Borel集合

同義語：ボレル集合Borel set

概要

Borel集合（Borel set）とは、位相空間の開集合全体が生成する σ-代数（Borel σ-代数）の元のことである。開集合から補集合・可算個の和集合・可算個の共通部分を何度とっても Borel 集合であり、実数では閉集合、$F_\sigma$ 集合、$G_\delta$ 集合、有理数全体、Cantor 集合などが Borel 集合である。実数の Borel σ-代数は区間や半直線 $(-\infty,a]$ の全体からも生成され、連続写像による Borel 集合の逆像は Borel 集合である。Lebesgue 測度や確率分布を定める共通の土台であるが、Borel 集合でない実数の集合も存在する。

$$\newcommand{C}[0]{\mathbb{C}} \newcommand{div}[0]{\mathbin{÷}} \newcommand{N}[0]{\mathbb{N}} \newcommand{Q}[0]{\mathbb{Q}} \newcommand{R}[0]{\mathbb{R}} \newcommand{Z}[0]{\mathbb{Z}} $$

前提知識: 位相空間, 開集合, σ-代数

位相空間では開集合が基本の対象である。開集合は任意個の和集合で閉じているが、補集合や可算個の共通部分では閉じていない。長さ・確率のような可算加法的な量を扱うには、開集合から出発して、補集合と可算個の和集合・共通部分を何度とってもはみ出さない集合の族が必要になる。それが開集合全体の生成する σ-代数 であり、その元を Borel 集合（Borel set）という。開集合・閉集合、閉集合の可算個の和（$F_\sigma$ 集合）、開集合の可算個の共通部分（$G_\delta$ 集合）、有理数全体、Cantor 集合など、解析学に自然に現れる実数の集合はほとんどが Borel 集合である。Borel 集合は位相だけから決まるので、Lebesgue測度 や確率分布のような測度を定義する共通の土台になり、確率変数 については「値が Borel 集合 $B$ に入る」という事象 $\{X\in B\}$ がつねに確率をもつ。

定義

以下、位相空間 $X$ の部分集合の族 $\mathcal{A}$ が生成する σ-代数（$\mathcal{A}$ を含む最小の σ-代数）を $\sigma(\mathcal{A})$ と書く（σ-代数 の記事の定義「生成される σ-代数」）。

Borel集合

位相空間 $X$ の開集合全体が生成する σ-代数を $X$ の Borel σ-代数といい、$\mathcal{B}(X)$ と書く。$\mathcal{B}(X)$ の元を $X$ の Borel 集合（Borel set）という。

$\mathcal{B}(X)$ は開集合全体を含む最小の σ-代数である。したがって、開集合を含み補集合と可算個の和集合で閉じた族は、すべての Borel 集合を含む。σ-代数は補集合と可算個の共通部分でも閉じている（σ-代数 の記事の命題「σ-代数で閉じている演算」）ので、閉集合（開集合の補集合）、閉集合の可算個の和、開集合の可算個の共通部分なども Borel 集合である。
$X=\mathbb{R}^n$（通常の位相）の Borel σ-代数を $\mathcal{B}(\mathbb{R}^n)$、特に $\mathcal{B}(\mathbb{R})$ と書く。$\mathcal{B}(\mathbb{R})$ は Lebesgue測度 の記事で $\mathcal{B}$ と書かれている族と同じものであり、Axler20 2.29・5.37、Tao11 Definition 1.4.16 の定義とも一致する（Tao は Borel 集合を「Borel 可測な集合」と呼ぶ）。

Borel可測写像

位相空間 $X,Y$ の間の写像 $f\colon X\to Y$ が Borel 可測であるとは、すべての $B\in\mathcal{B}(Y)$ について $f^{-1}(B)\in\mathcal{B}(X)$ であることをいう。$Y=\mathbb{R}$ のとき、Borel 可測な $f\colon X\to\mathbb{R}$ を Borel 関数ともいう。

