有理型関数

1 ⇒ 2：Laurent 展開 $f(z)=\sum_{n\geq-m}a_n(z-a)^n$（$a_{-m}\neq0$）に対し、$h(z):=\sum_{n\geq-m}a_n(z-a)^{n+m}=\sum_{k\geq0}a_{k-m}(z-a)^k$ とおく。この冪級数は $f$ の Laurent 展開の正則部に有限個の項を加えたものだから、Laurent展開 の記事の定理（Laurent 展開の収束）により $|z-a|< R$ で収束し、$h$ は $B(a,R)$ 上の正則関数（正則関数 の記事の定理（冪級数の正則性））で $h(a)=a_{-m}\neq0$、$z\neq a$ で $f(z)=(z-a)^{-m}h(z)$ である。
2 ⇒ 3：$h(a)\neq0$ で $h$ は連続だから、$a$ のある近傍 $V'\subset V$ で $h\neq0$ であり、そこで $f$ は零点を持たず、$V'\setminus\{a\}$ 上で $1/f(z)=(z-a)^m\cdot(1/h(z))$ である。右辺は $V'$ 上の正則関数で $a$ で値 $0$ をとり、$1/h$ は $a$ で $0$ でないから、零点の位数 の記事の命題（因数分解による特徴づけ）により零点の位数は $m$ である。
3 ⇒ 1：$g$ を $1/f$ の拡張とすると、同じ命題により $a$ の近傍で $g(z)=(z-a)^mk(z)$、$k$ は正則、$k(a)\neq0$ と書ける。$k(a)\neq0$ より $a$ の近傍で $k\neq0$ であり、そこで $f=1/g=(z-a)^{-m}\cdot(1/k)$ である。$1/k$ は $a$ の近傍で正則だから Taylor 展開 $1/k(z)=\sum_{j\geq0}b_j(z-a)^j$、$b_0=1/k(a)\neq0$ を持ち（Taylor展開(複素解析) の記事の定理（正則関数の冪級数展開））、$f(z)=\sum_{j\geq0}b_j(z-a)^{j-m}$ は $a$ のある穴あき円板上で $f$ を表す Laurent 級数である。Laurent展開 の記事の定理（Laurent 展開の一意性）によりこれが $f$ の Laurent 展開であり、最低次数は $-m$、その係数 $b_0$ は $0$ でないので、$a$ は位数 $m$ の極である（Laurent 展開は環状領域ごとに定まるが、穴あき円板 $A(a;0,R')$（$R'\leq R$）での係数は係数の積分表示が $\rho$ によらないことから $A(a;0,R)$ での係数と一致する）。
4 ⇒ 5：4 ならばある $m$ について 1、したがって 2 が成り立ち、$|f(z)|=|z-a|^{-m}|h(z)|$ で $|h(z)|\to|h(a)|\neq0$ だから $|f(z)|\to\infty$ である。
5 ⇒ 4：$|f(z)|\to\infty$ より、ある $\delta>0$ について $A(a;0,\delta)$ 上で $|f|\geq1$、特に $f\neq0$ である。$g:=1/f$ は $A(a;0,\delta)$ 上で正則かつ $|g|\leq1$ だから、Riemannの拡張定理 により $B(a,\delta)$ 上の正則関数に拡張され、$g(a)=\lim_{z\to a}1/f(z)=0$ である。$g$ は $A(a;0,\delta)$ 上で零点を持たないので $a$ のどの近傍上でも恒等的に $0$ ではなく、$a$ における零点の位数 $m\geq1$ は有限である。ゆえに 3 が成り立ち、1 により $a$ は位数 $m$ の極である。

局所座標をとって考えれば、各点の近傍での議論は $\mathbb{C}$ の開集合上の場合に帰着するので、以下 $x$ のまわりの局所座標を $z$（$z(x)=0$）と書き、関数をその座標表示と同一視する。

