Riemann積分

$P'$ が $P$ より実際に多くもつ点の個数を $k'$（$0\leq k'\leq k$）とする。$k'=0$ なら $P'=P$ で主張は明らかである。$k'=1$ の場合（$2Kk|P|$ を $2K|P|$ に置き換えた不等式）を示せば、1 点ずつ加えることを $k'$ 回繰り返して、$2Kk|P|$ を $2Kk'|P|$ に置き換えた不等式が得られる（途中の分割の幅はどれも $|P|$ 以下なので、各回の差は $2K|P|$ 以下である）。$2Kk'|P|\leq2Kk|P|$ なので主張が従う。以下、$k'=1$ の場合を示す。点 $t$ を小区間 $(x_{i-1},x_i)$ に加えたとし、$M':=\sup_{[x_{i-1},t]}f$、$M'':=\sup_{[t,x_i]}f$ とおく。部分集合の上限は小さくなるので $M',M''\leq M_i$ であり、また $M',M''\geq-K$、$M_i\leq K$ である。$U(P,f)$ と $U(P',f)$ の違いはこの小区間の項だけなので
$$ U(P,f)-U(P',f)=M_i\Delta x_i-M'(t-x_{i-1})-M''(x_i-t)=(M_i-M')(t-x_{i-1})+(M_i-M'')(x_i-t) $$
であり、右辺は $0$ 以上 $2K\Delta x_i\leq2K|P|$ 以下である。下限和も同様（不等号の向きが逆）である。

$P':=P_1\cup P_2$ は $P_1$ と $P_2$ の両方の細分なので、lem-riemann-integral-refinement により $L(P_1,f)\leq L(P',f)\leq U(P',f)\leq U(P_2,f)$ である。$P_1$ について上限をとり、次に $P_2$ について下限をとれば中央の不等式を得る。両端は、$m\leq m_i$、$M_i\leq M$ と $\sum_i\Delta x_i=b-a$ から任意の $P$ で $m(b-a)\leq L(P,f)$、$U(P,f)\leq M(b-a)$ となることによる。

条件が成り立つとすると、prop-riemann-integral-lower-upper により $0\leq\overline{\int_a^b}f-\underline{\int_a^b}f\leq U(P,f)-L(P,f)<\varepsilon$ であり、$\varepsilon$ は任意なので両者は等しい。逆に $f$ が積分可能で値が $I$ なら、上限・下限の定義から $L(P_1,f)>I-\varepsilon/2$、$U(P_2,f)< I+\varepsilon/2$ となる分割 $P_1,P_2$ があり、$P:=P_1\cup P_2$ について lem-riemann-integral-refinement から $U(P,f)-L(P,f)\leq U(P_2,f)-L(P_1,f)<\varepsilon$ となる。最後の主張は下積分・上積分の定義そのものである。

