報が落ちる。
反例
条件 (i)〜(iii) のどれを外しても、多様体でないスキームが得られる。
| 外す条件 | 反例 | 成り立たなくなること |
|---|---|---|
| 分離的 | 原点を 2 つもつ直線 | 2 つの射が稠密な開集合で一致しても等しいとは限らない |
| 被約 | $\operatorname{Spec}k[x]/(x^2)$ | 座標環が整域でない（冪零元 $x$ がある） |
| 既約 | $\operatorname{Spec}k[x,y]/(xy)$ | 座標環が整域でない（$x\cdot y=0$） |
| 有限型 | $\operatorname{Spec}k[x_1,x_2,\dots]$、$\operatorname{Spec}k(t)$ | 有限生成な $k$ 代数で覆えない |
$\mathbb{A}^1_k$ を 2 つ用意し、原点を除いた部分 $D(t)$ どうしを恒等写像で貼り合わせたスキーム $X$ は、整で $k$ 上有限型だが、$k$ 上分離的でない（スキームの例「原点を 2 つもつ直線」）。したがって条件 (ii) だけを破る。2 つの開埋め込み $\psi_1,\psi_2\colon\mathbb{A}^1_k\to X$ は稠密な開集合 $D(t)$ の上で一致するが、原点の像が異なるので $\psi_1\neq\psi_2$ である。多様体の定義に分離性を入れるのは、prop-algebraic-variety-dense-agreement のように「射が稠密な開集合で決まる」ことを保証するためである。
$X=\operatorname{Spec}k[x]/(x^2)$ は $k$ 上有限型で分離的、位相空間は 1 点なので既約だが、$x\neq0$ かつ $x^2=0$ なので被約でない。したがって条件 (i) のうち被約性だけを破る。
$Y=\operatorname{Spec}k[x,y]/(xy)$ は $k$ 上有限型で分離的、$k[x,y]$ のイデアル $(xy)$ は根基イデアルなので被約である（$k[x,y]$ は一意分解整域で、$xy$ は相異なる既約元の積）。しかし位相空間は 2 本の座標軸 $V(x)$、$V(y)$ の和で、どちらも真の閉集合だから既約でない。したがって条件 (i) のうち既約性だけを破る。$Y$ は被約だけを課す流儀（Vak25 11.2.9）では多様体であり、2 つの閉部分多様体 $V(x)\cong\mathbb{A}^1_k$、$V(y)\cong\mathbb{A}^1_k$ の和になっている。
性質
古典的な零点集合との対応
$k$ が代数閉体のとき、アフィン多様体の閉点は古典的な零点集合の点と 1 対 1 に対応し、閉集合どうしも対応する。スキームとしての多様体は、古典的な零点集合に、既約な部分集合を代表する点（生成点）を付け加えたものと考えられる。
以下、$A:=k[x_1,\dots,x_n]$、$a=(a_1,\dots,a_n)\in k^n$ に対し $\mathfrak{m}_a:=(x_1-a_1,\dots,x_n-a_n)$ とし、イデアル $J\subset A$ の $k^n$ での共通零点の集合を $V(J)\subset k^n$ と書く。$V(J)$ の位相は $k^n$ の Zariski 位相（閉集合が $V(J')$ の形の集合である位相）からの相対位相とする。スペクトル $\operatorname{Spec}R$ の閉集合 $\{\mathfrak{q}\mid\mathfrak{q}\supset J\}$ は $V(J)$ と区別して $V_{\operatorname{Spec}R}(J)$ と書く。
$k$ を代数閉体、$\mathfrak{p}\subset A$ を素イデアルとし、$X:=\operatorname{Spec}A/\mathfrak{p}$、$X_{\mathrm{cl}}\subset X$ を $X$ の閉点全体（$X$ からの相対位相を入れる）とする。
まず、$f\in A$ について $f\in\mathfrak{m}_a\iff f(a)=0$ である。実際、$x_i=(x_i-a_i)+a_i$ を $f$ に代入して展開すると $f=f(a)+\sum_i(x_i-a_i)g_i$（$g_i\in A$）と書けるので、$f(a)=0$ なら $f\in\mathfrak{m}_a$ であり、逆は明らかである。よって $\mathfrak{m}_a$ は全射な評価写像 $A\to k$、$f\mapsto f(a)$ の核であり、$A/\mathfrak{m}_a\cong k$ だから $\mathfrak{m}_a$ は極大イデアルである。
