群スキーム

同義語：group scheme

概要

前提知識: スキーム, ファイバー積, 米田の補題, 群
レベル: 大学院

定義

$S$ をスキームとし、$S$ 上のスキームの圏を $\mathbf{Sch}/S$ と書く。この圏は終対象 $S$ とファイバー積をもつ。$\times$ は $\times_S$ を表す。

群スキーム

$S$ 上の群スキーム（group scheme）とは、$S$ 上のスキーム $G$ と、$S$ 上の射
$$ m\colon G\times G\to G,\qquad e\colon S\to G,\qquad i\colon G\to G $$
の組で、次の図式が可換になるものをいう。

（結合律）$m\circ(m\times\mathrm{id})=m\circ(\mathrm{id}\times m)\colon G\times G\times G\to G$。
（単位元）$m\circ(e\circ\pi,\mathrm{id})=\mathrm{id}=m\circ(\mathrm{id},e\circ\pi)\colon G\to G$。ここで $\pi\colon G\to S$ は構造射。
（逆元）$m\circ(i,\mathrm{id})=e\circ\pi=m\circ(\mathrm{id},i)\colon G\to G$。
さらに $m\circ\mathrm{sw}=m$（$\mathrm{sw}$ は 2 因子の入れ替え）なら可換という。群スキームの準同型とは、$m$ と両立する $S$ 上の射 $G\to H$ をいう。

言いかえると、群スキームとは圏 $\mathbf{Sch}/S$ の中の群対象である。

点の関手による言いかえ

$S$ 上のスキーム $G$ について、$G$ に群スキームの構造を与えることは、関手 $h_G\colon T\mapsto G(T):=\operatorname{Hom}_S(T,G)$ を、群の圏への関手に持ち上げること（各 $G(T)$ に群構造を与え、$T'\to T$ による写像 $G(T)\to G(T')$ が準同型になるようにすること）と同じである。

点の関手からの復元

$G(T)\times G(T)=(G\times G)(T)$ だから、$m,e,i$ は各 $T$ で写像 $G(T)\times G(T)\to G(T)$、$\{*\}=S(T)\to G(T)$、$G(T)\to G(T)$ を $T$ について自然に与え、図式の可換性は各 $G(T)$ が群であることにほかならない。逆に、自然な群構造が与えられれば、米田の補題により、自然変換 $h_{G\times G}\to h_G$ などは $S$ 上の射 $m,e,i$ から一意に来て、群の公理は図式の可換性を与える。

$G(T)$ を $G$ の $T$ 値点の群という。以下の例では、関手 $T\mapsto G(T)$ を与えて、それを表現するスキームを示す。$T$ 上の大域切断の環を $\mathcal O(T):=\Gamma(T,\mathcal O_T)$ と書く。

例

加法群と乗法群

$\mathbb Z$ 上で
$$ \mathbb G_a:=\operatorname{Spec}\mathbb Z[t],\qquad \mathbb G_m:=\operatorname{Spec}\mathbb Z[t,t^{-1}] $$
と置き、$S$ 上へは底変換する。$\mathbb G_a(T)=\mathcal O(T)$（加法）、$\mathbb G_m(T)=\mathcal O(T)^\times$（乗法）である。環の言葉では、$\mathbb G_a$ の積は $t\mapsto t\otimes1+1\otimes t$、$\mathbb G_m$ の積は $t\mapsto t\otimes t$ で与えられる。

1の冪根と一般線形群

$\mu_n:=\operatorname{Spec}\mathbb Z[t]/(t^n-1)$。$\mu_n(T)=\{\zeta\in\mathcal O(T)^\times:\zeta^n=1\}$ であり、準同型 $n\colon\mathbb G_m\to\mathbb G_m$、$x\mapsto x^n$ の核である。
$\mathrm{GL}_n:=\operatorname{Spec}\mathbb Z[x_{ij},\det^{-1}]$。$\mathrm{GL}_n(T)$ は $\mathcal O(T)$ 成分の可逆行列の群である。$\mathrm{SL}_n$ は $\det\colon\mathrm{GL}_n\to\mathbb G_m$ の核である。
$\mathrm{PGL}_n$ は $\mathrm{GL}_n$ の $\mathbb G_m$ による商として定まるアフィン群スキームで、$\mathbb P^{n-1}$ の自己同型群や行列環 $M_n$ の自己同型群を表現する（Azumaya 代数の理論で使われる。Milne80 第 IV 章。本記事では証明しない）。

定数群スキーム

$\Gamma$ を群とし、$\Gamma_S:=\coprod_{\gamma\in\Gamma}S$ と置く。$T$ の連結成分が有限個なら、$\Gamma_S(T)$ は $T$ の連結成分ごとに $\Gamma$ の元を選ぶことに当たる。一般には $\Gamma_S(T)$ は「$T$ から離散空間 $\Gamma$ への局所定数関数」の群である。これを定数群スキームという。

