Δ複体

1. 条件 1：$s\in\mathring\Delta^n$ なら $\eta_s=\mathrm{id}$ なので、$(x,s)$ 自身が標準形である。lem-dc-normal-form により、$\sigma_x$ の $\mathring\Delta^n$ への制限は単射で、$|S|$ の各点はちょうど 1 つの組 $(x,s)$（$s$ は内部の点）の像である。条件 2：$\sigma_x(\delta^i_*t)=[x,\delta^i_*t]=[(\delta^i)^*x,t]=\sigma_{(\delta^i)^*x}(t)$。条件 3：各 $S_n$ は離散なので、$U\subset|S|$ の商写像による逆像が開集合であることは、すべての $x$ で $\{x\}\times\Delta^n$ との共通部分、すなわち $\sigma_x^{-1}(U)$ が開集合であることと同値である。

2. $\theta_*$ は $\delta^i_*$ たちの合成なので、条件 2 を繰り返して $\sigma\circ\theta_*\in X_k$ であり、$(\theta\theta')_*=\theta_*\theta'_*$ から $(\theta\theta')^*=\theta'^*\theta^*$ である。写像 $(\sigma,t)\mapsto\sigma(t)$ は $(\theta^*\sigma,t)$ と $(\sigma,\theta_*t)$ を同じ点 $\sigma(\theta_*t)$ に送るので、連続写像 $\Phi\colon|X_\bullet|\to X$ を誘導する。lem-dc-normal-form により $|X_\bullet|$ の点は組 $(\sigma,s)$（$s\in\mathring\Delta^n$）と 1 対 1 に対応し、Δ 複体の条件 1 により $X$ の点も同じ組と $(\sigma,s)\mapsto\sigma(s)$ で 1 対 1 に対応する。よって $\Phi$ は全単射である。条件 3 により、$U\subset X$ が開集合であることとすべての $\sigma^{-1}(U)$ が開集合であることは同値であり、後者は $\Phi^{-1}(U)$ が $|X_\bullet|$ の開集合であることにほかならない。よって $\Phi$ は同相写像である。

3 は 2 の $|X_\bullet|$ の定義を言い換えたものである。$\square$

$F\subset X^n$ について、次元 $n$ 以下のすべての単体 $\tau$ で $\tau^{-1}(F)$ が閉集合であるとする。$\sigma\in X_m$（$m>n$）と $t\in\Delta^m$ について、$\sigma(t)=(\eta_t^*\sigma)(s_t)$ は $\eta_t^*\sigma$ の開単体の点なので、$\sigma(t)\in X^n$ であることと $t$ の正の座標が $n+1$ 個以下であることは同値である。よって$$\sigma^{-1}(F)=\bigcup_{\theta\colon[k]\to[m],\ k\le n}\theta_*\bigl((\theta^*\sigma)^{-1}(F)\bigr)$$であり、右辺は有限個の閉集合（$\theta_*$ はコンパクトから Hausdorff への連続写像）の和集合なので閉集合である。したがって条件 3 により $F$ は $X$ の閉集合で、とくに $X^n$ の閉集合である。逆向きは連続性による。

この同値性から、$X^n$ の閉集合は「$X^{n-1}$ との共通部分が $X^{n-1}$ の閉集合で、各 $n$ 単体による逆像が閉集合であるもの」であり、$X^{n-1}\sqcup\coprod_{\sigma\in X_n}\Delta^n\to X^n$ は商写像である。同一視される 2 点は、条件 1 により $x\in\partial\Delta^n$ と $\sigma(x)\in X^{n-1}$ の組だけである（$\sigma$ は内部で単射で、内部の像は互いに交わらず $X^{n-1}$ とも交わらない）。よって $X^n$ は $X^{n-1}$ に $n$ 胞体を貼り付けた空間である。$X^0$ の任意の部分集合は $0$ 単体による逆像が閉集合なので閉集合であり、$X^0$ は離散である。$U\cap X^n$ がすべての $n$ で $X^n$ の開集合なら、$n$ 単体 $\sigma$ について $\sigma^{-1}(U)=\sigma^{-1}(U\cap X^n)$ は開集合なので、条件 3 により $U$ は開集合である。以上で CW複体 の定義「CW 複体」の (R1)–(R3) が成り立つ。残りは同記事の定理「CW 複体は Hausdorff」と定理「コンパクト集合は有限部分複体に含まれる」による。$\square$