1：$X$ の点は $A$ の素イデアルで $\mathfrak{p}$ を含むもの $\mathfrak{q}$（の $\mathfrak{p}$ による像）であり、点 $\mathfrak{q}$ の閉包は $V_X(\mathfrak{q})$ なので、$\mathfrak{q}$ が閉点であることと $\mathfrak{q}$ が極大イデアルであることは同値である。Hilbertの零点定理の定理「Hilbertの零点定理」の 1 により、$A$ の極大イデアルはちょうど $\mathfrak{m}_a$（$a\in k^n$）であり、$a\mapsto\mathfrak{m}_a$ は単射である。さらに冒頭の同値により、$\mathfrak{p}\subset\mathfrak{m}_a$ であることと、すべての $f\in\mathfrak{p}$ が $f(a)=0$ を満たすこと、すなわち $a\in V(\mathfrak{p})$ であることは同値である。よって $\varphi$ は well-defined な全単射である。
2：$X$ の閉集合は $\mathfrak{p}$ を含むイデアル $J$ によって $V_X(J)$ と書ける。冒頭の同値により
$$
\varphi^{-1}\bigl(V_X(J)\cap X_{\mathrm{cl}}\bigr)=\{a\in V(\mathfrak{p})\mid J\subset\mathfrak{m}_a\}=V(J)
$$
である（$J\supset\mathfrak{p}$ なので $V(J)\subset V(\mathfrak{p})$）。一方、$V(\mathfrak{p})$ の閉集合は $V(J')\cap V(\mathfrak{p})=V(J'+\mathfrak{p})$ の形の集合である。したがって $\varphi$ で閉集合の逆像は閉集合であり、$V(\mathfrak{p})$ のどの閉集合も $X_{\mathrm{cl}}$ の閉集合の逆像である。全単射 $\varphi$ は同相写像である。
3：全射であることは相対位相の定義による。単射であることを示す。$X$ の閉集合 $Z_1,Z_2$ を $Z_i=V_X(J_i)$（$J_i\supset\mathfrak{p}$）と書く。$V_X(J_i)=V_X(\sqrt{J_i})$ なので $J_i$ は根基イデアルとしてよい。$Z_1\cap X_{\mathrm{cl}}=Z_2\cap X_{\mathrm{cl}}$ なら、2 の式により $V(J_1)=V(J_2)$ である。Hilbert の零点定理（Hilbertの零点定理の系「根基イデアルとアフィン代数的集合の対応」）により、根基イデアルは零点集合で決まるので $J_1=J_2$、よって $Z_1=Z_2$ である。逆写像について：$Z$ を閉集合とし、$Z':=\overline{Z\cap X_{\mathrm{cl}}}$ とおくと、$Z'\subset Z$ は閉集合で $Z'\cap X_{\mathrm{cl}}=Z\cap X_{\mathrm{cl}}$ だから、単射性により $Z'=Z$ である。$Z=X$ とすれば $X_{\mathrm{cl}}$ の稠密性が、$Z\neq\emptyset$ なら $Z=\overline{Z\cap X_{\mathrm{cl}}}$ から $Z\cap X_{\mathrm{cl}}\neq\emptyset$ が従う。$\square$
たとえば $k$ が代数閉体のとき、$\mathbb{A}^1_k=\operatorname{Spec}k[x]$ の点は、閉点 $(x-a)$（$a\in k$）と生成点 $(0)$ である。生成点は古典的な点ではないが、その閉包は $\mathbb{A}^1_k$ 全体であり、「$\mathbb{A}^1_k$ という既約な図形そのもの」を 1 点で表している。$k$ が代数閉体でないときは、閉点の剰余体が $k$ より大きくなりうる（ex-algebraic-variety-nonclosed）。それでも、体上有限型のスキームの閉点は剰余体が $k$ 上有限次の点にほかならず（有限型射の命題「体上局所有限型のスキームの閉点」）、閉点は稠密である（Vak25 演習 5.3.F）。
部分多様体
$X$ を $k$ 上の多様体とする。
- $X$ の空でない開集合 $U$ は、開部分スキームとして $k$ 上の多様体である。
- $X$ の空でない既約閉集合 $T$ に被約誘導構造を入れた閉部分スキーム $Z$ は、$k$ 上の多様体（閉部分多様体）である。逆に、$X$ の閉部分多様体は、その台 $T$（空でない既約閉集合）の被約誘導構造と一致する。したがって閉部分多様体は $X$ の空でない既約閉集合と 1 対 1 に対応する。
