加法関手

前加法圏 $\mathcal{C}$ の対象 $X$ について、$\operatorname{Hom}(X,-)\colon\mathcal{C}\to\mathbf{Ab}$ は射 $f\colon A\to B$ を $u\mapsto f\circ u$ に送る。合成の双線型性 $(f+g)\circ u=f\circ u+g\circ u$ により、これは加法関手である。同様に反変関手 $\operatorname{Hom}(-,X)$ は $(f+g)^*=f^*+g^*$ を満たし、加法的である。

環 $R$ と右 $R$ 加群 $M$ について、$M\otimes_R-\colon R\text{-}\mathbf{Mod}\to\mathbf{Ab}$ は $(\operatorname{id}\otimes(f+g))(m\otimes x)=m\otimes f(x)+m\otimes g(x)$ により加法関手である。左 $R$ 加群の圏から $\mathbf{Ab}$ への忘却関手、環準同型 $R\to S$ に沿って $S$ 加群を $R$ 加群とみなす関手も、射の和を写像の和のまま送るので加法関手である。

環 $R$ を、対象が一つ $\ast$ で $\operatorname{Hom}(\ast,\ast)=R$、合成を環の積とする前加法圏とみなす。加法関手 $F\colon R\to\mathbf{Ab}$ を与えることは、左 $R$ 加群を与えることと同じである。実際、$M=F(\ast)$ とおくと、$r\mapsto F(r)$ は加法的で、関手性から $F(rs)=F(r)\circ F(s)$、$F(1)=\operatorname{id}_M$ を満たすので、環準同型 $R\to\operatorname{End}(M)$ すなわち $M$ 上の左 $R$ 加群の構造である。逆に左 $R$ 加群は同じ式で加法関手を定める。二つの加法関手の間の自然変換は、ちょうど $R$ 加群の準同型である。

位相空間 $X$ 上のアーベル群の層の圏から $\mathbf{Ab}$ への大域切断の関手 $\Gamma(X,-)$、群 $G$ の加群 $M$ に不変部分 $M^G$ を対応させる関手、アーベル圏の複体にその $n$ 次コホモロジーを対応させる関手は、どれも加法関手である。最後のものは、複体の射 $f,g$ が誘導する写像がコサイクルの類に $[z]\mapsto[f(z)]$ で作用するので、$[(f+g)(z)]=[f(z)]+[g(z)]$ となることによる。

有理数体上のベクトル空間の圏で、外積 $\Lambda^2(V)$ をとる関手 $\Lambda^2$（射 $f$ を $f\wedge f$ に送る）は、零対象を零対象に送る。しかし $\dim V\ge2$ のとき $\Lambda^2(\operatorname{id}_V+\operatorname{id}_V)=\Lambda^2(2\operatorname{id}_V)=4\operatorname{id}$ であり、$\Lambda^2(\operatorname{id}_V)+\Lambda^2(\operatorname{id}_V)=2\operatorname{id}$ と異なる（$\Lambda^2V\neq0$ なので）。よって加法関手ではない。積も保たない：$\Lambda^2(\mathbb{Q}\oplus\mathbb{Q})$ は $1$ 次元だが、$\Lambda^2\mathbb{Q}\oplus\Lambda^2\mathbb{Q}=0$ である。
アーベル群の圏で、すべての対象を $\mathbb{Z}$ に、すべての射を $\operatorname{id}_{\mathbb{Z}}$ に送る定数関手も加法的でない。零射 $0$ が $\operatorname{id}_{\mathbb{Z}}\neq0$ に写るからである。加法関手は零対象を零対象に送るが、この関手は零対象 $0$ を $\mathbb{Z}$ に送る。

アーベル群の短完全列 $0\to\mathbb{Z}\xrightarrow{2}\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\to0$ は分裂しない（分裂すれば $\mathbb{Z}\cong\mathbb{Z}\oplus\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ となるが、左辺には位数 $2$ の元がない）。加法関手 $\operatorname{Hom}(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z},-)$ を施すと
$$ 0\to0\to0\to\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\to0 $$
となり、右端で完全でない。$\operatorname{Hom}(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z},-)$ は左完全だが右完全ではない。

有理数体上のベクトル空間の分裂短完全列 $0\to\mathbb{Q}\to\mathbb{Q}^2\to\mathbb{Q}\to0$（第 1 成分への包含と第 2 成分への射影）に、ex-adf-non-additive の $\Lambda^2$ を施すと、$\Lambda^2\mathbb{Q}=0$、$\Lambda^2(\mathbb{Q}^2)\cong\mathbb{Q}$ なので
$$ 0\to0\to\mathbb{Q}\to0\to0 $$
となり、中央で完全でない。prop-adf-split の加法性の仮定は外せない。

アーベル群 $M$ に捩れ部分群 $T(M)=\{x\in M\mid nx=0\ \text{となる}\ n\ge1\ \text{がある}\}$ を対応させる関手 $T\colon\mathbf{Ab}\to\mathbf{Ab}$ は、準同型の制限で射を送り、加法関手である。素数全体にわたる積 $M=\prod_p\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ を考えると、各 $T(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})=\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ なので $\prod_pT(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})=M$ である。一方、$x=(1,1,1,\dots)$ について $nx$ の $p$ 成分は $p>n$ のとき $n\bmod p\neq0$ なので、$x$ は位数無限であり $T(M)\neq M$ である。よって標準的な写像 $T(\prod_pM_p)\to\prod_pT(M_p)$ は全射でなく、$T$ は無限積を保たない。