古典群のコホモロジー環

$Q(v)$ の性質．$v\in U$ なら $v_1\ne1$ である（$|v_1|\le|v|=1$ で、$v_1=1$ なら他の成分は $0$ になり $v=e_1$）。$Q(v)$ の $(i,j)$ 成分は $\delta_{ij}-w_ia\bar w_j$ で、$v$ について連続である。$w^*e_1=\bar w_1=1-\bar v_1$ だから $Q(v)e_1=e_1-wa(1-\bar v_1)=e_1-w=v$ である。$Q(v)^*=I-w\bar aw^*$ であり、$w^*w=|1-v_1|^2+\sum_{i\ge2}|v_i|^2=2-2\operatorname{Re}v_1$ は実数なので$$Q^*Q=I-w(a+\bar a)w^*+w\,\bar a(w^*w)a\,w^*=I-w\bigl(a+\bar a-|a|^2w^*w\bigr)w^*.$$$a^{-1}+\bar a^{-1}=(1-\bar v_1)+(1-v_1)=w^*w$ で、$a^{-1}=\bar a/|a|^2$（四元数でも成り立つ）から $|a|^2w^*w=|a|^2(a^{-1}+\bar a^{-1})=\bar a+a$ となり、$Q^*Q=I$ である。四元数の場合も、使った可換性は実数 $w^*w$ と $|a|^2$ がすべての元と可換であることだけである。

切断．$U(n)$・$Sp(n)$ では $s_U:=Q$ とする。$SU(n)$ では $\delta(v):=\det Q(v)$（$|\delta|=1$）とおき、$s_U(v):=Q(v)\operatorname{diag}(1,\dots,1,\delta(v)^{-1})$ とする。$n\ge2$ なので第 1 列は変わらず、$\det s_U=1$ である。$J$ は 3 つの群のどれにも属し $J^2=I$ である。$v\in V$ なら $Jv\ne e_1$（$Je_1=-e_1$）なので $s_V(v):=Js_U(Jv)$ が定義でき、$s_V(v)e_1=J(Jv)=v$ である。

同相．$C\in G(n)$ が $Ce_1=e_1$ を満たすとする。$j\ge2$ について第 $j$ 列は第 1 列 $e_1$ に直交するので、その第 1 成分 $\langle e_1,Ce_j\rangle$ は $0$ であり、$C=\operatorname{diag}(1,B)$ と書ける。$B$ の列は正規直交で、$SU(n)$ では $\det B=\det C=1$ だから $B\in G(n-1)$ である。よって $A\mapsto\bigl(Ae_1,\ s_U(Ae_1)^{-1}A\text{ の右下の }(n-1)\text{ 次ブロック}\bigr)$ は $p^{-1}(U)\to U\times G(n-1)$ の連続写像で、$\Phi_U$ の両側の逆写像である。$V$ でも同じである。$\square$

$W\times F$ のコホモロジー．$W=S^d\setminus\{\pm e_1\}$ は、$v_s:=(v-s\operatorname{Re}(v_1)e_1)/|v-s\operatorname{Re}(v_1)e_1|$（$0\le s\le1$）により、$\operatorname{Re}u_1=0$ となる単位ベクトル $u$ のなす $d-1$ 次元球面に変位レトラクトする（分母が $0$ になるのは $v$ が $e_1$ の実数倍のとき、すなわち $v=\pm e_1$ のときだけである）。$H^*(F)$ は各次数で有限生成自由なので、Leray–Hirschの定理(一般の係数環) の補題「積空間のクロス積」により $H^q(W\times F)\cong\bigoplus_aH^a(W)\otimes H^{q-a}(F)$ である。$0< a< d-1$ では $H^a(W)\cong H^a(S^{d-1})=0$ なので、$q< d-1$ では $\mathrm{pr}_F^*\colon H^q(F)\to H^q(W\times F)$ は同型であり、点 $v_0\in W$ での包含 $i_{v_0}\colon F\to W\times F$、$B\mapsto(v_0,B)$ が誘導する $i_{v_0}^*$ はその逆写像である。

貼り合わせの作用．$\tau:=\Phi_V^{-1}\circ\Phi_U$ とおく。$\tau\circ i_{v_0}=i_{v_0}\circ L$、$L(B):=t(v_0)B$ である。$F$ は弧状連結なので $I$ から $t(v_0)$ への道 $\gamma$ があり、$(B,s)\mapsto\gamma(s)B$ は $\mathrm{id}_F$ から $L$ へのホモトピーである。よって $i_{v_0}^*\tau^*=L^*i_{v_0}^*=i_{v_0}^*$ であり、$q< d-1$ では $i_{v_0}^*$ が同型なので $\tau^*$ は $H^q(W\times F)$ の恒等写像である。