1. $P_f,P_g$ をそれぞれの極の集合とすると、$P:=P_f\cup P_g$ は閉集合の和として閉であり、離散的である（$X$ の各点はある近傍で $P_f$ とも $P_g$ とも高々 1 点でしか交わらない）。$X\setminus P$ 上で $f+g$、$fg$ は正則である。$p\in P$ とし、$p$ の近傍で prop-meromorphic-function-pole-characterization により $f=z^{-m}h$、$g=z^{-n}k$（$h,k$ は $p$ の近傍で正則。$p$ が $f$ の極でないときは $m=0$、$h=f$ とし、$g$ についても同様）と書く。このとき $p$ の穴あき近傍で
   $$fg=z^{-m-n}\,hk,\qquad f+g=z^{-\max(m,n)}\bigl(z^{\max(m,n)-m}h+z^{\max(m,n)-n}k\bigr)$$
   であり、いずれも「$z^{-N}\times$（$p$ の近傍で正則な関数 $u$）」の形をしている。$u$ が $p$ の近傍で恒等的に $0$ なら、その積は $p$ の穴あき近傍で $0$ であり、$p$ は除去可能特異点である。そうでなければ $u=z^ju_0$、$u_0(p)\neq0$ と書け（零点の位数 の記事の命題（因数分解による特徴づけ））、積は $z^{j-N}u_0$ である。$j\geq N$ なら $p$ は除去可能特異点（Riemannの拡張定理 の記事の命題（除去可能性の特徴づけ）、または $z^{j-N}u_0$ がそのまま正則な拡張を与えることによる）、$j< N$ なら prop-meromorphic-function-pole-characterization により位数 $N-j$ の極である。ゆえに $f+g$、$fg$ は $P$ の部分集合を極の集合とする有理型関数である。
2. $f\neq0$ とする。まず $f$ の零点集合 $Z\subset X\setminus P_f$ が $X$ に集積点を持たないことを示す。$A:=\{x\in X\setminus P_f\mid f\text{ は }x\text{ のある近傍上で恒等的に }0\}$ とおく。$A$ は開集合である。$A$ が $X$ の閉集合であることを示す。$q\in X$ を $A$ の閉包の点とする。$q\in P_f$ なら、prop-meromorphic-function-pole-characterization により $q$ のある穴あき近傍で $f\neq0$ であるが、その近傍は $A$ の点を含み、$A$ の点の近くで $f=0$ となるので矛盾する。ゆえに $q\notin P_f$ であり、$q$ の近傍で $f$ は正則で、$q$ は $f$ の零点集合の集積点である。零点の位数 の記事の命題（零点の孤立性）により $f$ は $q$ のある近傍上で恒等的に $0$、すなわち $q\in A$ である。$X$ は連結で $A$ は開かつ閉だから、$A=\emptyset$ または $A=X$ であり、後者は $f\neq0$ に反する（$A=X$ なら $P_f=\emptyset$ で $f\equiv0$）。ゆえに $A=\emptyset$ であり、$Z$ のどの点も $Z$ の集積点ではなく（集積点なら零点の孤立性により $A$ に属する）、また $P_f$ の点も $Z$ の集積点ではない。したがって $Z$ は閉かつ離散的であり、$Z\cup P_f$ も閉かつ離散的である。
   $1/f$ は $X\setminus(Z\cup P_f)$ 上で正則である。$Z$ の点 $x$ では、$f$ は位数 $m\geq1$ の零点を持ち、prop-meromorphic-function-pole-characterization（3 ⇒ 1）により $1/f$ は $x$ に位数 $m$ の極を持つ。$P_f$ の点では、同じ命題（1 ⇒ 3）により $1/f$ は正則に拡張され値 $0$ をとる。ゆえに $1/f$ は極の集合 $Z$ を持つ有理型関数である。
3. 1 により $\mathfrak{M}(X)$ は加法と乗法について閉じており、結合法則・分配法則などは、両辺が有理型関数として稠密な開集合 $X\setminus P$ 上で一致し、除去可能特異点での拡張は一意（連続性）だから成り立つ。$0$ と $1$ は正則関数として属し、$1\neq0$ である。2 により $0$ でない元は乗法逆元を持つ。ゆえに $\mathfrak{M}(X)$ は体であり、$\mathcal{O}(X)$ は $P=\emptyset$ の元として部分環をなす。

$\mathbb{P}^1$ の局所座標として、$\mathbb{C}$ 上の恒等座標 $w$ と、$\mathbb{P}^1\setminus\{0\}$ 上の $1/w$（$\infty\mapsto0$）をとる。
$f$ を有理型関数とする。極でない点では $f$ は $\mathbb{C}$ に値をとる正則関数で、座標 $w$ で表示すれば正則である。極 $p$ の近傍では、prop-meromorphic-function-pole-characterization により $f\neq0$ かつ $1/f$ が $p$ で値 $0$ をとる正則関数に拡張されるので、座標 $1/w$ による表示 $1/f$ は $p$ の近傍で正則である。また $f$ は $p$ で連続（$|f|\to\infty$ は $\mathbb{P}^1$ の位相で $f(z)\to\infty$ を意味する）である。ゆえに $f\colon X\to\mathbb{P}^1$ は正則写像である。
逆に $F\colon X\to\mathbb{P}^1$ を恒等的に $\infty$ でない正則写像とし、$P:=F^{-1}(\infty)$ とおく。$P$ は 1 点の逆像だから閉集合である。$B:=\{x\in X\mid F\text{ は }x\text{ のある近傍上で恒等的に }\infty\}$ とおくと $B$ は開集合であり、$B$ の閉包の点 $q$ では連続性から $F(q)=\infty$、$q$ の近傍で $1/F$ は正則で、$B$ の点の近くで恒等的に $0$ だから零点集合が $q$ に集積し、零点の位数 の記事の命題（零点の孤立性）により $1/F$ は $q$ の近傍で恒等的に $0$、すなわち $q\in B$ である。$X$ は連結で $B\neq X$ だから $B=\emptyset$ である。したがって $P$ の各点 $p$ で、$1/F$ は $p$ の近傍で正則、$p$ で $0$、かつ $p$ の近傍で恒等的に $0$ でないので、零点の孤立性により $p$ は $P$ の 孤立点 であり、$P$ は離散的である。$X\setminus P$ 上で $F$ は $\mathbb{C}$ 値の正則関数であり、$p\in P$ では $1/F$ が位数 $m\geq1$ の零点を持つので、prop-meromorphic-function-pole-characterization（3 ⇒ 1）により $p$ は位数 $m$ の極である。ゆえに $F$ は有理型関数である。