$|f(x)|\leq K$（$K>0$）とする。
1 ⇒ 2：$\varepsilon>0$ をとる。thm-riemann-integral-criterion により $U(P_0,f)-L(P_0,f)<\varepsilon/2$ となる分割 $P_0$ があり、その点の個数を $k$ とする。$\delta:=\varepsilon/(8Kk)$ とおき、$|P|<\delta$ となる分割 $P$ をとる。$P':=P\cup P_0$ は $P$ より高々 $k$ 個多くの点をもつ $P$ の細分であり、$P_0$ の細分でもあるので、lem-riemann-integral-refinement から
$$ U(P,f)\leq U(P',f)+2Kk|P|\leq U(P_0,f)+2Kk\delta,\qquad L(P,f)\geq L(P_0,f)-2Kk\delta $$
となり、$U(P,f)-L(P,f)<\varepsilon/2+4Kk\delta=\varepsilon$ である。$S(P,\xi,f)$ と $I$ はどちらも $L(P,f)$ と $U(P,f)$ の間にある（thm-riemann-integral-criterion）ので、$|S(P,\xi,f)-I|<\varepsilon$ である。
2 ⇒ 1：$\varepsilon>0$ をとり、2 の $\delta$ に対して $|P|<\delta$ となる分割 $P=\{x_0,\dots,x_n\}$（たとえば十分細かい等分）をとる。上限の定義から、各 $i$ で $f(\xi_i)>M_i-\varepsilon/(b-a)$ となる $\xi_i\in[x_{i-1},x_i]$ がある。この代表点について $S(P,\xi,f)>U(P,f)-\varepsilon$ であり、2 から $S(P,\xi,f)< I+\varepsilon$ なので $U(P,f)< I+2\varepsilon$ である。同様に $f(\eta_i)< m_i+\varepsilon/(b-a)$ となる代表点 $\eta$ を選ぶと $L(P,f)>I-2\varepsilon$ となる。したがって $U(P,f)-L(P,f)<4\varepsilon$ であり、$\varepsilon$ は任意なので thm-riemann-integral-criterion により $f$ は積分可能である。さらに $\int_a^bf$ は $L(P,f)$ と $U(P,f)$ の間にあるので $\bigl|\int_a^bf-I\bigr|<2\varepsilon$ であり、$\varepsilon$ は任意なので $\int_a^bf=I$ である。

$[a,b]$ はコンパクトである（コンパクト空間 の記事の定理「有界閉集合とコンパクト性の一致」）。同記事の定理「最大値・最小値の存在」により $f$ は有界であり、一様連続 の記事の定理「Heine–Cantorの定理」により $f$ は一様連続である。$\varepsilon>0$ に対して、$|x-y|<\delta$ なら $|f(x)-f(y)|<\frac{\varepsilon}{2(b-a)}$ となる $\delta>0$ をとり、$|P|<\delta$ となる分割 $P$ をとる。各小区間の 2 点 $x,y$ について $f(x)-f(y)<\frac{\varepsilon}{2(b-a)}$ なので、$x$ について上限、$y$ について下限をとって $M_i-m_i\leq\frac{\varepsilon}{2(b-a)}$ を得る。よって
$$ U(P,f)-L(P,f)=\sum_{i=1}^{n}(M_i-m_i)\Delta x_i\leq\frac{\varepsilon}{2(b-a)}(b-a)<\varepsilon $$
であり、thm-riemann-integral-criterion により $f$ は積分可能である。

増加の場合を示す（減少の場合は $-f$ を考えるか、同様に示す）。$f$ は $f(a)\leq f(x)\leq f(b)$ なので有界である。$[a,b]$ の $n$ 等分 $P_n$ では $M_i=f(x_i)$、$m_i=f(x_{i-1})$、$\Delta x_i=\frac{b-a}n$ なので
$$ U(P_n,f)-L(P_n,f)=\frac{b-a}{n}\sum_{i=1}^{n}\bigl(f(x_i)-f(x_{i-1})\bigr)=\frac{(b-a)\bigl(f(b)-f(a)\bigr)}{n} $$
であり、$n$ を大きくすればいくらでも小さい。thm-riemann-integral-criterion により $f$ は積分可能である。