Frobenius核

$p$ を素数、$S$ を $\mathbb F_p$ 上のスキームとする。$\alpha_p:=\operatorname{Spec}\mathcal O_S[t]/(t^p)$ は $\alpha_p(T)=\{x\in\mathcal O(T):x^p=0\}$（加法）を表現する。標数 $p$ では $(x+y)^p=x^p+y^p$ だから、これは $\mathbb G_a$ の部分群であり、Frobenius 準同型 $F\colon\mathbb G_a\to\mathbb G_a$、$x\mapsto x^p$ の核である。

弦と接線による加法

体 $k$ 上の楕円曲線 $E$ は、弦と接線による加法で可換な群スキームになる（Sil09 第 III 章。本記事では証明しない）。これはアフィンでない群スキームの基本的な例である。

アフィン群スキームとHopf代数

$S=\operatorname{Spec}R$ のとき、アフィンな $R$ スキームの圏は可換 $R$ 代数の圏の反対圏と同値である。$\operatorname{Spec}A\times\operatorname{Spec}A=\operatorname{Spec}(A\otimes_RA)$ だから、アフィン群スキーム $G=\operatorname{Spec}A$ の構造は、$R$ 代数の準同型
$$ \Delta\colon A\to A\otimes_RA,\qquad \varepsilon\colon A\to R,\qquad \iota\colon A\to A $$
（余積・余単位・対合射）で、結合律などの双対の図式を満たすものと同じである。これは $A$ が可換な Hopf代数であることにほかならない。たとえば $\mathbb Z[t,t^{-1}]$ では $\Delta(t)=t\otimes t$、$\varepsilon(t)=1$、$\iota(t)=t^{-1}$ である。

基本性質

準同型の核

$\varphi\colon G\to H$ を $S$ 上の群スキームの準同型とする。ファイバー積 $\ker\varphi:=G\times_{\varphi,H,e}S$ は $S$ 上の群スキームで、$(\ker\varphi)(T)=\ker\bigl(G(T)\to H(T)\bigr)$ を満たす。$H\to S$ が分離的なら、$\ker\varphi\to G$ は閉埋め込みである。

ファイバー積の普遍性

ファイバー積の普遍性により、$(\ker\varphi)(T)$ は $g\in G(T)$ で $\varphi(g)$ が $T\to S\xrightarrow{e}H$、すなわち $H(T)$ の単位元に等しいものの集合であり、これは群準同型 $G(T)\to H(T)$ の核である。$T$ について自然な部分群だから、prop-group-scheme-functor により群スキームになる。$H\to S$ が分離的なら、その切断 $e\colon S\to H$ は閉埋め込みであり（分離的な射の切断は閉埋め込み）、閉埋め込みは底変換で保たれるので $\ker\varphi\to G$ も閉埋め込みである。

体上の群スキームは分離的

$k$ を体とすると、$k$ 上の群スキーム $G$ は分離的である。

対角射を単位元の底変換として書く

単位元は閉埋め込み。$e\colon\operatorname{Spec}k\to G$ の像を $x$ とする。$x$ を含むアフィン開集合 $V=\operatorname{Spec}B$ では、$e$ は全射 $B\to k$ に対応するので $x$ は $V$ の閉点で、$e$ は $V$ への閉埋め込みである。$x$ を含まない開集合 $W$ が $x$ の閉包と交わると、交点は $x$ の特殊化で、開集合は一般化で閉じているから $x\in W$ となり矛盾する。よって $\{x\}$ は $G$ で閉であり、$e$ は $G$ への閉埋め込みである。
対角射。射 $\delta\colon G\times G\to G$、$(g,h)\mapsto gh^{-1}$（すなわち $m\circ(\mathrm{pr}_1,i\circ\mathrm{pr}_2)$）を考える。$T$ 値点で見ると、$\delta(g,h)=1$ と $g=h$ は同値だから、ファイバー積 $(G\times G)\times_{\delta,G,e}\operatorname{Spec}k$ は対角射 $\Delta\colon G\to G\times G$ で表現される。閉埋め込み $e$ の底変換として $\Delta$ は閉埋め込みであり、$G$ は分離的である。

標数pのμ_pは被約でない

$k$ を標数 $p>0$ の体とすると、$\mu_{p,k}=\operatorname{Spec}k[t]/(t^p-1)$ は被約でなく、$k$ 上滑らかでない。一方、$n$ が $k$ で可逆なら $\mu_{n,k}$ は $k$ 上エタールである。

座標の平行移動

$u=t-1$ と置くと、標数 $p$ では $t^p-1=(t-1)^p=u^p$ だから $k[t]/(t^p-1)\cong k[u]/(u^p)$ であり、$u\ne0$ は冪零元である。したがって $\mu_p$ は被約でない。体上滑らかなスキームは被約だから、$\mu_p$ は滑らかでない。単位元での接空間を見ても、$k[u]/(u^p)$ の極大イデアル $(u)$ について $(u)/(u^2)$ は 1 次元だが、$\mu_p$ は 0 次元なので、滑らかさの判定（接空間の次元が相対次元に等しいこと）が破れている。
$n$ が可逆なら、$t^n-1$ の導関数 $nt^{n-1}$ は $t^n-1=0$ の上で単元なので、$t^n-1$ は $k$ の代数閉包で重根をもたず、$k[t]/(t^n-1)$ は有限次分離拡大体の積である。よって $\mu_n$ はエタールである。

