解析汎関数

連続なら、$0$ の近傍 $\{f\mid\max_jp_{K_j}(f)< \varepsilon\}$（$K_j$ は有限個のコンパクト集合）の像が単位円板に入る。$K:=\bigcup_jK_j$ とすると、$p_K(f)>0$ なら $f$ を $\varepsilon/(2p_K(f))$ 倍して $|\mu(f)|\le(2/\varepsilon)p_K(f)$ を得る。$p_K(f)=0$ なら、すべての $t>0$ で $tf$ が近傍に入るので $|\mu(f)|< 1/t$、よって $\mu(f)=0$ である。逆は明らかである。後半は、$K$ の開近傍 $\omega$ について $p_K\le\sup_\omega|\cdot|$ だから $K$ が担体になることによる。$\square$

1：prop-af-carrier-exists の $K$、$C$ をとる。$\zeta$ を固定すると、$h\to0$ のとき差分商 $(e_{\zeta+he_j}-e_\zeta)/h=e_\zeta\cdot(e^{hz_j}-1)/h$ は $z_je_\zeta$ に $K$ の上で一様収束するので、$|\mu(g)|\le C\,p_K(g)$ から $\widehat\mu$ は各変数について複素微分可能で $\partial_j\widehat\mu(\zeta)=\mu(z_je_\zeta)$ である。同じことを繰り返すと $\widehat\mu$ は $C^\infty$ 級で $\partial/\partial\bar\zeta_j$ が $0$ なので整関数である。2：$\omega:=K_\delta$ に担体の定義を使うと、$|\widehat\mu(\zeta)|\le C_\delta\sup_{K_\delta}|e_\zeta|=C_\delta\exp H_{K_\delta}(\zeta)$ である。$\square$

多重指数 $\alpha$ と $h>0$ について
$$ g_h(z):=\prod_{j=1}^n\Bigl(\frac{e^{hz_j}-1}h\Bigr)^{\alpha_j} $$
を展開すると、$e_\zeta$（$\zeta\in h\mathbb Z_{\ge0}^n$）の有限 1 次結合になる。$h\to0$ のとき $(e^{hw}-1)/h\to w$ は $w$ の有界集合の上で一様なので、$g_h\to z^\alpha$ がコンパクト集合の上で一様に成り立つ。整関数の Taylor 級数は閉多重円板の上で一様収束する（多重円板 の定理「冪級数展開」）ので、多項式は $A$ で稠密である。よって指数関数の 1 次結合も稠密であり、連続な $\mu-\nu$ がそれらの上で $0$ なら $\mu=\nu$ である。$\square$

$f=\sum_mc_mw^m$ とすると、$\frac1{2\pi i}\oint_{|w|=R'}w^m\sum_ka_kw^{-k-1}dw=a_m$（級数は円周の上で一様収束）なので、右辺は $\sum_mc_ma_m$ である。Taylor 級数の部分和は $A$ で $f$ に収束するので、$\mu$ の連続性から左辺も $\sum_mc_ma_m$ である。$\square$

$\mu_B$ は Cauchy の積分定理により $R'$ によらず、$|\mu_B(f)|\le R'\max_{|w|=R'}|B|\cdot\max_{|w|=R'}|f|$ なので連続である。Laurent展開 $B=\sum_kb_kw^{-k-1}$ の係数は $b_k=\frac1{2\pi i}\oint w^kB\,dw=\mu_B(z^k)$ なので $B_{\mu_B}=B$ である。逆に $\mu_{B_\mu}=\mu$ は lem-af-contour である。$\square$

