Rellichの定理

前提知識: Hilbert空間, Fourier級数, Sobolev空間の基本事項, トーラス

Rellichの定理（Rellich's theorem）は、「微分まで込めて有界な関数の列は、微分の階数を下げたノルムでは収束する部分列をもつ」という主張である。いちばん基本的な形は、コンパクトな空間の上の Sobolev 空間について、階数の高い空間から低い空間への包含写像がコンパクト作用素になる、というものである。
偏微分方程式では、解の存在を示すのに「近似解の列が有界である」という評価から出発することが多い。無限次元の空間では有界な列が収束部分列をもつとは限らないので、評価だけでは極限がとれない。Rellich の定理は、微分についての評価をノルムの弱い空間での収束に変える。楕円型作用素の核が有限次元であること、像が閉じていること、固有値が離散的に並ぶことは、どれもこの定理から出る（Gårdingの不等式、Fredholm作用素、Hodgeの定理）。
この記事では、$n$ 次元トーラス $\mathbb T^n$ の上で Fourier 級数を使って定理を完全に証明し、その帰結として有界領域の零境界値 Sobolev 空間、一様ノルムへの埋め込みを導く。コンパクト多様体や境界つき領域への一般化は、所在を示して引用する。$W^{1,p}(\Omega)\hookrightarrow L^q(\Omega)$ に広げた形は Rellich–Kondrachov の定理と呼ばれ、Sobolevの不等式 の記事で述べられている。

トーラス上の Sobolev 空間

記号

$\mathbb T^n:=\mathbb R^n/2\pi\mathbb Z^n$ とし、$\mathbb T^n$ 上の関数を、各変数について周期 $2\pi$ をもつ $\mathbb R^n$ 上の関数と同一視する。積分は立方体 $[-\pi,\pi]^n$ の上でとり、内積とノルムを
$$ \langle u,v\rangle:=\frac1{(2\pi)^n}\int_{[-\pi,\pi]^n}u(x)\overline{v(x)}\,dx,\qquad \|u\|_{0}:=\langle u,u\rangle^{1/2} $$
と正規化する。$k\in\mathbb Z^n$ に対して $e_k(x):=e^{ik\cdot x}$、$\hat u(k):=\langle u,e_k\rangle$（Fourier 係数）、$\langle k\rangle:=(1+|k|^2)^{1/2}$ とおく。多重指数 $\alpha$ について $\partial^\alpha:=\partial_1^{\alpha_1}\cdots\partial_n^{\alpha_n}$、$k^\alpha:=k_1^{\alpha_1}\cdots k_n^{\alpha_n}$ と書く。
次の事実を前提にする：$\{e_k\}_{k\in\mathbb Z^n}$ は $L^2(\mathbb T^n)$ の完全正規直交系であり、したがって Parseval の等式
$$ \|u\|_0^2=\sum_{k\in\mathbb Z^n}|\hat u(k)|^2,\qquad \langle u,v\rangle=\sum_{k\in\mathbb Z^n}\hat u(k)\overline{\hat v(k)} $$
が成り立ち、係数列 $(c_k)$ が $\sum_k|c_k|^2<\infty$ を満たせば $\sum_kc_ke_k$ は $L^2(\mathbb T^n)$ で収束する（Hilbert空間 の記事の定理「完全正規直交系の特徴づけとParsevalの等式」）。$n=1$ の完全性は Axl20 11.30（p. 355）にあり、$n\ge2$ は直積測度の上で正規直交基底の積が正規直交基底になること（同書 Exercises 8C の 11、p. 252。同書では演習問題）から従う。この記事ではこの完全性を証明しない。

定義

$H^s(\mathbb T^n)$ は重みつきの数列空間 $\ell^2$ にほかならないので Hilbert 空間である（写像 $c\mapsto(\langle k\rangle^sc_k)_k$ が $\ell^2(\mathbb Z^n)$ への等長同型になる）。$t< s$ なら $\langle k\rangle^{2t}\le\langle k\rangle^{2s}$ なので
$$ H^s(\mathbb T^n)\subset H^t(\mathbb T^n),\qquad \|c\|_t\le\|c\|_s $$
であり、包含は連続である。有限個の $k$ を除いて $c_k=0$ となる列、すなわち三角多項式 $\sum_{|k|\le N}c_ke_k$ は、どの $H^s(\mathbb T^n)$ でも稠密である（$\|c-P_Nc\|_s^2=\sum_{|k|>N}\langle k\rangle^{2s}|c_k|^2\to0$）。ここで
$$ P_Nc:=(c_k\mathbf 1_{|k|\le N})_k $$
は $|k|\le N$ の係数だけを残す写像で、どの $H^s$ の上でもノルム $1$ 以下の直交射影である。$s<0$ の元は一般に関数ではなく周期的な超関数に当たるが、この記事では係数列として扱えば足りる。

整数階の Sobolev 空間との一致

整数 $m\ge0$ について、$H^m(\mathbb T^n)$ は「$m$ 階までの弱微分が 2 乗可積分な関数」の空間と一致する。$\mathbb T^n$ 上の弱微分は、Sobolev空間の基本事項 の記事の定義「弱微分」のテスト関数を周期的な滑らかな関数に替えたものである：$u,v\in L^2(\mathbb T^n)$ について、すべての $\varphi\in C^\infty(\mathbb T^n)$ に対して
$$ \int_{[-\pi,\pi]^n}u\,\partial^\alpha\varphi\,dx=(-1)^{|\alpha|}\int_{[-\pi,\pi]^n}v\,\varphi\,dx $$
が成り立つとき、$v$ を $u$ の $\alpha$ 階弱微分といい $\partial^\alpha u=v$ と書く。