和について：小区間 $[x_{i-1},x_i]$ 上では $f(x)+g(x)\leq\sup f+\sup g$、$f(x)+g(x)\geq\inf f+\inf g$ なので、どの分割 $P$ でも
$$ L(P,f)+L(P,g)\leq L(P,f+g)\leq U(P,f+g)\leq U(P,f)+U(P,g) $$
である。$\varepsilon>0$ に対し、thm-riemann-integral-criterion により $U(P_1,f)-L(P_1,f)<\varepsilon/2$、$U(P_2,g)-L(P_2,g)<\varepsilon/2$ となる分割をとり、$P:=P_1\cup P_2$ とすると、lem-riemann-integral-refinement により $P$ でも同じ不等式が成り立つ。上の式から $U(P,f+g)-L(P,f+g)<\varepsilon$ なので $f+g$ は積分可能であり、$\int(f+g)$ と $\int f+\int g$ はどちらも区間 $[L(P,f)+L(P,g),\,U(P,f)+U(P,g)]$（長さ $<\varepsilon$）にあるので一致する。
定数倍について：$\alpha\geq0$ なら各小区間で $\sup\alpha f=\alpha\sup f$、$\inf\alpha f=\alpha\inf f$ なので $L(P,\alpha f)=\alpha L(P,f)$、$U(P,\alpha f)=\alpha U(P,f)$ であり、上限・下限をとれば主張を得る。$\alpha=-1$ なら $\sup(-f)=-\inf f$ なので $L(P,-f)=-U(P,f)$、$U(P,-f)=-L(P,f)$ であり、下積分と上積分が入れ替わって符号が変わる。一般の $\alpha<0$ は $\alpha f=(-1)(|\alpha|f)$ と書けばよい。

1：$g-f\geq0$ は thm-riemann-integral-linear により積分可能で、どの分割でも $L(P,g-f)\geq0$ なので $\int(g-f)\geq0$、したがって $\int g-\int f\geq0$ である。2 は prop-riemann-integral-lower-upper である。3：小区間 $[x_{i-1},x_i]$ の 2 点 $x,y$ について $\bigl||f(x)|-|f(y)|\bigr|\leq|f(x)-f(y)|\leq M_i-m_i$ なので、$|f|$ のこの小区間での上限と下限の差は $M_i-m_i$ 以下である。よって $U(P,|f|)-L(P,|f|)\leq U(P,f)-L(P,f)$ であり、thm-riemann-integral-criterion により $|f|$ は積分可能である。$-|f|\leq f\leq|f|$ に 1 を使えば $-\int|f|\leq\int f\leq\int|f|$ を得る。

$[a,c]$ の分割 $P_1$ と $[c,b]$ の分割 $P_2$ の和 $P:=P_1\cup P_2$ は $c$ を含む $[a,b]$ の分割であり、逆に $c$ を含む $[a,b]$ の分割はこの形に一意に書ける。このとき小区間は $P_1$ のものと $P_2$ のものに分かれるので、
$$ L(P,f)=L(P_1,f)+L(P_2,f),\qquad U(P,f)=U(P_1,f)+U(P_2,f) $$
である。
制限が両方で積分可能なら、$\varepsilon>0$ について $U(P_j,f)-L(P_j,f)<\varepsilon/2$（$j=1,2$）となる $P_1,P_2$ をとると $U(P,f)-L(P,f)<\varepsilon$ であり、$f\in\mathcal R[a,b]$ となる。逆に $f\in\mathcal R[a,b]$ なら、$U(Q,f)-L(Q,f)<\varepsilon$ となる分割 $Q$ に $c$ を加えた $P$ も（lem-riemann-integral-refinement により）同じ不等式を満たし、$\bigl(U(P_1,f)-L(P_1,f)\bigr)+\bigl(U(P_2,f)-L(P_2,f)\bigr)<\varepsilon$ の各項は非負なのでどちらも $\varepsilon$ 未満となり、制限は両方で積分可能である。
どちらの場合も、$\int_a^bf$ と $\int_a^cf+\int_c^bf$ はともに $L(P,f)$ と $U(P,f)$ の間（幅 $<\varepsilon$）にあるので一致する。

コンパクト空間 の記事の定理「最大値・最小値の存在」により、$f$ は点 $x_1$ で最小値 $m$、点 $x_2$ で最大値 $M$ をとる。prop-riemann-integral-inequalities の 2 により $\mu:=\frac1{b-a}\int_a^bf$ は $m\leq\mu\leq M$ を満たす。$x_1$ と $x_2$ を端点とする閉区間上で 中間値の定理 を使えば（$x_1=x_2$ なら $f$ は定数）、$f(c)=\mu$ となる $c$ がその区間、したがって $[a,b]$ にある。