- $X=\operatorname{Spec}R$ がアフィン多様体なら、$X$ の閉部分多様体はちょうど $\operatorname{Spec}R/\mathfrak{q}$（$\mathfrak{q}\subset R$ は素イデアル）である。
要点：整であることは開集合・被約誘導構造の定義から、分離性は開埋め込み・閉埋め込みが分離的であることから従う。有限型であることは、$X$ を覆う有限生成な $k$ 代数 $A_i$ が Noether 環であることを使って、$U$ や $Z$ も有限生成な $k$ 代数のスペクトル有限個で覆えることを確かめる。
詳しい証明を開く
$X$ を覆う有限個のアフィン開集合 $\operatorname{Spec}A_1,\dots,\operatorname{Spec}A_r$（$A_i$ は $k$ 上有限生成）をとる。各 $A_i$ は Hilbert の基底定理により Noether環である。
1：$U$ の空でない開集合は $X$ の空でない開集合でもあるので、$\mathcal{O}_U(V)=\mathcal{O}_X(V)$ は整域であり、$U$ は整である。$U\cap\operatorname{Spec}A_i$ は $\operatorname{Spec}A_i$ の開集合なので、あるイデアル $J\subset A_i$ によって $\operatorname{Spec}A_i\setminus V_{\operatorname{Spec}A_i}(J)$ と書ける。$A_i$ は Noether 環だから $J=(f_1,\dots,f_m)$ と有限生成であり、$U\cap\operatorname{Spec}A_i=D(f_1)\cup\cdots\cup D(f_m)$ となる。$D(f)\cong\operatorname{Spec}(A_i)_f$ で、$(A_i)_f\cong A_i[t]/(tf-1)$ は $k$ 上有限生成である。よって $U$ は $k$ 上有限生成な代数のスペクトル有限個で覆われ、$k$ 上有限型である。開埋め込み $U\to X$ は分離的なので、合成 $U\to X\to\operatorname{Spec}k$ は分離的である（分離射の命題「モノ射とはめ込みの分離性」）。
2：被約誘導構造の構成により $Z\cap\operatorname{Spec}A_i=\operatorname{Spec}A_i/I_i$（$I_i$ は根基イデアル）であり、$A_i/I_i$ は $k$ 上有限生成なので $Z$ は $k$ 上有限型である。$Z$ は被約で、台 $T$ は既約だから整である。閉埋め込み $Z\to X$ は分離的なので、1 と同じく $Z$ は $k$ 上分離的である。逆に、閉部分多様体 $Z'$ は整なので被約であり、その台 $T$ は空でない既約閉集合である。台が $T$ で被約な閉部分スキームはただ 1 つなので（Stacks Tag 01J3）、$Z'$ は $T$ の被約誘導構造である。
3：$\operatorname{Spec}R$ の空でない既約閉集合はちょうど $V_X(\mathfrak{q})$（$\mathfrak{q}$ は素イデアル）である（スキームの命題「既約閉集合は生成点をただ 1 つもつ」により、既約閉集合 $T$ は生成点 $\mathfrak{q}$ の閉包 $V_X(\mathfrak{q})$ である）。$\mathfrak{q}$ は根基イデアルなので、$V_X(\mathfrak{q})$ の被約誘導構造は $\operatorname{Spec}R/\mathfrak{q}$ である。2 から結論が従う。$\square$
ex-algebraic-variety-gl の $GL_{n,k}$ は 1 の例であり、ex-algebraic-variety-plane-curve の平面曲線は $\mathbb{A}^2_k$ の閉部分多様体として 3 の例である。
射は稠密な開集合で決まる
多様体の定義の「被約」と「分離的」は、次の性質を保証するために効いている。多様体では空でない開集合はつねに稠密なので（既約空間の空でない開集合は稠密）、多様体の間の射は、空でない開集合の上の値だけで決まる。
$X$ を被約な $k$ 上のスキーム、$Y$ を $k$ 上分離的なスキームとし、$f,g\colon X\to Y$ を $k$ 上の射とする。$X$ の稠密な開集合 $U$ の上で $f|_U=g|_U$ ならば、$f=g$ である。とくに $X,Y$ が $k$ 上の多様体なら、空でない開集合の上で一致する 2 つの射は等しい。
