Weierstrassの近似定理

1 つ目は 二項定理 により $\sum_k\binom nkx^k(1-x)^{n-k}=(x+(1-x))^n=1$ である。2 つ目は、$k\ge1$ で $k\binom nk=n\binom{n-1}{k-1}$ を使うと
$$ \sum_{k=0}^nk\,b_{n,k}(x)=nx\sum_{k=1}^n\binom{n-1}{k-1}x^{k-1}(1-x)^{n-k}=nx\,(x+(1-x))^{n-1}=nx $$
である。同様に $k\ge2$ で $k(k-1)\binom nk=n(n-1)\binom{n-2}{k-2}$ なので $\sum_kk(k-1)b_{n,k}(x)=n(n-1)x^2$ であり（$n=1$ でも両辺 $0$ で成り立つ）、$\sum_kk^2b_{n,k}(x)=n(n-1)x^2+nx$ である。よって
$$ \sum_k(k-nx)^2b_{n,k}=\bigl(n(n-1)x^2+nx\bigr)-2nx\cdot nx+n^2x^2\cdot1=nx-nx^2=nx(1-x) $$
である。

$M:=\sup_{[0,1]}|f|$ とする（連続関数なので有限である）。$\varepsilon>0$ をとる。$f$ は閉区間上で連続なので一様連続であり（一様連続 の記事の定理「Heine–Cantorの定理」）、$|s-t|<\delta$ なら $|f(s)-f(t)|<\varepsilon$ となる $\delta>0$ がある。
$x\in[0,1]$ を固定する。lem-wa-moments の 1 つ目の式から $f(x)=\sum_kf(x)b_{n,k}(x)$ なので
$$ |(B_nf)(x)-f(x)|=\Bigl|\sum_{k=0}^n\Bigl(f\!\left(\tfrac kn\right)-f(x)\Bigr)b_{n,k}(x)\Bigr|\le\sum_{k=0}^n\Bigl|f\!\left(\tfrac kn\right)-f(x)\Bigr|\,b_{n,k}(x) $$
である（$b_{n,k}(x)\ge0$ を使った）。右辺の和を、$|k/n-x|<\delta$ となる $k$ の部分 $\Sigma_1$ と、$|k/n-x|\ge\delta$ となる $k$ の部分 $\Sigma_2$ に分ける。$\Sigma_1$ では各項の $|f(k/n)-f(x)|$ が $\varepsilon$ 未満なので、$\Sigma_1\le\varepsilon\sum_kb_{n,k}(x)=\varepsilon$ である。$\Sigma_2$ では $|f(k/n)-f(x)|\le2M$ であり、$1\le(k/n-x)^2/\delta^2$ なので、lem-wa-moments の 3 つ目の式を $n^2$ で割ったものから
$$ \Sigma_2\le2M\sum_{|k/n-x|\ge\delta}b_{n,k}(x)\le\frac{2M}{\delta^2}\sum_{k=0}^n\Bigl(\frac kn-x\Bigr)^2b_{n,k}(x)=\frac{2M}{\delta^2}\cdot\frac{x(1-x)}n\le\frac{M}{2n\delta^2} $$
である（$x(1-x)\le\frac14$）。よって $n\ge\frac{M}{2\delta^2\varepsilon}$ なら、すべての $x\in[0,1]$ で $|(B_nf)(x)-f(x)|\le2\varepsilon$ である。$\delta$ は $x$ によらないので、これは一様収束である。

$g(t):=f(a+(b-a)t)$（$0\le t\le1$）は $[0,1]$ 上の連続関数である。thm-wa-bernstein により $\|B_ng-g\|\to0$（$[0,1]$ 上）である。$p_n(x):=(B_ng)\bigl(\frac{x-a}{b-a}\bigr)$ は $x$ の多項式で、$x\mapsto\frac{x-a}{b-a}$ は $[a,b]$ を $[0,1]$ に全単射で移すので
$$ \sup_{a\le x\le b}|p_n(x)-f(x)|=\sup_{0\le t\le1}|(B_ng)(t)-g(t)|\to0 $$
である。$f$ が実数値なら $g$ も実数値で、$B_ng$ の係数は実数であり、1 次式を代入した $p_n$ の係数も実数である。

prf-wa-bernstein の最初の評価と Lipschitz 条件から $|(B_nf)(x)-f(x)|\le K\sum_k|k/n-x|\,b_{n,k}(x)$ である。$\sqrt{b_{n,k}}\cdot|k/n-x|\sqrt{b_{n,k}}$ と見て Cauchy–Schwarzの不等式 を使い、lem-wa-moments を当てると
$$ \sum_k\Bigl|\frac kn-x\Bigr|b_{n,k}(x)\le\Bigl(\sum_kb_{n,k}(x)\Bigr)^{1/2}\Bigl(\sum_k\Bigl(\frac kn-x\Bigr)^2b_{n,k}(x)\Bigr)^{1/2}=\sqrt{\frac{x(1-x)}n}\le\frac1{2\sqrt n} $$
である。

この証明は Rud76 Theorem 7.26（pp. 159–160）と Leb26b Theorem 11.7.1（pp. 179–182）による。要点：$Q_n(t)=c_n(1-t^2)^n$ は $t=0$ のまわりに集中する面積 $1$ の山で、$\int g(x+t)Q_n(t)\,dt$ は $g$ の $x$ の近くでの重みつき平均であり、しかも $x$ の多項式である。

仮定から、すべての多項式 $p$ について $\int_a^bf(x)p(x)\,dx=0$ である（積分の線形性）。thm-wa-main により、実数係数の多項式 $p_n$ で $\|p_n-f\|\to0$ となるものがある。$M:=\sup|f|$ とすると
$$ \Bigl|\int_a^bf^2\,dx\Bigr|=\Bigl|\int_a^bf\,(f-p_n)\,dx\Bigr|\le(b-a)M\|f-p_n\|\to0 $$
なので $\int_a^bf(x)^2\,dx=0$ である（積分の絶対値の評価は Riemann積分 の記事の命題「積分の単調性と絶対値の評価」）。ある $x_0$ で $f(x_0)\ne0$ なら、連続性から $x_0$ を含む長さ $\ell>0$ の区間 $J\subset[a,b]$ で $f(x)^2\ge\frac12f(x_0)^2$ となり、$\int_a^bf^2\,dx\ge\frac12f(x_0)^2\ell>0$ となって矛盾する。よって $f\equiv0$ である。後半は差 $f-g$ に当てはめればよい。

$\eta:=\varepsilon/(b-a+1)$ とおく。thm-wa-main を連続関数 $f'$ に使い、$\|f'-q\|<\eta$ となる多項式 $q$ をとる。$p(x):=f(a)+\int_a^xq(t)\,dt$ は多項式で $p'=q$ である。微分積分学の基本定理 により $f(x)=f(a)+\int_a^xf'(t)\,dt$ なので、$x\in[a,b]$ について
$$ |f(x)-p(x)|=\Bigl|\int_a^x\bigl(f'(t)-q(t)\bigr)\,dt\Bigr|\le(b-a)\eta<\varepsilon $$
であり、$|f'-p'|=|f'-q|<\eta\le\varepsilon$ である。