延長．$\alpha:=(\Phi_U^{-1})^*\mathrm{pr}_F^*y\in H^q(p^{-1}(U))$、$\beta:=(\Phi_V^{-1})^*\mathrm{pr}_F^*y\in H^q(p^{-1}(V))$ とおく。$p^{-1}(W)$ への制限を $\Phi_U$ で $W\times F$ に引き戻すと、$\alpha$ は $\mathrm{pr}_F^*y$、$\beta$ は $\tau^*\mathrm{pr}_F^*y=\mathrm{pr}_F^*y$ になる。よって $\alpha$ と $\beta$ は $p^{-1}(W)$ で一致する。開被覆 $G(n)=p^{-1}(U)\cup p^{-1}(V)$ の Mayer–Vietoris 完全列$$H^q(G(n))\to H^q(p^{-1}(U))\oplus H^q(p^{-1}(V))\to H^q(p^{-1}(W))$$（2 つ目の写像は制限の差。Hat02 §3.1、p. 203）の完全性から、両方への制限が $\alpha$、$\beta$ になる $c$ がある。

部分群への制限．$e_1\in V$ であり、$s_V(e_1)^{-1}=\operatorname{diag}(1,t_0)$（$t_0\in F$）とおくと $\iota(B)=\Phi_V(e_1,t_0B)$ である。左からの $t_0$ 倍は上と同じく $\mathrm{id}_F$ にホモトピックなので、$\iota^*c=y$ である。$\square$

3 つの群をまとめて $n$ についての帰納法で示す。主張に「$G(n)$ は弧状連結」を加える。

$n=1$． $U(1)=S^1$、$Sp(1)=S^3$、$SU(1)=\{1\}$ なので、$H^*$ はそれぞれ $\Lambda_{\mathbb Z}[x_1]$、$\Lambda_{\mathbb Z}[x_3]$、$\mathbb Z$ で、どれも弧状連結である（Mayer–Vietoris完全列 の命題「球面のホモロジー」と 普遍係数定理）。

$n-1$ から $n$ へ． $n\ge2$ とし、$F:=G(n-1)$ について主張が成り立つとする。$F$ の生成元の次数の最大値は、$U(n-1)$・$SU(n-1)$ では $2n-3$、$Sp(n-1)$ では $4n-5$ で、どれも $d-1$ より小さい（$SU(1)$ では生成元がない）。

弧状連結性． $p^{-1}(U)\cong U\times F$ と $p^{-1}(V)\cong V\times F$（lem-cgc-bundle）は弧状連結な空間の積なので弧状連結で、共通部分 $p^{-1}(W)$ は空でないから、$G(n)$ は弧状連結である。

ファイバーの基底の延長． $F$ の各生成元 $x_i$ に lem-cgc-extend を当てて $c_i\in H^i(G(n))$ を選ぶ。相異なる生成元の積 $x_I:=x_{i_1}\cdots x_{i_r}$（$i_1<\cdots< i_r$）は $H^*(F)$ の基底であり、ファイバーへの制限は環準同型なので、$c_I:=c_{i_1}\cdots c_{i_r}$ のどのファイバーへの制限も $x_I$ である。すなわち $\{c_I\}$ は各ファイバーで基底に制限する。

Leray–Hirsch の定理． $H^*(F)$ は各次数で有限生成自由なので、ファイバー束 $p$ に Leray–Hirschの定理(一般の係数環) の定理「任意の底空間と係数環での Leray–Hirsch の定理」を当てて、$H^*(G(n))$ は $\{c_I\}$ を基底とする自由 $H^*(S^d)$ 加群である。$H^*(S^d)=\mathbb Z\cdot1\oplus\mathbb Z\eta$（$\deg\eta=d$）なので、$a:=p^*\eta$ とおくと$$\{c_I\}\cup\{c_Ia\}$$が $H^*(G(n))$ の $\mathbb Z$ 基底である。とくに $H^*(G(n))$ は捩れをもたない。

環の構造． $c_i$ と $a$ はどれも奇数次である。次数付き可換性（コホモロジー環 の定理「コホモロジー環の基本性質」）から $c_i^2=-c_i^2$、すなわち $2c_i^2=0$ であり、捩れがないので $c_i^2=0$ である。また $a^2=p^*(\eta^2)$ で、$\eta^2\in H^{2d}(S^d)=0$ だから $a^2=0$ である。よって $x_i\mapsto c_i$、$x_d\mapsto a$ は環準同型 $\Lambda_{\mathbb Z}[\dots,x_d]\to H^*(G(n))$ を定め（def-cgc-exterior の後の注意）、外積代数の単項式の基底 $x_I$、$x_Ix_d$ を $\mathbb Z$ 基底 $c_I$、$c_Ia$ に写すので同型である。生成元の次数は、$U(n)$ では $1,3,\dots,2n-3$ に $d=2n-1$ が加わり、$SU(n)$ では $3,\dots,2n-3$ に $2n-1$、$Sp(n)$ では $3,7,\dots,4n-5$ に $4n-1$ が加わる。lem-cgc-extend により $\iota^*c_i=x_i$ である。$\square$