$Y$ は $k$ 上分離的なので、分離射の命題「分離射への 2 つの射の一致点集合」により、閉埋め込み $i\colon Z\to X$ で次の性質をもつものがある：射 $h\colon T\to X$ について、$f\circ h=g\circ h$ であることと $h$ が $i$ を経由することは同値である。
$$
\xymatrix{
U \ar@{^{(}->}[r]^{j} \ar@{.>}[d] & X \ar@<0.5ex>[r]^{f} \ar@<-0.5ex>[r]_{g} & Y \\
Z \ar[ur]_{i} & &
}
$$
図式の意味は、$f\circ j=g\circ j$ だから包含 $j\colon U\to X$ が $Z$ を経由し、$j=i\circ j'$ となる $j'\colon U\to Z$ があるということである。とくに集合として $U\subset i(Z)$ であり、$i(Z)$ は閉集合で $U$ は稠密だから $i(Z)=X$ である。$Z$ を定める $\mathcal{O}_X$ のイデアル層を $\mathcal{I}$ とし、アフィン開集合 $\operatorname{Spec}B\subset X$ の上で $\mathcal{I}$ がイデアル $I\subset B$ に対応するとすると、$V_{\operatorname{Spec}B}(I)=\operatorname{Spec}B$ なので $I$ はすべての素イデアルに含まれ、$I$ は $B$ の冪零根基に含まれる。$X$ は被約なので $I=0$ であり、$\mathcal{I}=0$、すなわち $i$ は同型である。よって $\mathrm{id}_X$ が $i$ を経由し、$f=f\circ\mathrm{id}_X=g\circ\mathrm{id}_X=g$ となる。
$X,Y$ が多様体なら、$X$ は被約、$Y$ は分離的で、$X$ は既約なので空でない開集合は稠密である。$\square$
同じ主張は分離射の系「稠密な開集合で一致する射」、双有理写像の補題「稠密な開集合で一致する射は一致する」にもあり、後者はこれを使って有理写像を定義している。2 つの仮定はどちらも外せない。
| 外す仮定 | 反例 | 成り立たなくなること |
|---|---|---|
| $X$ が被約 | $X=\operatorname{Spec}k[x,\varepsilon]/(\varepsilon^2,x\varepsilon)$、$Y=\mathbb{A}^1_k$ | $D(x)$ で一致する 2 つの射が異なる |
| $Y$ が分離的 | $X=\mathbb{A}^1_k$、$Y$＝原点を 2 つもつ直線 | $D(t)$ で一致する 2 つの射が異なる |
$B:=k[x,\varepsilon]/(\varepsilon^2,x\varepsilon)$、$X:=\operatorname{Spec}B$ とする。$B$ は $k$ 上 $1,x,x^2,\dots,\varepsilon$ を基底にもち、$\varepsilon\neq0$、$\varepsilon^2=0$ なので $X$ は被約でない。$X$ の素イデアルはすべて冪零元 $\varepsilon$ を含むので、$X$ の位相空間は $\operatorname{Spec}k[x]$ と同じであり、$U:=D(x)$ は原点以外の点すべて（生成点を含む）からなる稠密な開集合である。$B_x$ では $\varepsilon=x\varepsilon/x=0$ だから $B_x\cong k[x,x^{-1}]$ である。$Y=\mathbb{A}^1_k=\operatorname{Spec}k[y]$ への 2 つの射 $f,g$ を、$k$ 代数の準同型 $y\mapsto0$、$y\mapsto\varepsilon$ で定めると、$U$ の上ではどちらも $y\mapsto0$ になるので $f|_U=g|_U$ だが、$\varepsilon\neq0$ だから $f\neq g$ である。$Y$ は多様体なので、破れているのは $X$ の被約性だけである。
ex-algebraic-variety-two-origins の $\psi_1,\psi_2\colon\mathbb{A}^1_k\to X$ が 2 行目の反例である。ここでは始域 $\mathbb{A}^1_k$ は多様体であり、破れているのは終域の分離性だけである。
次元と関数体