これは可測空間 $(X,\mathcal{B}(X))$ から $(Y,\mathcal{B}(Y))$ への可測写像（σ-代数 の記事の定義「可測写像」）のことである。Axler20 2.40 は $X$ が $\mathbb{R}$ の Borel 集合の場合にこの定義を置いている（prop-borel-set-subspace により、このとき $\mathcal{B}(X)$ は $X$ に含まれる $\mathbb{R}$ の Borel 集合の全体である）。
一般の集合 $X$ に σ-代数 $\mathcal{S}$ が与えられているとき、関数 $f\colon X\to\mathbb{R}$ が $\mathcal{S}$-可測であるとは、すべての Borel 集合 $B\subset\mathbb{R}$ について $f^{-1}(B)\in\mathcal{S}$ であることをいう（Axler20 2.35）。Lebesgue積分 の記事の定義「可測関数」は「すべての $a$ について $\{f>a\}\in\mathcal{F}$」を条件としているが、下の thm-borel-set-generators と σ-代数 の記事の定理「逆像と生成系」により、実数値関数ではこの 2 つは同値である。

例

開集合・閉集合とその可算個の操作

位相空間 $X$ の次の集合は Borel 集合である。

  • 開集合と閉集合。
  • 閉集合の可算個の和集合（F_σ-集合）と、開集合の可算個の共通部分（G_δ-集合）。さらに $F_\sigma$ 集合の可算個の共通部分、$G_\delta$ 集合の可算個の和集合なども Borel 集合である。
  • $X$ の 1 点集合がすべて閉集合なら（たとえば $X$ が距離空間なら）、可算集合は 1 点集合の可算個の和集合なので Borel 集合であり、その補集合も Borel 集合である。
    $X=\mathbb{R}$ では、有理数全体 $\mathbb{Q}$（$F_\sigma$ 集合）、無理数全体 $\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}$（$G_\delta$ 集合）、半開区間 $[a,b)=\bigcap_{k\ge1}(a-1/k,b)$、Cantor集合（閉集合）、$[0,1]$ の中の有理数全体 $[0,1]\cap\mathbb{Q}$ などが Borel 集合である（Axler20 2.30）。関数 $f\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ が連続になる点全体は $G_\delta$ 集合なので（F_σ-集合 の記事の命題「不連続点全体は $F_\sigma$-集合」）、どんな関数についても Borel 集合である。
連続関数で定まる集合

$f,g\colon X\to\mathbb{R}$ を位相空間 $X$ 上の連続関数とする。零点集合 $f^{-1}(\{0\})$、$\{x\mid f(x)\le g(x)\}$ は閉集合、$\{x\mid f(x)< g(x)\}$ は開集合なので、どれも Borel 集合である。たとえば単位円周 $\{(x,y)\in\mathbb{R}^2\mid x^2+y^2=1\}$ や閉円板 $\{x^2+y^2\le1\}$ は $\mathcal{B}(\mathbb{R}^2)$ に属する。

確率変数が定める事象

$(\Omega,\mathcal{F},P)$ を確率空間とし、$X\colon\Omega\to\mathbb{R}$ を確率変数（すべての実数 $a$ について $\{X\le a\}\in\mathcal{F}$ を満たす関数）とする。このとき、すべての Borel 集合 $B\subset\mathbb{R}$ について $\{X\in B\}=X^{-1}(B)\in\mathcal{F}$ である。半直線 $(-\infty,a]$ の全体は $\mathcal{B}(\mathbb{R})$ を生成する（thm-borel-set-generators）ので、σ-代数 の記事の定理「逆像と生成系」の 3 からこれが従う。したがって $P(X\in B)$ はすべての Borel 集合 $B$ について定まり、$B\mapsto P(X\in B)$ は $\mathcal{B}(\mathbb{R})$ 上の確率を与える（$X$ の分布。確率空間 の記事の注意「確率変数と分布」）。たとえば「$X$ の値が有理数である」「$X$ の値が Cantor 集合に入る」も事象である。

位相による違い

同じ集合でも、位相が変われば Borel 集合の族も変わる。

  • 密着位相（開集合は $\emptyset$ と $X$ だけ）では $\mathcal{B}(X)=\{\emptyset,X\}$ である。$\{\emptyset,X\}$ はすでに σ-代数だからである。
  • 離散位相（すべての部分集合が開集合）では $\mathcal{B}(X)=\mathcal{P}(X)$ である。
  • 非可算集合 $X$ 上の余可算位相（開集合は $\emptyset$ と、補集合が可算な集合）では、$\mathcal{B}(X)$ は「可算であるか補集合が可算である集合」全体 $\mathcal{C}$ に等しい。
    3 つ目を確かめる