微分と $\rho^*$．$P^j$ の $\mathbb F_2$ 係数の胞体境界は $0$ である（実射影空間 の定理「実射影空間のホモロジー」の証明で、境界の係数は $0$ か $2$）。積の胞体の境界は因子の境界の和なので（Hat02 Proposition 3B.1、p. 269）、$\mathcal W$ の胞体境界も $0$ である。thm-cgc-cells の 2 により胞体鎖写像 $\rho_\#$ は全射なので、$SO(n)$ の鎖 $z=\rho_\#w$ について $\partial z=\rho_\#\partial w=0$ となり、$SO(n)$ の胞体境界も $0$ である。よって両方の空間で $\mathbb F_2$ 係数のコホモロジーは胞体余鎖そのもので、$\rho^*$ は全射 $\rho_\#$ の双対として単射である。とくに $\dim H^*(SO(n);\mathbb F_2)$ は胞体の個数、すなわち $\{1,\dots,n-1\}$ の部分集合の個数 $2^{n-1}$ に等しい。

$\mathcal W$ の環と $\rho^*\beta_i$．$H^*(P^j;\mathbb F_2)=\mathbb F_2[\alpha]/(\alpha^{j+1})$（実射影空間 の定理「$\mathbb{Z}/2$ 係数のコホモロジー環」）と体係数の Künneth の公式（Künneth公式 の定理「コホモロジー環の Künneth の公式」）から、因子 $P^j$ の生成元の引き戻しを $\alpha_j$ とすると $A:=H^*(\mathcal W;\mathbb F_2)=\mathbb F_2[\alpha_1,\dots,\alpha_{n-1}]/(\alpha_1^2,\alpha_2^3,\dots,\alpha_{n-1}^n)$ であり、単項式 $\alpha_1^{a_1}\cdots\alpha_{n-1}^{a_{n-1}}$ は胞体 $e^{a_1}\times\cdots$ の双対の類である。$\rho^*\beta_i$ の胞体 $\sigma$ での値は $\rho_\#\sigma$ の $e^i$ の係数である。$\sigma$ の正の次元の因子が因子 $P^j$ の $e^i$ だけなら、$\rho$ は $\sigma$ を $e^i$ の上に同相に写すので値は $1$ である（$j\ge i$ が必要）。正の因子が 2 つ以上なら、thm-cgc-cells の 3 により値は $0$ である。よって$$\rho^*\beta_i=b_i:=\sum_{j=i}^{n-1}\alpha_j^i .$$

1 次独立性．$S\subset\{1,\dots,n-1\}$ について $b_S:=\prod_{i\in S}b_i$ とおく。$k=n,n-1,\dots,1$ の順に「$S\subset\{k,\dots,n-1\}$ を動く $b_S$ は 1 次独立」を示す。$k=n$ では $b_\emptyset=1$ だけである。$k$ のとき、関係式を $b_kX+Y=0$（$X,Y$ は $S\subset\{k+1,\dots,n-1\}$ の $b_S$ の 1 次結合）と書く。$i>k$ の $b_i$ は $\alpha_k$ を含まない。$A$ は $\alpha_k$ 以外の変数の生成する部分環 $A'$ 上 $1,\alpha_k,\dots,\alpha_k^k$ を基底とする自由加群であり、$b_k=\alpha_k^k+(A'\text{ の元})$、$X,Y\in A'$ だから、$\alpha_k^k$ の係数を見て $X=0$ を得る。帰納法の仮定から $X$ の係数はすべて $0$ で、残る $Y=0$ からも係数がすべて $0$ である。

結論．$\rho^*$ は単射なので $\beta_S$（$S$ を減少列に並べたものが許容列）も 1 次独立で、個数 $2^{n-1}$ が次元に等しいから基底である。標数 $2$ では $b_i^2=\sum_j\alpha_j^{2i}$ であり、$j<2i$ の項は $\alpha_j^{2i}=0$ なので $b_i^2=b_{2i}$（$2i\ge n$ なら $0$）となる。$\rho^*$ の単射性から $\beta_i^2=\beta_{2i}$ である。これをくり返すと $\beta_i^{2^a}=\beta_{i2^a}$（$i2^a\ge n$ なら $0$）であり、$j< n$ を $j=i2^a$（$i$ 奇数）と一意に書けば、相異なる $\beta_j$ の積は $\prod_{i\text{ 奇数}}\beta_i^{r_i}$（$0\le r_i< p_i$）と一対一に対応する（$r_i$ の 2 進展開）。よって 2 の右辺から左辺への自然な準同型は基底を基底に写し、同型である。$\square$