$f$ を $\mathbb{P}^1$ 上の有理型関数とする。極の集合 $P$ はコンパクトな $\mathbb{P}^1$ の閉かつ離散的な部分集合だから有限集合である。実際、各 $p\in P$ に対して $U_p\cap P=\{p\}$ となる開集合 $U_p$ をとると、$\{\mathbb{P}^1\setminus P\}\cup\{U_p\mid p\in P\}$ は $\mathbb{P}^1$ の開被覆である。その有限部分被覆に現れる $U_p$ は有限個であり、$\mathbb{P}^1\setminus P$ は $P$ の点を覆わないから、これらの $U_p$ が $P$ の全点を覆う。したがって $P$ は有限である。$P\cap\mathbb{C}=\{p_1,\dots,p_k\}$ とし、各 $p_j$ における $f$ の Laurent 展開の主要部を
$$Q_j(z):=\sum_{n=1}^{m_j}\frac{a^{(j)}_{-n}}{(z-p_j)^n}$$
とおく。$Q_j$ は $\mathbb{C}\setminus\{p_j\}$ 上の正則関数（有理関数）である。$g:=f-\sum_{j=1}^kQ_j$ とおくと、$g$ は $\mathbb{C}\setminus\{p_1,\dots,p_k\}$ 上で正則であり、各 $p_j$ の穴あき近傍では $f-Q_j$ が $f$ の Laurent 展開の正則部（$p_j$ の近傍で正則。Laurent展開 の記事の定理（Laurent 展開の収束））に等しく、他の $Q_i$（$i\neq j$）は $p_j$ で正則だから、$g$ は各 $p_j$ で正則に拡張される。ゆえに $g$ は 整関数 である。
$\infty$ での挙動を調べる。$f$ は $\infty$ で有理型だから、局所座標 $w=1/z$ に関する表示 $f(1/w)$ は $w=0$ で正則であるか、位数 $m\geq1$ の極を持つ。いずれの場合も prop-meromorphic-function-pole-characterization により $0$ の近傍で $f(1/w)=w^{-m}h(w)$（$h$ は正則、$m\geq0$）と書けるので、ある $r_0>0$ と $C>0$ について $|z|\geq r_0$ で $|f(z)|\leq C|z|^m$ である。一方 $|z|\to\infty$ で $Q_j(z)\to0$ だから、$|z|\geq r_0$（$r_0$ を大きくとり直す）で $|\sum_jQ_j(z)|\leq1$ である。ゆえに $|z|\geq r_0$ で $|g(z)|\leq C|z|^m+1$ であり、$|z|\leq r_0$ では $g$ は連続ゆえ有界だから、定数 $A,B$ をとって $\mathbb{C}$ 全体で $|g(z)|\leq A+B|z|^m$ である。Liouvilleの定理(複素解析) の記事の定理（多項式増大の整関数）により $g$ は次数 $m$ 以下の多項式である。したがって $f=g+\sum_jQ_j$ は有理関数である。
逆に、有理関数 $f=p/q$（$p,q$ は互いに素な多項式、$q\neq0$）は $\mathbb{C}$ 上で有理型である（ex-meromorphic-function-rational）。$\infty$ では、$p(z)=\sum_{i\leq d}c_iz^i$、$q(z)=\sum_{i\leq e}d_iz^i$（$c_d,d_e\neq0$）とすると $f(1/w)=w^{e-d}\dfrac{\sum_ic_iw^{d-i}}{\sum_id_iw^{e-i}}$ であり、分数部分は $w=0$ の近傍で正則で $0$ で値 $c_d/d_e\neq0$ をとるから、$d>e$ なら $\infty$ は位数 $d-e$ の極、$d\leq e$ なら $f$ は $\infty$ で正則である。ゆえに $f$ は $\mathbb{P}^1$ 上の有理型関数である。