1. 条件 1：$\sigma_{\theta,\varepsilon}(\mathring\Delta^k)$ は、$0$ でない座標の位置がちょうど $\theta([k])$ で、そこでの符号が $\varepsilon$ である点の全体である。$x$ がこの集合の点なら $t_i=|x_{\theta(i)}|/\sum_j|x_{\theta(j)}|$ により $t$ が復元できるので、制限は単射である。$x\in S^n$ の $0$ でない座標の位置と符号は 1 通りに決まるので、$x$ はちょうど 1 つの開単体に属する。条件 2：$\sigma_{\theta,\varepsilon}\circ\delta^i_*=\sigma_{\theta\delta^i,\,\varepsilon\delta^i}$（$\varepsilon\delta^i$ は $\varepsilon$ から第 $i$ 成分を除いたもの）。条件 3 は lem-dc-finite-hausdorff による。$k$ 単体の個数は $\theta$ の選び方 $\binom{n+1}{k+1}$ と符号の選び方 $2^{k+1}$ の積である。

2. $-\sigma_{\theta,\varepsilon}=\sigma_{\theta,-\varepsilon}$ なので $q\circ\sigma_{\theta,\varepsilon}=q\circ\sigma_{\theta,-\varepsilon}$ であり、$\varepsilon_0=+1$ のものだけをとれば各組 $\{\varepsilon,-\varepsilon\}$ から 1 つずつ選んだことになる。条件 1：$\mathbb{R}\mathrm{P}^n$ の点 $\{\pm x\}$ について、$x$ と $-x$ の開単体は $\theta$ が同じで符号が逆なので、そのうち最初の符号が $+1$ のものがちょうど 1 つある。$s,s'\in\mathring\Delta^k$ で $q\sigma_{\theta,\varepsilon}(s)=q\sigma_{\theta,\varepsilon}(s')$ なら $\sigma_{\theta,\varepsilon}(s)=\pm\sigma_{\theta,\varepsilon}(s')$ であり、両辺の第 $\theta(0)$ 座標の符号はともに $\varepsilon_0$ なので $+$ で、1 の単射性から $s=s'$ である。条件 2：$q\sigma_{\theta,\varepsilon}\circ\delta^i_*=q\sigma_{\theta\delta^i,\varepsilon\delta^i}$ であり、$\varepsilon\delta^i$ の最初の成分が $-1$ なら $-\varepsilon\delta^i$ に取り替えればよい。条件 3 は lem-dc-finite-hausdorff による（$\mathbb{R}\mathrm{P}^n$ は Hausdorff である。射影空間 の命題「球面の商としての射影空間」）。$\square$

条件 1：$\Delta^n$ の重心細分は $\Delta^n$ を多面体とする単体複体なので、$\Delta^n$ の各点はちょうど 1 つの鎖の開単体 $\{\sum_jt_jb(F_j)\mid t_j>0\}$ に属する（単体複体 の補題「各点の台」）。この開単体の点の正の座標の位置は $F_k$ なので、$\mathring\Delta^n$ の点は $F_k=[n]$ の鎖の開単体に属する。鎖の重心は一次独立な位置にあるので（重心細分 の補題「鎖の重心が張る単体」）$t\mapsto\sum_jt_jb(F_j)$ は単射であり、$\sigma$ は $\mathring\Delta^n$ で単射である。$X$ の点は Δ 複体の条件 1 によりちょうど 1 つの $\sigma(\mathring\Delta^n)$ に属するので、$\operatorname{sd}X$ の条件 1 が従う。

条件 2：$i< k$ について $\sigma_F\circ\delta^i_*=\sigma_{F'}$（$F'$ は $F_i$ を除いた鎖で、最後は $[n]$）。$i=k$ のときは、$\theta\colon[m]\to[n]$ を $F_{k-1}$ の上への順序を保つ全単射とすると $\theta_*(b(\theta^{-1}F_j))=b(F_j)$ なので、$\sigma_F\circ\delta^k_*=(\theta^*\sigma)_{\theta^{-1}F''}$（$F''=(F_0\subsetneq\cdots\subsetneq F_{k-1})$ で、$\theta^{-1}F_{k-1}=[m]$）。

条件 3：すべての $\sigma_F^{-1}(U)$ が開集合であるとする。どの鎖も最後に $[n]$ を付け加えて延ばせるので、$\Delta^n$ は最後が $[n]$ の鎖の閉単体の有限個の和集合であり、$\sigma^{-1}(U)$ と各閉単体との共通部分は $\sigma_F^{-1}(U)$ の線形同相写像による像なので、その閉単体の開集合である。有限個の閉集合による被覆なので $\sigma^{-1}(U)$ は開集合であり、Δ 複体 $X$ の条件 3 により $U$ は開集合である。

頂点：$\sigma_F$ の第 $j$ 頂点 $\sigma(b(F_j))$ は、$F_j$ の上への順序を保つ全単射を $\theta_j$ とすると $\hat b(\theta_j^*\sigma)$ であり、次元 $|F_j|-1$ の単体 $\theta_j^*\sigma$ の開単体の点である。$j$ が異なれば次元が異なり、条件 1 により開単体は交わらないので、頂点は互いに異なる。$\operatorname{sd}X$ の $0$ 単体は鎖 $([n])$ に対応する $\sigma_{([n])}$ で、その値が $\hat b(\sigma)$ である。$\square$