    空でない開集合は補集合が可算なので $\mathcal{C}$ に属し、$\mathcal{C}$ は σ-代数である（σ-代数 の記事の例「可算集合と補集合が可算な集合」）から $\mathcal{B}(X)\subset\mathcal{C}$ である。逆に、1 点集合は補集合が開集合なので閉集合であり、Borel 集合である。$\mathcal{C}$ は 1 点集合全体が生成する σ-代数である（同じ例）から $\mathcal{C}\subset\mathcal{B}(X)$ である。

    $X=\mathbb{R}$ で比べると、Borel 集合の族は $\{\emptyset,\mathbb{R}\}\subsetneq\mathcal{C}\subsetneq\mathcal{B}(\mathbb{R})\subsetneq\mathcal{P}(\mathbb{R})$ となる（左から密着位相・余可算位相・通常の位相・離散位相）。$\mathcal{C}\subset\mathcal{B}(\mathbb{R})$ は可算集合が通常の位相で Borel 集合であることから、2 つ目の真の包含は $(0,\infty)\in\mathcal{B}(\mathbb{R})\setminus\mathcal{C}$ から従い、3 つ目は rem-borel-set-cardinality で述べる。余可算位相と通常の位相は包含関係にない（無理数全体は余可算位相で開集合だが通常の位相で開集合でなく、$(0,1)$ はその逆である）が、Borel 集合の族は包含関係にある。

性質

実数の Borel 集合の生成系

$\mathcal{B}(\mathbb{R})$ は開集合全体で生成されるが、もっと単純な集合の族でも生成される。どの生成系を使ってもよいことは、測度や分布を区間の上の値だけで調べるときの出発点になる。

Borel σ-代数の生成系

$\mathcal{B}(\mathbb{R})$ は、次のどの族からも生成される。

  1. 開区間 $(a,b)$（$a< b$）の全体。
  2. 閉区間 $[a,b]$（$a< b$）の全体。
  3. 半開区間 $(a,b]$（$a< b$）の全体。
  4. 半直線 $(-\infty,a]$（$a\in\mathbb{R}$）の全体。
    さらに、1〜4 で端点 $a,b$ を有理数に限った族も $\mathcal{B}(\mathbb{R})$ を生成する。特に $\mathcal{B}(\mathbb{R})$ は可算個の集合から生成される。

1〜4 の族を $\mathcal{J}_1,\dots,\mathcal{J}_4$ とする。2 つの族が同じ σ-代数を生成することを示すには、それぞれが相手の生成する σ-代数に含まれることを示せばよい（σ-代数 の記事の定義「生成される σ-代数」の後の箇条書き）。
（$\mathcal{B}(\mathbb{R})=\sigma(\mathcal{J}_1)$）開区間は開集合なので $\sigma(\mathcal{J}_1)\subset\mathcal{B}(\mathbb{R})$ である。逆に、開集合 $U$ は、$U$ に含まれる有理数端点の開区間 $(p,q)$ 全体の和集合に等しい。実際、$x\in U$ なら $(x-\varepsilon,x+\varepsilon)\subset U$ となる $\varepsilon>0$ があり、$x-\varepsilon< p< x< q< x+\varepsilon$ となる有理数 $p,q$ をとれば $x\in(p,q)\subset U$ である。有理数の対 $(p,q)$ は可算個しかない（$\mathbb{Q}\times\mathbb{Q}$ は可算集合）ので、$U$ は $\mathcal{J}_1$ の元の可算個の和集合であり、$U\in\sigma(\mathcal{J}_1)$ である。よって $\mathcal{B}(\mathbb{R})\subset\sigma(\mathcal{J}_1)$ である。
（$\mathcal{J}_2,\mathcal{J}_3,\mathcal{J}_4\subset\mathcal{B}(\mathbb{R})$）閉区間と $(-\infty,a]$ は閉集合であり、$(a,b]=\bigcap_{k\ge1}(a,b+1/k)$ は開集合の可算個の共通部分である。
（$\mathcal{J}_1\subset\sigma(\mathcal{J}_i)$）$a< b$ とし、$k_0$ を $2/k_0< b-a$ となる正の整数とすると
$$ (a,b)=\bigcup_{k\ge k_0}\Bigl[a+\frac1k,\ b-\frac1k\Bigr]=\bigcup_{k\ge k_0}\Bigl(a,\ b-\frac1k\Bigr],\qquad (a,b]=(-\infty,b]\setminus(-\infty,a] $$
である。1 つ目の式から $\mathcal{J}_1\subset\sigma(\mathcal{J}_2)$、2 つ目から $\mathcal{J}_1\subset\sigma(\mathcal{J}_3)$、3 つ目から $\mathcal{J}_3\subset\sigma(\mathcal{J}_4)$、したがって $\mathcal{J}_1\subset\sigma(\mathcal{J}_3)\subset\sigma(\mathcal{J}_4)$ である。以上から $\sigma(\mathcal{J}_i)=\sigma(\mathcal{J}_1)=\mathcal{B}(\mathbb{R})$（$i=2,3,4$）である。
（有理数端点）端点を有理数に限っても、上の式はそのまま使える。