1 ⇒ 2 は prop-af-growth の 2 である。
2 ⇒ 3。 $R_K:=\max_{z\in K}|z|$、$A:=R_K+1$ とすると、2 を $\delta=1$ で使って $|\widehat\mu(\zeta)|\le Ce^{A|\zeta|}$ である。$a_k=\widehat\mu^{(k)}(0)$ の Cauchy の評価から $|a_k|\le Ck!e^{AR}/R^k$（すべての $R>0$）で、$k\ge1$ なら $R=k/A$ と $k!\le k^k$ により $|a_k|\le CD^k$（$D:=Ae$）である。$\xi\ne0$ について半平面 $P_\xi:=\{w\mid\operatorname{Re}(w\xi)>H_K(\xi)\}$ の上で
$$ B_\xi(w):=\xi\int_0^\infty\widehat\mu(t\xi)\,e^{-tw\xi}\,dt $$
とおく。$L\subset P_\xi$ がコンパクトなら $b:=\min_L(\operatorname{Re}(w\xi)-H_K(\xi))>0$ で、2 を $\delta:=b/(2|\xi|)$ で使うと被積分関数は $C_\delta e^{-bt/2}$ で抑えられる。よって積分は $P_\xi$ で広義一様に収束し、$B_\xi$ は $P_\xi$ で正則である。
$\operatorname{Re}(w\xi)>D|\xi|$ なら $|w|>D$ で、級数 $\widehat\mu(t\xi)=\sum_ka_kt^k\xi^k/k!$ を項別に積分でき（$\sum_k|a_k||\xi|^k/\operatorname{Re}(w\xi)^{k+1}< \infty$）、$\int_0^\infty t^ke^{-tw\xi}dt=k!/(w\xi)^{k+1}$ から $B_\xi(w)=\sum_ka_kw^{-k-1}=B_\mu(w)$ である（$D>R_K$ なので $\operatorname{Re}(w\xi)>R_K|\xi|\ge H_K(\xi)$、すなわち $w\in P_\xi$ である）。
$P_{\xi_1}\cap P_{\xi_2}\ne\emptyset$ とする。$\xi_2$ は $\xi_1$ の負の実数倍でない（$\xi_2=-c\xi_1$ なら $\operatorname{Re}(w\xi_1)>\max_K\operatorname{Re}(x\xi_1)$ と $\operatorname{Re}(w\xi_1)< \min_K\operatorname{Re}(x\xi_1)$ が同時に必要になる）。したがって $v:=\bar\xi_1/|\xi_1|+\bar\xi_2/|\xi_2|$ は $\operatorname{Re}(v\xi_j)>0$（$j=1,2$）を満たし、共通部分の点 $w_0$ から $w_0+sv$（$s\to\infty$）と進むと、両方の半平面で前段の条件を満たす点に達する。そこで $B_{\xi_1}=B_\mu=B_{\xi_2}$ であり、共通部分は凸で連結だから、一致の定理 により共通部分の全体で $B_{\xi_1}=B_{\xi_2}$ である。こうして $B_\xi$ たちは $\bigcup_{\xi\ne0}P_\xi$ の上の正則関数に貼り合わさる。$K$ は凸なので、前節の支持関数による表示から $\bigcup_\xi P_\xi=\mathbb C\setminus K$ である。$|w|>D$ では $\xi=\bar w/|w|$ が $\operatorname{Re}(w\xi)=|w|>D|\xi|$ を満たすので、貼り合わせた関数は $B_\mu$ の延長である。
3 ⇒ 1。 $\omega\supset K$ を開集合とする。$K$ を内部に含み $\omega$ に含まれる凸多角形 $P$ をとり（$K$ の $\varepsilon$ 近傍の有限個の点の凸包を少し膨らませればよい）、$\gamma$ をその境界とする。大きい円周と $\gamma$ の間の領域は $K$ と交わらず、そこで $fB_\mu$ は正則なので、Cauchy の積分定理と lem-af-contour から
$$ \mu(f)=\frac1{2\pi i}\oint_\gamma f(w)\,B_\mu(w)\,dw,\qquad|\mu(f)|\le\frac{\operatorname{length}(\gamma)\max_\gamma|B_\mu|}{2\pi}\sup_\omega|f| $$
である。よって $K$ は担体である。
存在。 $M=\sum_ka_k\zeta^k/k!$ が 2 の評価を満たせば、上と同じく $|a_k|\le CD^k$ である。$B:=\sum_ka_kw^{-k-1}$ は $|w|>D$ で正則で $\infty$ で $0$ になるので、thm-af-germ の $\mu:=\mu_B$ は $\mu(z^k)=a_k$、したがって $\widehat\mu=\sum_k\mu(z^k)\zeta^k/k!=M$ を満たす。2 ⇒ 3 ⇒ 1 から $\mu$ は $K$ に担われる。$\square$

要点：凸な担体 $K$ ごとに $B_\mu$ は $\mathbb C\setminus K$ へ延び、二つの延長は無限遠の近くで一致するので貼り合わさる。

$\binom{2k}k\ge4^k/(2k+1)$（$\binom{2k}j$ の $2k+1$ 個の中で最大）から $4^k(k!)^2/(2k)!\le2k+1$ である。$\omega\supset K_a$ を開集合とすると、コンパクト性から $r_j>a_j$ で閉双円板 $\{|z_j|\le r_j\}$ が $\omega$ に入るものがあり、$r_1r_2>1$ である。多重円板 の系「Cauchy の評価式と Liouville の定理」から $|c_{kk}|\le(r_1r_2)^{-k}\sup_\omega|f|$ なので $|\mu(f)|\le\sum_k(2k+1)(r_1r_2)^{-k}\sup_\omega|f|$ である。これで $\mu\in A'$ と、$K_a$ が担体であることがわかる。$e_\zeta$ の $z_1^kz_2^k$ の係数は $\zeta_1^k\zeta_2^k/(k!)^2$ なので、$\widehat\mu$ は上の級数である。
$\{0\}$ が担体なら、prop-af-growth から $|\widehat\mu(\zeta)|\le C_\delta e^{\delta|\zeta|}$ である。しかし $t>0$ について $\widehat\mu(t,-t)=\sum_k4^kt^{2k}/(2k)!=\cosh2t\ge e^{2t}/2$、$|(t,-t)|=\sqrt2\,t$ なので、$\delta< \sqrt2$ では矛盾する。最小の凸担体 $K$ があれば $K\subset\{0\}$ で、担体を含む集合は担体なので $\{0\}$ も担体となり矛盾する。$\square$