以下 $n\ge2$ とし、位相群 $G$ の体 $k$ 係数のホモロジーに、積 $\mu\colon G\times G\to G$ が引き起こす Pontryagin 積 $x\cdot y:=\mu_*(x\times y)$ を入れる。これは結合的で、単位元の点の類を単位とし、群準同型は環準同型を引き起こす。$\iota\colon SO(n-1)\to SO(n)$、$B\mapsto\operatorname{diag}(1,B)$、$p\colon SO(n)\to S^{n-1}$、$p(A):=Ae_1$ とする。$SO(n)$ は有限 CW 複体なので（thm-cgc-cells）、各 $H_j:=H_j(SO(n);\mathbb Z)$ は有限生成である。

0．$SO(n)$ の局所自明化．lem-cgc-bundle は $(\mathbb R,SO(n),n-1)$ でも成り立つ。実際、実数の場合の $Q(v)=I-waw^*$ は $e_1-v$ に直交する超平面に関する鏡映で行列式は $-1$ なので、$s_U(v):=Q(v)\operatorname{diag}(1,\dots,1,-1)$ とすればよく（$n\ge2$ なので第 1 列は変わらない）、$J\in SO(n)$ であり、証明はそのまま通る。prf-cgc-main の弧状連結性の議論も同じで、$SO(n)$ は弧状連結である。

1．$\mathbb F_2$ 係数の Pontryagin 環．許容列 $I$ について胞体 $e^I$ の類を $z_I\in H_{|I|}(SO(n);\mathbb F_2)$（$|I|:=\sum_ki_k$）と書く。prf-cgc-so-mod2 により胞体境界は $0$ なので $\{z_I\}$ は基底であり、Künneth公式 の定理「体係数のホモロジーの Künneth の公式」により $\{z_I\times z_J\}$ は $H_*(SO(n)\times SO(n);\mathbb F_2)$ の基底である。$I,J$ がともに空でないとき、$e^I\times e^J$ の閉包の $\mu$ による像は $\rho(P^{i_1})\cdots\rho(P^{i_m})\rho(P^{j_1})\cdots$ という 2 つ以上の因子の積に含まれ、rem-cgc-cells と同じ並べ替えにより、$i=|I|+|J|$ 次元の胞体として $e^{(i)}$ を含まない部分複体 $Y$ に入る。$\beta_i$ の胞体余輪体は $Y$ の上で $0$ なので $\langle\beta_i,\mu_*(z_I\times z_J)\rangle=0$ である。$\mu$ は $SO(n)\times\{I\}$ と $\{I\}\times SO(n)$ の上で射影なので、$\mu^*\beta_i=\beta_i\times1+1\times\beta_i$ である（$\beta_i$ は原始的である）。$\mu^*$ は環準同型なので、相異なる添字の集合 $S$ について $\beta_S:=\prod_{i\in S}\beta_i$ は $\mu^*\beta_S=\sum_{A\sqcup B=S}\beta_A\times\beta_B$ をみたす。$\{\beta_S\}$ の双対基底を $\{\gamma_S\}$ とすると $\langle\beta_S,\gamma_A\cdot\gamma_B\rangle=\langle\mu^*\beta_S,\gamma_A\times\gamma_B\rangle$ なので、$\gamma_A\cdot\gamma_B$ は $A\cap B=\emptyset$ なら $\gamma_{A\cup B}$、そうでなければ $0$ である。よって $H_*(SO(n);\mathbb F_2)$ は可換な外積代数 $\Lambda_{\mathbb F_2}[\gamma_1,\dots,\gamma_{n-1}]$ である。$c_i:=z_{(i)}$ とおくと $c_i$ は $\gamma_i$ と長さ $2$ 以上の $\gamma_S$ の和なので、$c_1,\dots,c_{n-1}$ はこの環を生成し、正の次数の元の平方は $0$ だから $H_*(SO(n);\mathbb F_2)=\Lambda_{\mathbb F_2}[c_1,\dots,c_{n-1}]$ である（次元はともに $2^{n-1}$）。