詳細

1 の段で使ったのは有理数端点の開区間だけである。2・3 の式の $a,b$ が有理数なら、右辺の区間の端点も有理数である。4 については、実数 $a$ に対し $(-\infty,a]=\bigcap\{(-\infty,q]\mid q\in\mathbb{Q},\ q>a\}$ は可算個の共通部分なので、$(-\infty,q]$（$q\in\mathbb{Q}$）全体が生成する σ-代数は 4 の族を含む。有理数端点の区間・半直線は可算個である。$\square$

$\mathcal{B}(\mathbb{R})$ は $(a,\infty)$ の全体からも生成される（$(a,\infty)$ は $(-\infty,a]$ の補集合）。Axler20 2.39 の証明はこの形を使い、Tao11 Exercise 1.4.14 は $\mathbb{R}^d$ で開集合・閉集合・コンパクト集合・開球・箱などがどれも Borel σ-代数を生成することを演習にしている。$\mathbb{R}^n$ でも、開集合は有理数を座標とする中心と有理数の辺の長さをもつ開立方体の可算個の和集合なので、$\mathcal{B}(\mathbb{R}^n)$ は開立方体の全体から生成される（Axler20 5.38）。

Borel 可測写像

連続写像とBorel集合

$X,Y,Z$ を位相空間とする。

  1. 連続写像 $f\colon X\to Y$ は Borel 可測である。すなわち、$B\in\mathcal{B}(Y)$ ならば $f^{-1}(B)\in\mathcal{B}(X)$ である。
  2. $h\colon X\to Y$ が同相写像なら、$B\in\mathcal{B}(X)$ に対し $h(B)\in\mathcal{B}(Y)$ であり、$h$ は $\mathcal{B}(X)$ と $\mathcal{B}(Y)$ の間の全単射 $B\mapsto h(B)$ を与える。
  3. Borel 可測写像 $f\colon X\to Y$、$g\colon Y\to Z$ の合成 $g\circ f$ は Borel 可測である。
  4. 関数 $f\colon X\to\mathbb{R}$ について、次は同値である。(a) $f$ は Borel 可測である。(b) すべての $a\in\mathbb{R}$ について $\{x\mid f(x)\le a\}\in\mathcal{B}(X)$。(c) すべての $a\in\mathbb{R}$ について $\{x\mid f(x)>a\}\in\mathcal{B}(X)$。
  1. $\mathcal{B}(Y)$ は $Y$ の開集合全体 $\mathcal{O}_Y$ から生成される。$f$ は連続なので $U\in\mathcal{O}_Y$ の逆像 $f^{-1}(U)$ は $X$ の開集合であり、$\mathcal{B}(X)$ に属する。σ-代数 の記事の定理「逆像と生成系」の 3（生成系の元の逆像だけを調べればよい）により、すべての $B\in\mathcal{B}(Y)=\sigma(\mathcal{O}_Y)$ について $f^{-1}(B)\in\mathcal{B}(X)$ である。
  2. 逆写像 $h^{-1}\colon Y\to X$ は連続なので、1 を $h^{-1}$ に使うと、$B\in\mathcal{B}(X)$ に対し $h(B)=(h^{-1})^{-1}(B)\in\mathcal{B}(Y)$ である。同じことを $h^{-1}$ について言えば、$C\mapsto h^{-1}(C)$ が逆向きの写像になる。
  3. $(g\circ f)^{-1}(C)=f^{-1}(g^{-1}(C))$ による。
  4. (a) ⇒ (b)：$(-\infty,a]$ は閉集合なので Borel 集合である。(b) ⇒ (a)：(b) は、$\mathcal{B}(\mathbb{R})$ の生成系 $\{(-\infty,a]\mid a\in\mathbb{R}\}$（thm-borel-set-generators の 4）の元の逆像が $\mathcal{B}(X)$ に属することを言っているので、定理「逆像と生成系」の 3 により (a) が従う。(b) ⇔ (c)：$\{f>a\}=X\setminus\{f\le a\}$ であり、$\mathcal{B}(X)$ は補集合で閉じている。$\square$