多様体 $X$ は既約なので、ただ 1 つの生成点 $\eta$ をもつ（スキームの命題「既約閉集合は生成点をただ 1 つもつ」）。その局所環 $k(X):=\mathcal{O}_{X,\eta}$ は体であり、$X$ の関数体と呼ばれる。空でないアフィン開集合 $\operatorname{Spec}A\subset X$ について $k(X)$ は $A$ の商体と一致する。実際、$\eta$ は空でない開集合 $\operatorname{Spec}A$ に含まれ、整域 $A$ のスペクトルの生成点、すなわち素イデアル $(0)$ であるから、$\mathcal{O}_{X,\eta}=A_{(0)}=\operatorname{Frac}A$ となる。
$X$ を $k$ 上の多様体とすると、$\dim X=\operatorname{trdeg}_kk(X)$ である。とくに $X$ の空でない開部分多様体 $U$ について $\dim U=\dim X$ である。
Vak25 12.2.1（p. 338）の定理「dimension = transcendence degree」による。アフィン多様体 $\operatorname{Spec}A$ の場合は超越次数の定理「体上有限生成な整域の次元」$\dim A=\operatorname{trdeg}_k\operatorname{Frac}A$ そのものである。一般の場合への移行には、多様体の次元が空でないアフィン開集合の次元に等しいことが要り、その証明は Noether の正規化定理を使うのでここでは割愛する。後半は、$U$ と $X$ の生成点が同じで $k(U)=k(X)$ となることから前半により従う。Vak25 は、有限型の仮定がないと後半が成り立たない例（$\operatorname{Spec}k[x]_{(x)}$ とその生成点だけからなる開集合）も挙げている。
注意
基礎体の拡大と積
$k$ 上の多様体 $X$ を大きい体 $k'$ に係数拡大した $X_{k'}:=X\times_{\operatorname{Spec}k}\operatorname{Spec}k'$ は、$k'$ 上の多様体になるとは限らない。多様体の積も多様体になるとは限らない。
$X=\operatorname{Spec}\mathbb{Q}(i)$ は $\mathbb{Q}$ 上の多様体である（ex-algebraic-variety-nonclosed）。$\mathbb{Q}(i)=\mathbb{Q}[t]/(t^2+1)$ だから
$$
\mathbb{Q}(i)\otimes_{\mathbb{Q}}\mathbb{Q}(i)\cong\mathbb{Q}(i)[t]/(t^2+1)=\mathbb{Q}(i)[t]/\bigl((t-i)(t+i)\bigr)\cong\mathbb{Q}(i)\times\mathbb{Q}(i)
$$
である（最後は $t-i$ と $t+i$ が互いに素であることによる中国剰余定理）。よって $X\times_{\operatorname{Spec}\mathbb{Q}}X$ は 2 点からなる離散空間で既約でなく、多様体でない（Stacks Tag 020G）。同じ計算で、$X$ を $\mathbb{Q}(i)$ に係数拡大したものも既約でない。
$k$ が代数閉体なら、$k$ 上の多様体の積 $X\times_{\operatorname{Spec}k}Y$ は多様体である（Stacks Tag 05P3、Varieties, Lemma 3.3）。係数拡大しても整であり続ける多様体は「幾何的に整」と呼ばれ、アーベル多様体などの定義で課されることがある。
可微分多様体・複素多様体との違い
「多様体」という語は多様体（位相多様体・可微分多様体）や複素多様体にも使われるが、代数多様体はそれらと次の点で異なる。
- 位相は Zariski 位相であり、1 次元以上の多様体では Hausdorff でない（空でない 2 つの開集合は必ず交わる）。
- 局所的にユークリッド空間と同型である必要はなく、特異点をもってよい。たとえば $\operatorname{Spec}k[x,y]/(y^2-x^3)$ は尖点をもつアフィン多様体である（$y^2-x^3$ は ex-algebraic-variety-plane-curve と同じ議論で既約）。特異点を滑らかな多様体で置き換える操作が特異点解消である。
- 点には閉点のほかに生成点のような閉でない点がある。
$k=\mathbb{C}$ のとき、多様体の閉点の集合には多項式を通して複素解析的な構造が入り（解析化）、複素解析空間が得られる（複素解析空間の例「射影多様体の解析化」）。
関連項目
参考文献
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