2．Bockstein 準同型．ホモロジーの Bockstein 準同型を $\beta=\beta_2$ と書く（Bockstein準同型 の定義「Bockstein 準同型」）。$\mathbb F_2$ 係数の輪体 $c$、余輪体 $f$ の整数への持ち上げ $\tilde c$、$\tilde f$ について $\partial\tilde c=2b$、$\delta\tilde f=2g$ と書くと、$\langle\delta\tilde f,\tilde c\rangle=\pm\langle\tilde f,\partial\tilde c\rangle$ を $2$ で割って法 $2$ で $\langle g,\tilde c\rangle\equiv\langle\tilde f,b\rangle$ となるので、$\langle\beta f,c\rangle=\langle f,\beta c\rangle$ である。コホモロジーの $\beta$ はカップ積の導分なので（Hat02 p. 304）、クロス積についても $\beta(f\times g)=\beta f\times g+f\times\beta g$ である。$\langle f\times g,x\times y\rangle=\langle f,x\rangle\langle g,y\rangle$ と、クロス積 $f\times g$ が $H^*(SO(n)\times SO(n);\mathbb F_2)$ を張ることから、転置をとって $\beta(x\times y)=\beta x\times y+x\times\beta y$ を得る。$\beta$ は $\mu_*$ と可換なので、Pontryagin 積の導分である。$\rho\colon P^{n-1}\to SO(n)$ は胞体 $e^i$ を $e^{(i)}$ に同相に写す胞体写像なので、$c_i$ は $P^i$ の基本類（$\mathbb F_2$ 係数）の $\rho$ による像であり、Bockstein準同型 の例「実射影空間の Bockstein 準同型」と自然性から $\beta c_{2r}=c_{2r-1}$、$\beta c_{2r-1}=0$ である。$\beta^2=0$ と導分であることから、微分 $\beta$ をもつ環 $H_*(SO(n);\mathbb F_2)$ は、$A_r:=\Lambda[c_{2r-1},c_{2r}]$（$2r\le n-1$）と、$n$ が偶数なら $\Lambda[c_{n-1}]$（微分 $0$）とのテンソル積である。$A_r$ の $\beta$ によるホモロジーは $1$ と $c_{2r}c_{2r-1}$（次数 $4r-1$）が張る（$\beta(c_{2r}c_{2r-1})=c_{2r-1}^2=0$）。体上の Künneth の定理（Künneth公式 の定理「体上の代数的な Künneth の定理」）により、$\beta$ によるホモロジーの各次数の次元は多項式$$P_n(t):=\prod_{r=1}^{\lfloor(n-1)/2\rfloor}(1+t^{4r-1})\times\begin{cases}1&(n\text{ が奇数})\\1+t^{n-1}&(n\text{ が偶数})\end{cases}$$の係数で与えられ、総和は $P_n(1)=2^{\lfloor n/2\rfloor}$ である。

3．標数が $2$ でない体 $k$ での次元．$d_k(n):=\dim_kH_*(SO(n);k)$ とおく（$d_k(1)=1$）。lem-cgc-bundle の $U,V,W$、$\Phi_U,\Phi_V$、$t$ を $SO(n)$ について使い、$\pi:=p\circ\rho\colon P^{n-1}\to S^{n-1}$ とおく。単位ベクトル $v$ について $\pi([v])=r(v)(-e_1)=-e_1+2v_1v$ である。$Z:=\{[v]\mid v_1=0\}\cong P^{n-2}$ は $-e_1$ に写り、$\pi$ は $V':=P^{n-1}\setminus Z$ から $V$ への同相写像（逆写像は $z\mapsto[z+e_1]$）で、$\pi^{-1}(e_1)=\{[e_1]\}$ である。$U':=P^{n-1}\setminus\{[e_1]\}$ は $[v]\mapsto[v-sv_1e_1]$（$0\le s\le1$）で $Z$ に変形レトラクトする。

(a) $n$ が偶数のとき．$F:=SO(n-1)$、$\psi\colon F\times P^{n-1}\to SO(n)$、$\psi(B,[v]):=\rho([v])\iota(B)$ とおくと $p\circ\psi(B,[v])=\pi([v])$ である。$v\in U'$ について $s_U(\pi(v))^{-1}\rho(v)$ は $e_1$ を固定するので $\operatorname{diag}(1,g_U(v))$（$g_U(v)\in F$ は $v$ について連続）と書け、$\Phi_U^{-1}\psi(B,v)=(\pi(v),g_U(v)B)$ である。$(B,v)\mapsto(g_U(v)B,v)$ は $F\times U'$ の同相写像なので、$\Phi_U^{-1}\circ\psi$ はこれと $\mathrm{id}_F\times\pi\colon F\times U'\to F\times U$ の合成である。$V'$、$U'\cap V'$ の上でも同様で、そこでは $\pi$ は同相写像である。$U'$ は $Z$ に、$U$ は 1 点に変形レトラクトするので、$F\times U'\to F\times U$ のホモロジーへの写像は射影 $F\times Z\to F$ のそれと同一視される。$n-2$ は偶数なので $Z\cong P^{n-2}$ の $k$ 係数の被約ホモロジーは $0$ であり（実射影空間 の系「任意係数のホモロジー」）、$F$、$Z$ は有限 CW 複体なので Künneth の公式からこれも同型である。よって 3 つの $\mathrm{id}_F\times\pi$ はどれもホモロジーの同型であり、開被覆 $\{F\times U',F\times V'\}$ と $\{p^{-1}(U),p^{-1}(V)\}$ の Mayer–Vietoris 完全列（Mayer–Vietoris完全列）の自然性と五項補題から、$\psi_*$ は $k$ 係数のホモロジーの同型である。$H_*(P^{n-1};k)$ は $1$ と次数 $n-1$ の基本類 $x$ が張るので（$n-1$ は奇数）、$u:=\rho_*x$、$L:=\iota_*H_*(F;k)$ とおくと、$\psi_*(b\times1)=\iota_*b$、$\psi_*(b\times x)=\pm u\cdot\iota_*b$ から、$(a,b)\mapsto a+u\cdot b$ は同型 $L\oplus L\to H_*(SO(n);k)$ である。とくに $\iota_*$ は単射で、$d_k(n)=2d_k(n-1)$ である。