2 から、たとえば $x\mapsto -x$、$x\mapsto x+t$、$x\mapsto cx$（$c\neq0$）は $\mathbb{R}$ の Borel 集合を Borel 集合に写す。Borel 集合の族は位相だけから定まるので、同相写像で保たれるのは当然ともいえる。1 が述べているのは逆像についてであり、連続写像による像については何も言っていない。
Borel 関数 $f\colon X\to\mathbb{R}$ と連続関数 $g\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ の合成 $g\circ f$ は、1 と 3 により Borel 関数である。たとえば $\lvert f\rvert$、$f^2$、$-f$ は Borel 関数である（Axler20 2.44・2.45）。Borel 関数 $f,g$ の和・差・積も Borel 関数である（Axler20 2.46。$\{f+g>a\}=\bigcup_{r\in\mathbb{Q}}\bigl(\{f>r\}\cap\{g>a-r\}\bigr)$ と 4 による）。

部分空間と拡大実数

部分空間のBorel集合

$X$ を位相空間、$Y\subset X$ に相対位相を入れる。このとき
$$ \mathcal{B}(Y)=\{B\cap Y\mid B\in\mathcal{B}(X)\} $$
である。さらに $Y\in\mathcal{B}(X)$ ならば、$\mathcal{B}(Y)=\{B\in\mathcal{B}(X)\mid B\subset Y\}$ であり、$Y$ の Borel 集合はそのまま $X$ の Borel 集合である。

相対位相の開集合は $U\cap Y$（$U$ は $X$ の開集合）の形の集合である（相対位相 の記事の定義「相対位相」）。σ-代数 の記事の系「部分集合への制限」の最後の等式を、$X$ の開集合全体 $\mathcal{O}_X$ に使うと
$$ \{B\cap Y\mid B\in\mathcal{B}(X)\}=\sigma(\mathcal{O}_X)|_Y=\sigma(\{U\cap Y\mid U\in\mathcal{O}_X\})=\mathcal{B}(Y) $$
となる。$Y\in\mathcal{B}(X)$ のときの主張は、同じ系の 2 つ目の主張である。$\square$

Tao11 Exercise 1.4.12 は σ-代数の制限が σ-代数であることを演習にしている。この命題により、「$\mathbb{R}$ の部分集合 $Y$ 上の Borel 集合」を、$Y$ の相対位相から定めても、$\mathbb{R}$ の Borel 集合との共通部分として定めても同じになる。たとえば区間 $[0,1]$ の Borel 集合は、$[0,1]$ に含まれる $\mathbb{R}$ の Borel 集合のことである。

拡大実数のBorel集合

拡大実数 $[-\infty,\infty]=\mathbb{R}\cup\{-\infty,\infty\}$ に、$(a,b)$、$[-\infty,a)$、$(a,\infty]$（$a,b\in\mathbb{R}$）を基とする順序位相を入れる。$\mathbb{R}$ はその開集合で、$\mathbb{R}$ の相対位相は通常の位相であり、1 点集合 $\{-\infty\}$、$\{\infty\}$ は閉集合である。このとき $C\subset[-\infty,\infty]$ について
$$ C\in\mathcal{B}([-\infty,\infty])\iff C\cap\mathbb{R}\in\mathcal{B}(\mathbb{R}) $$
が成り立つ。これは Axler20 2.50 が $[-\infty,\infty]$ の Borel 集合の定義として採っている条件であり、位相から定めた Borel 集合と一致する。

確かめる

(⇒) prop-borel-set-subspace の前半を $Y=\mathbb{R}$ に使う。(⇐) $\mathbb{R}$ は開集合なので $\mathcal{B}([-\infty,\infty])$ に属し、prop-borel-set-subspace の後半により $C\cap\mathbb{R}\in\mathcal{B}([-\infty,\infty])$ である。$C\cap\{-\infty,\infty\}$ は閉集合の有限個の和なので Borel 集合であり、$C$ はこの 2 つの和集合である。