$m=1$ では $c_\beta=1$（$|\beta|\le1$）なので $C_1=1$ であり、
$$ \|u\|_1^2=\|u\|_0^2+\sum_{j=1}^n\|\partial_ju\|_0^2 $$
が等号で成り立つ。これを (2) と呼ぶ。

Rellich の定理（トーラス上）

コンパクト作用素とコンパクト埋め込み

コンパクト作用素は有界である（有界でなければ $\|x_j\|\le1$、$\|Tx_j\|\ge j$ となる列がとれ、$(Tx_j)$ はどの部分列も有界でないので収束しない）。有界作用素とコンパクト作用素の合成はコンパクト作用素である：$S$ が有界、$T$ がコンパクトなら、$STx_j$ は $Tx_j$ の収束部分列の像として収束し、$TSx_j$ は有界列 $(Sx_j)$ に $T$ を当てたものだから収束部分列をもつ。無限次元の Hilbert 空間の恒等写像はコンパクトでない（正規直交系 $(f_j)$ は $\|f_i-f_j\|=\sqrt2$（$i\ne j$）なので収束部分列をもたない）。

定理と証明

$s=1$、$t=0$ の場合を (2) で言い換えると、次のようになる：$\mathbb T^n$ 上の関数列 $(u_j)$ で $\|u_j\|_0$ と $\|\partial_1u_j\|_0,\dots,\|\partial_nu_j\|_0$ がすべて一様に有界なものは、$L^2(\mathbb T^n)$ で収束する部分列をもつ。証明の要点は、Fourier 係数ごとの収束は有限次元の話で片づき、高い周波数の部分は $\langle k\rangle^{-(s-t)}$ の分だけ一様に小さい、という 2 点である。

コンパクト性から出る補間不等式

Rellich の定理は、次の形で「弱いノルムで強いノルムの一部を置き換える」不等式に使われる。Gårdingの不等式 の証明や、楕円型作用素の核が有限次元であることの証明で、この形が繰り返し現れる。

トーラスの場合は、係数ごとの比較で定数まで具体的に出る。$m\ge1$、$\delta>0$ として、$\langle k\rangle^2\ge1/\delta$ なら $\langle k\rangle^{2(m-1)}\le\delta\langle k\rangle^{2m}$、そうでなければ $\langle k\rangle^{2(m-1)}\le\delta^{-(m-1)}$ だから、
$$ \|u\|_{m-1}^2\le\delta\|u\|_m^2+\delta^{-(m-1)}\|u\|_0^2\qquad(u\in H^m(\mathbb T^n)) $$
である。prop-rel-ehrling の抽象的な形は、Fourier 係数が使えないコンパクト多様体の上でも、Rellich の定理さえあれば同じ種類の不等式が得られることを示している。

有界領域の零境界値 Sobolev 空間

トーラス上の定理から、$\mathbb R^n$ の任意の有界開集合について、零境界値 Sobolev 空間の場合の Rellich の定理が出る。境界の滑らかさは要らない。$\Omega\subset\mathbb R^n$ を開集合とし、$H^1(\Omega)=W^{1,2}(\Omega)$ のノルムを $\|u\|_{H^1(\Omega)}^2=\|u\|_{L^2(\Omega)}^2+\sum_j\|\partial_ju\|_{L^2(\Omega)}^2$、$H^1_0(\Omega)$ を $C_c^\infty(\Omega)$ のこのノルムでの閉包とする（Sobolev空間の基本事項 の記事の定義「Sobolev空間」「零境界値Sobolev空間」）。

この定理は、Sobolevの不等式 の記事の定理「Rellich--Kondrachovのコンパクト埋め込み」の $p=2$、$q=2$ の場合の零境界値版に当たる。零境界値を外して $H^1(\Omega)$ 全体を考えると、境界の条件（Lipschitz 領域など）が必要になり、それがないと成り立たないことがある（下の ex-rel-bad-domain）。

一様ノルムへの埋め込み

後の応用（楕円型方程式の解が滑らかであること）では、Sobolev 空間の元が連続関数、さらに滑らかな関数であることを知る必要がある。トーラスでは、これも Fourier 係数の計算で済む。

楕円型作用素の解の正則性は、この系を通して「すべての $H^s$ に入る」ことから「滑らかである」ことへ移る（楕円正則性、Hodgeの定理）。

仮定を外すと成り立たなくなること

コンパクト多様体と境界つき領域への一般化

コンパクト多様体 $M$ の上の Sobolev 空間 $H^s(M)$ は、座標近傍と 1 の分割を使って、局所的に $\mathbb R^n$ 上の $H^s$ に属する超関数として定義される。次の一般化は、この記事では証明しない。

Hodge 理論での使われ方は次のとおりである。楕円型作用素 $P$ に対して Gårdingの不等式 の型の評価 $\|u\|_{k+d}\le C(\|Pu\|_k+\|u\|_0)$ があると、$P$ の核の単位球は $H^d$ で有界になり、Rellich の定理により $L^2$ でコンパクトになる。閉単位球がコンパクトなノルム空間は有限次元なので（Fredholm作用素 の記事の補題「Rieszの補題」）、核は有限次元である。同じ議論で像が閉じることも示され、$P$ は Fredholm作用素 になる。

関連項目

• 前提: Hilbert空間, Fourier級数, Sobolev空間の基本事項, トーラス
• 比較: Sobolevの不等式, Arzelà–Ascoliの定理
• 直後に読む: Gårdingの不等式, Fredholm作用素
• 発展: 楕円正則性, Hodgeの定理, スペクトル定理