(b) $n$ が奇数のとき（$n\ge3$）．$F:=SO(n-1)$ とし、$\Phi_U$ で $p^{-1}(W)$ を $W\times F$ と同一視すると、$p^{-1}(U)$、$p^{-1}(V)$ への包含は $(v,B)\mapsto(v,B)$、$(v,t(v)B)$ と表される。$W$ は赤道 $E:=\{v\mid v_1=0\}\cong S^{n-2}$ にホモトピー同値で、その基本類を $s$ とすると $H_*(W\times F;k)=H_*(F)\oplus s\times H_*(F)$ である。$U$、$V$ は可縮で、$F$ は弧状連結なので $t(v_0)$ 倍は恒等写像にホモトピックだから、Mayer–Vietoris 完全列の写像 $H_*(W\times F)\to H_*(F)\oplus H_*(F)$ は $a+s\times b\mapsto(a,\pm(a+T\cdot b))$、$T:=t_*s\in H_{n-2}(F;k)$ である。その核は $\ker(T\cdot)$、余核は $H_*(F)/T\cdot H_*(F)$ と同型なので、完全性から $d_k(n)=2\bigl(d_k(n-1)-\operatorname{rank}(T\cdot)\bigr)$ である。

(a) を $e_1^\perp$ に作用する $F\cong SO(n-1)$（基準のベクトルは $e_2$）に当てると、$H_*(F)=L'\oplus u'\cdot L'$ である。ここで $L'$ は $e_1,e_2$ を固定する部分群 $SO(n-2)$ の像、$u'$ は $e_1^\perp$ の直線の空間 $P'\cong P^{n-2}$ の基本類の像である。$H_{n-2}(F)=L'_{n-2}\oplus ku'$ なので $T=\lambda u'+\ell$（$\ell\in L'$）と書ける。$p_F\colon F\to S^{n-2}$、$B\mapsto Be_2$ は $SO(n-2)$ の上で定値なので $p_{F*}\ell=0$ である。$P'\to S^{n-2}$ は $1$ 点の逆像以外では $1$ 対 $1$ の同相なので、局所写像度により（Hat02 Proposition 2.30、p. 136）$p_{F*}u'=\pm[S^{n-2}]$ である。一方 $t(v)$ は $s_V(v)^{-1}s_U(v)=DQ(Jv)JQ(v)D$（$D:=\operatorname{diag}(1,\dots,1,-1)$）の右下のブロックで、$v\in E$ について $Q(v)e_2=e_2+v_2(e_1-v)$、$JQ(v)e_2=-e_2-v_2e_1-v_2Jv$、$Q(Jv)JQ(v)e_2=-e_2-2v_2Jv$ と順に計算すると$$p_F(t(v))=-e_2+2w_2w,\qquad w:=DJv$$を得る（$w_2=-v_2$）。$v\mapsto DJv$ は $E$ の行列式 $1$ の直交変換（$e_2$ と $e_n$ の符号を変える）で写像度は $1$ である（写像度 の命題「直交変換の写像度」）。$w\mapsto-e_2+2w_2w$ は $E\to P'\to S^{n-2}$ の合成で、$e_2$ の逆像 $\pm e_2$ の近くで局所的な同相であり、$n-2$ は奇数なので対蹠写像の写像度は $1$ で 2 点の局所写像度は等しいから、写像度は $\pm2$ である。よって $p_{F*}T=\pm2[S^{n-2}]$、$\lambda=\pm2$ で、$\operatorname{char}k\ne2$ なので $\lambda$ は可逆である。$b\in L'$ について $T\cdot b=\ell\cdot b+u'\cdot(\lambda b)$ で $\ell\cdot b\in L'$ だから、$T\cdot b=0$ なら $b=0$ である。よって $\operatorname{rank}(T\cdot)\ge\dim L'=d_k(n-1)/2$ で、$d_k(n)\le d_k(n-1)$ である。

(c) 標数 $0$ のとき．対角写像 $G\to G\times G$ は群準同型なので、$H_*(G;\mathbb Q)$ の余積 $\Delta_*$ は Pontryagin 積と両立する（右辺は次数の符号つきのテンソル積の積）。$\Delta_*s=s\otimes1+1\otimes s$ なので $\Delta_*T=T\otimes1+1\otimes T$（$T$ は原始的）であり、$T$ の次数 $n-2$ は奇数だから $\Delta_*(T^2)=T^2\otimes1+1\otimes T^2$ である。$w\ne0$ が正の偶数次の原始的な元なら、$H_*(F;\mathbb Q)$ は有限次元なので $w^N=0$ となる最小の $N\ge2$ があり、$w\otimes1$ と $1\otimes w$ は可換だから $0=\Delta_*(w^N)=\sum_i\binom Niw^i\otimes w^{N-i}$ の次数 $(|w|,(N-1)|w|)$ の成分 $Nw\otimes w^{N-1}\ne0$ が矛盾を与える。よって $T^2=0$ で、$T\cdot$ の像はその核に含まれ、$\operatorname{rank}(T\cdot)\le d_{\mathbb Q}(n-1)/2$、$d_{\mathbb Q}(n)\ge d_{\mathbb Q}(n-1)$ である。