$[-\infty,\infty]$ に値をとる関数 $f$ についても、「すべての $a\in\mathbb{R}$ について $\{f>a\}$ が Borel 集合」が Borel 可測性と同値になる。$(a,\infty]$（$a\in\mathbb{R}$）の全体が $\mathcal{B}([-\infty,\infty])$ を生成するからである（$\{\infty\}=\bigcap_n(n,\infty]$、$(a,b]=(a,\infty]\setminus(b,\infty]$、$\{-\infty\}=[-\infty,\infty]\setminus\bigcup_n(-n,\infty]$ と上の例、thm-borel-set-generators から確かめられる）。Lebesgue積分 の記事の定義「可測関数」が $[-\infty,\infty]$ 値の関数を $\{f>a\}$ で扱っているのはこの形である。

直積と関数列の極限

Borel集合の直積

$B_1\in\mathcal{B}(\mathbb{R}^m)$、$B_2\in\mathcal{B}(\mathbb{R}^n)$ ならば $B_1\times B_2\in\mathcal{B}(\mathbb{R}^{m+n})$ である。

射影 $\pi_1\colon\mathbb{R}^{m+n}\to\mathbb{R}^m$、$\pi_2\colon\mathbb{R}^{m+n}\to\mathbb{R}^n$ は連続なので、thm-borel-set-continuous の 1 により $B_1\times\mathbb{R}^n=\pi_1^{-1}(B_1)$ と $\mathbb{R}^m\times B_2=\pi_2^{-1}(B_2)$ は $\mathbb{R}^{m+n}$ の Borel 集合である。$B_1\times B_2$ はこの 2 つの共通部分である。$\square$

Tao11 Exercise 1.4.17 は同じ主張を、箱の場合から Remark 1.4.15 の論法で示す演習にしている。たとえば $\mathbb{Q}\times[0,1]$ や $C\times C$（$C$ は Cantor 集合）は $\mathcal{B}(\mathbb{R}^2)$ に属する。
連続関数の列の極限は連続とは限らないが、Borel 集合・Borel 関数の範囲には留まる。

連続関数の列が収束する点の集合

$X$ を位相空間、$f_0,f_1,\ldots\colon X\to\mathbb{R}$ を連続関数の列とする。

  1. 数列 $(f_k(x))_{k\in\mathbb{N}}$ が収束する点 $x$ の全体 $C$ は、$X$ の Borel 集合である。
  2. $C$ 上で $f(x):=\lim_kf_k(x)$ と定めると、$f\colon C\to\mathbb{R}$ は Borel 可測である（$C$ には相対位相を入れる）。
  1. 実数列が収束することと Cauchy列 であることは同値である。したがって
    $$ C=\bigcap_{j\ge1}\ \bigcup_{N\in\mathbb{N}}\ \bigcap_{k,l\ge N}\Bigl\{x\in X\ \Big|\ \lvert f_k(x)-f_l(x)\rvert\le\frac1j\Bigr\} $$
    である。右辺の最も内側の集合は、連続関数 $x\mapsto\lvert f_k(x)-f_l(x)\rvert$ による閉集合 $[0,1/j]$ の逆像なので閉集合である。右辺は閉集合から可算個の共通部分・和集合をとって作られているので Borel 集合である。
  2. $\{x\in C\mid f(x)>a\}$ を開集合 $\{f_k>a+1/j\}$ から可算個の和・共通部分で書き、$C$ との共通部分として表す。
    2 の詳しい証明を開く

    $a\in\mathbb{R}$ とする。$x\in C$ について、$f(x)>a$ であることと、「ある $j\ge1$ と $N$ があって、すべての $k\ge N$ で $f_k(x)>a+1/j$」であることは同値である。実際、$f(x)>a$ なら $f(x)>a+2/j$ となる $j$ をとれば、十分大きい $k$ で $f_k(x)>a+1/j$ である。逆に後者が成り立てば、$k\to\infty$ として $f(x)\ge a+1/j>a$ である。したがって $$\{x\in C\mid f(x)>a\}=C\cap\bigcup_{j\ge1}\bigcup_{N\in\mathbb{N}}\bigcap_{k\ge N}\Bigl\{x\in X\ \Big|\ f_k(x)>a+\frac1j\Bigr\}$$ であり、右辺の $\{\cdots\}$ は開集合なので、右辺は $X$ の Borel 集合と $C$ の共通部分である。prop-borel-set-subspace によりこれは $\mathcal{B}(C)$ の元であり、thm-borel-set-continuous の 4 (c) により $f$ は Borel 可測である。$\square$