同じ計算で、$\alpha_p=\operatorname{Spec}k[t]/(t^p)$ も被約でなく滑らかでない。標数 $0$ の体上では状況が異なり、有限型の群スキームは常に滑らかである（Cartier の定理。Mil17。本記事では証明しない）。

群スキームが定める層（引用）

$S$ 上の群スキーム $G$ の点の関手 $T\mapsto G(T)$ は、$\mathbf{Sch}/S$ の fppf 位相（さらに fpqc 位相）について群の層である。$G$ が可換ならアーベル群の層である。

これは表現可能関手が fpqc 位相の層であるという Grothendieck の定理（Grothendieck位相、忠実平坦降下）から従う。こうして群スキームは、エタールコホモロジーや fppf位相のコホモロジーの係数になり、群スキームを構造群とするトーサーが考えられる。完全列 $1\to\mu_n\to\mathbb G_m\xrightarrow{n}\mathbb G_m\to1$（Kummer完全列）は、fppf 位相では常に完全であり、エタール位相では $n$ が可逆なときに完全である。

直感

群スキームは「方程式で定義された群」である。$\mathrm{SL}_n$ は $\det=1$ という方程式で、$\mu_n$ は $t^n=1$ で定義され、どの環 $R$ に値をとっても群になる。点の関手の見方では、群スキームは「環ごとに群を与える規則」であり、その規則が 1 つの方程式系で表されるものである。
ただし、$G\times G$ の点の集合は $G$ の点の集合の直積ではないので、$m$ は下部集合の上の演算を定めず、下部位相空間も（積位相について）位相群にならない（下の反例）。群構造は $T$ 値点の上にあり、とくに標数 $p$ では、$\mu_p$ や $\alpha_p$ のように $k$ 値点が単位元だけなのに群スキームとしては自明でない例がある。これらは「無限小の群」であり、$k$ に値をとる点を見るだけでは捉えられない。

反例

反例：逆元の射をもたないモノイド

$\mathbb A^1_S=\operatorname{Spec}\mathcal O_S[t]$ に積 $m(x,y)=xy$（環の言葉では $t\mapsto t\otimes t$）と単位元 $e=1$ を与えると、結合律と単位元の条件は満たされる。しかし $T=S$ として $0\in\mathbb A^1(S)$ は逆元をもたないので、$\mathbb A^1(T)$ は群ではなく、条件 3 の射 $i$ は存在しない。これはモノイド・スキームであって群スキームではない。可逆元の部分 $\mathbb G_m\subset\mathbb A^1$ に制限すると群スキームになる。

反例：点の集合は位相群にならない

$k=\mathbb C$、$G=\mathbb G_{a,\mathbb C}$ とし、閉点の集合 $\mathbb C$ に Zariski 位相（空集合・有限集合以外の閉集合は全体だけ）を入れる。加法 $\mathbb C\times\mathbb C\to\mathbb C$ は、$\mathbb C\times\mathbb C$ に積位相を入れると連続でない。実際、積位相の閉集合は、有限個の点・縦線 $\{a\}\times\mathbb C$・横線 $\mathbb C\times\{b\}$ の有限和の共通部分であり、全体でなければ、有限個の点と有限個の縦線・横線の和になる。ところが点 $0$ の逆像 $\{(x,-x)\}$ は、各縦線・各横線とちょうど 1 点で交わる無限集合なので、そのような和に含まれず、閉でない。スキームの積 $\mathbb A^2$ の位相は積位相より細かく、そこでは $\{x+y=0\}$ は閉集合である。したがって、群スキームの下部位相空間は（積位相について）位相群とは限らず、群スキームを「位相群であるスキーム」と定義することはできない。

反例：点だけでは群スキームは決まらない

$k$ を標数 $p>0$ の完全体とする。$\mu_{p,k}$ と自明な群スキーム $\operatorname{Spec}k$ は、どちらも $k$ の任意の拡大体 $K$ に値をとる点が単位元だけである（$K$ は被約なので $x^p=1$ なら $(x-1)^p=0$ から $x=1$）。しかし $\mu_{p,k}$ の座標環 $k[u]/(u^p)$ は $k$ と同型でないから、両者は同型でない。$T=\operatorname{Spec}k[\varepsilon]/(\varepsilon^p)$ に値をとる点を見ると、$\mu_p(T)$ は $1+\varepsilon$ を含み、違いが現れる。「体に値をとる点が同じなら同型」という主張は、滑らかでない群スキームについては成り立たない。