(d)．$d_k(1)=1$ から帰納的に、$d_{\mathbb Q}(n)=2^{\lfloor n/2\rfloor}$、奇素数 $p$ について $d_{\mathbb F_p}(n)\le2^{\lfloor n/2\rfloor}$ である。

4．整数係数．$H_j\cong\mathbb Z^{r_j}\oplus(\text{有限群})$ と書く。$r_j=\dim H_j(SO(n);\mathbb Q)$ なので $\sum_jr_j=2^{\lfloor n/2\rfloor}$ である。奇素数 $p$ について、$H_j$ の $p$ 冪位数の巡回直和因子の個数を $t_j$ とすると、普遍係数定理 の定理「特異コホモロジーの普遍係数定理」の 2 つ目の短完全列から $\dim H_j(SO(n);\mathbb F_p)=r_j+t_j+t_{j-1}$ なので、$d_{\mathbb F_p}(n)\le2^{\lfloor n/2\rfloor}$ からすべての $t_j=0$ である。$H_j$ の $2$ 冪位数の巡回直和因子のうち、位数 $2$ のものの個数を $u_j$、位数 $4$ 以上のものの個数を $v_j$ とする。Bockstein準同型 の定理「$\mathbb Z/m$ 係数のホモロジーの短完全列」と命題「$\beta_m=\rho_m\tilde\beta_m$ と $\beta_m^2=0$」により、$\dim H_j(SO(n);\mathbb F_2)=r_j+u_j+v_j+u_{j-1}+v_{j-1}$ で、$\beta\colon H_j(SO(n);\mathbb F_2)\to H_{j-1}(SO(n);\mathbb F_2)$ の像は $H_{j-1}$ の位数 $2$ の元の法 $2$ の還元なので、階数は $u_{j-1}$ である。よって次数 $j$ の $\beta$ によるホモロジーの次元は $r_j+v_j+v_{j-1}$ で、段落 2 によりその総和は $2^{\lfloor n/2\rfloor}=\sum_jr_j$ である。したがってすべての $v_j$ は $0$ で、$r_j$ は $P_n(t)$ の $t^j$ の係数に等しい。$H_j$ は $\mathbb Z$ と $\mathbb Z/2$ の有限個の直和であり、普遍係数定理により $H^q(SO(n);\mathbb Z)$ は $H_q$ の自由部分と $H_{q-1}$ の捩れ部分の直和なので、1 が成り立つ。また $H^*(SO(n);\mathbb Z)/T$ の次数 $q$ の階数は $P_n(t)$ の $t^q$ の係数で、2 の外積代数の次数 $q$ の階数に等しい。$\square$

生成元．$H^*(SO(5);\mathbb F_2)=\mathbb F_2[a,b]/(a^8,b^2)$、$H^*(SO(7);\mathbb F_2)=\mathbb F_2[a,b,c]/(a^8,b^4,c^2)$（ex-cgc-so-small）で、$\beta a=a^2$、$\beta b=a^4$、$\beta c=b^2$ であり、$\beta$ は導分である。$\kappa(x)=\beta a=a^2$、$\kappa(v)=\beta(ac)=a^2c+ab^2$ である。各次数で $\ker\beta$ と $\operatorname{im}\beta$ を求めると、自由部分の階数は $SO(5)$ で次数 $0,3,7,10$、$SO(7)$ で次数 $0,3,7,10,11,14,18,21$ に 1 ずつで、thm-cgc-so-integral の 2 と合う。次数 $3,7,11$ では自由部分の階数が $1$ で、$\ker\beta/\operatorname{im}\beta$ は 1 次元である。その次数の $H^q/T$ の生成元 $e$ の還元は $\ker\beta=\operatorname{im}\kappa$ に属し、$\operatorname{im}\beta=\kappa(T)$ には属さない（属せば $e\in T+\ker\kappa=T+2H^q$ となり、$e$ は $H^q/T$ の生成元でない）。表の $y,z,w$ の還元も $\ker\beta$ に属し $\operatorname{im}\beta$ に属さないので、$e$ の還元との差は $\operatorname{im}\beta=\kappa(T)$ に入り、$e$ に捩れの類を足して還元を表の値にできる。捩れの全次元は $\dim\operatorname{im}\beta$ の和で、$SO(5)$ で $6$、$SO(7)$ で $28$ である。

関係式．$2x=2v=0$ は $x,v$ が $\delta$ の像であることから、奇数次の元の平方 $y^2,z^2,v^2,w^2$ は次数付き可換性から位数 $2$ である。よって並べた関係式はどれも両辺の差が捩れの類であり、lem-cgc-bockstein の 1 から、還元が $0$ であることを確かめればよい。たとえば $\kappa(y)^2=a^6+b^2$ で、$SO(5)$ では $b^2=0$ から $\kappa(y^2)=a^6=\kappa(x^3)$ である。$SO(7)$ では $\kappa(y^2z)=a^7b^2=\kappa(x^3v)$、$\kappa(xw)=a^2b^2c+a^7b^2=\kappa(y^2v)$ で、残りの関係式も同様の展開で還元が $0$ になる。

同型．関係式を使うと、商環の元は、自由な単項式（$SO(5)$ では $1,y,z,yz$、$SO(7)$ では $y^\epsilon z^\eta w^\theta$、$\epsilon,\eta,\theta\in\{0,1\}$）の整数係数の 1 次結合と、位数 $2$ の単項式（$SO(5)$ では $x,x^2,x^3,xy,x^2y,x^3y$ の 6 個、$SO(7)$ では $x^iy^j$（$0\le i,j\le3$、$(i,j)\ne(0,0),(0,1)$）と $x^iy^jv$（$0\le i,j\le3$、$(i,j)\ne(3,2),(3,3)$）の 28 個）の $\mathbb F_2$ 係数の 1 次結合で書ける（$SO(7)$ では $w$ を含む単項式を $xw=y^2v$、$y^2w=0$、$vw=0$ で、$z$ を含む単項式を $xz=vz=0$、$y^2z=x^3v$ で減らす）。位数 $2$ の単項式の還元は $\mathbb F_2$ 係数で 1 次独立であり、個数が捩れの全次元に等しいので $T$ の基底である。自由な単項式は、$T$ を法として thm-cgc-so-integral の 2 の外積代数の基底に写る。よって商環から $H^*(SO(n);\mathbb Z)$ への準同型は全単射である。還元の 1 次独立性と $\ker\beta$・$\operatorname{im}\beta$ の次元は、$64$ 次元（$SO(5)$ では $16$ 次元）の $\mathbb F_2$ ベクトル空間での有限の計算である。$\square$

$\mathbb R^{i+1}$ の超平面に関する鏡映は $\mathbb R^{n+1}$ の最後の座標を固定するので、$\rho_{n+1}$ の $P^{n-1}$ への制限は $\operatorname{diag}(\rho_n,1)$ である。よって thm-cgc-cells の胞体分割で $SO(n)$ は $SO(n+1)$ の部分複体（$i_1\le n-1$ の胞体 $e^I$ の和）であり、包含は $c_i\in H_i(SO(n);\mathbb F_2)$ を $c_i\in H_i(SO(n+1);\mathbb F_2)$ に写す環準同型である。$SO$ に和集合の弱位相を入れると、これは可算個の胞体をもつ CW 複体で、$SO\times SO$ も積位相で CW 複体だから（Hat02 Theorem A.6、p. 524）、各段の積の和である積 $SO\times SO\to SO$ は連続である。コンパクト集合はある段に入るので（同 Proposition A.1、p. 520）、$H_*(SO;\mathbb F_2)$ と $H_*(SO\times SO;\mathbb F_2)$ は各段のホモロジーの帰納極限である（同 Proposition 3.33、p. 244）。prf-cgc-so-integral の段落 1・2 により $H_*(SO(n);\mathbb F_2)=\Lambda_{\mathbb F_2}[c_1,\dots,c_{n-1}]$、$\beta c_{2r}=c_{2r-1}$、$\beta c_{2r-1}=0$ なので、帰納極限は $\Lambda_{\mathbb F_2}[c_1,c_2,\dots]$ で、$\beta$ の式も保たれる。対角写像については、$\alpha^j\in H^j(P^i;\mathbb F_2)$ の双対基底を $\xi_j$（$P^j\subset P^i$ の基本類の像）とすると、$\alpha^a\alpha^b=\alpha^{a+b}$（実射影空間 の定理「$\mathbb{Z}/2$ 係数のコホモロジー環」）の双対をとって $\Delta_*\xi_i=\sum_{a+b=i}\xi_a\otimes\xi_b$ であり、$c_j=\rho_*\xi_j$ なので、自然性から $\Delta_*c_i=\sum_{a+b=i}c_a\otimes c_b$ である。$\square$

同じ式は有限の $SO(n)$ でも $i\le n-1$ について成り立つ。$\beta$ によるホモロジーは帰納極限をとって $\Lambda_{\mathbb F_2}[c_2c_1,c_4c_3,\dots]$（次数 $3,7,\dots$）であり（prf-cgc-so-integral の段落 2）、thm-cgc-so-integral の 2 の外積代数の生成元の次数と一致する。