1 の集合は、閉集合の可算個の和（$F_\sigma$ 集合）の可算個の共通部分という形をしている。2 の論法は Axler20 2.48・2.49 と同じである。この命題から、たとえば各点収束する連続関数の列の極限（Baire 第 1 級関数）はすべて Borel 関数である。

反例

Borel 集合の族は大きいが、「すべて」ではなく、また位相に依存する。

期待しがちな含意反例成り立たなくなること
Borel 集合かどうかは集合 $X$ だけで決まる$\mathbb{R}$ の密着位相・通常の位相・離散位相同じ集合の同じ部分集合が、位相によって Borel 集合になったりならなかったりする
Borel 集合は開集合の可算個の共通部分か、閉集合の可算個の和集合である$A=(\mathbb{Q}\cap(-\infty,0))\cup\bigl((0,\infty)\setminus\mathbb{Q}\bigr)$$A$ は Borel 集合だが、$G_\delta$ 集合でも $F_\sigma$ 集合でもない
Lebesgue 可測集合は Borel 集合であるCantor 集合の部分集合（濃度の比較）$\mathcal{B}(\mathbb{R})\subsetneq\mathcal{L}$（$\mathcal{L}$ は Lebesgue 可測集合全体）
$\mathbb{R}$ の部分集合はすべて Borel 集合であるVitali 集合（選択公理を使う）$\mathcal{B}(\mathbb{R})\subsetneq\mathcal{P}(\mathbb{R})$

1 行目は ex-borel-set-topologies で確かめた（通常の位相で Borel 集合でない集合があることは 3・4 行目による）。2・3・4 行目を次に確かめる。

$G_\delta$ でも $F_\sigma$ でもない Borel 集合

$A:=(\mathbb{Q}\cap(-\infty,0))\cup\bigl((0,\infty)\setminus\mathbb{Q}\bigr)$（負の有理数と正の無理数の全体）は、$F_\sigma$ 集合と $G_\delta$ 集合の和集合なので Borel 集合である。しかし $A$ は $G_\delta$ 集合でも $F_\sigma$ 集合でもない。したがって、開集合から「可算個の共通部分」または「可算個の和集合」を 1 回ずつとるだけでは、Borel 集合は尽きない。

確かめる

（$G_\delta$ でない）$A$ が $G_\delta$ 集合なら、開集合 $(-\infty,0)$ との共通部分 $\mathbb{Q}\cap(-\infty,0)$ も $G_\delta$ 集合であり、同相写像 $x\mapsto-x$ による像 $\mathbb{Q}\cap(0,\infty)$ も $G_\delta$ 集合である。$\{0\}$ は閉集合で、距離空間の閉集合は $G_\delta$ 集合なので、$\mathbb{Q}=(\mathbb{Q}\cap(-\infty,0))\cup\{0\}\cup(\mathbb{Q}\cap(0,\infty))$ は $G_\delta$ 集合の有限個の和として $G_\delta$ 集合になる（G_δ-集合 の記事の命題「可算共通部分・有限和・逆像に関する閉包性」「距離空間の閉集合は $G_\delta$-集合」）。これは F_σ-集合 の記事の命題「有理数全体は $G_\delta$-集合でない」に反する。

（$F_\sigma$ でない）$A$ が $F_\sigma$ 集合なら、開集合 $(0,\infty)$（距離空間の開集合なので $F_\sigma$ 集合）との共通部分 $(0,\infty)\setminus\mathbb{Q}$ も $F_\sigma$ 集合であり（F_σ-集合 の記事の命題「$G_\delta$-集合との双対性」の 2・3）、$x\mapsto-x$ による像 $(-\infty,0)\setminus\mathbb{Q}$ も $F_\sigma$ 集合である。$0$ は有理数なので、無理数全体はこの 2 つの和集合であり $F_\sigma$ 集合になる。これは同じ記事の注意「反例：無理数全体」に反する。

同相写像が $G_\delta$ 集合・$F_\sigma$ 集合を保つことは、それぞれの定義（開集合の可算個の共通部分、閉集合の可算個の和集合）と、同相写像が開集合・閉集合を保ち共通部分・和集合と交換することからわかる。

Borel集合でない集合

$\mathcal{B}(\mathbb{R})$ に属さない $\mathbb{R}$ の部分集合は 2 種類の方法で得られる。

  • Lebesgue 可測でない集合。Borel 集合はすべて Lebesgue 可測である（Lebesgue測度 の記事の命題「区間とBorel集合の可測性・不変性」）ので、Lebesgue 可測でない集合は Borel 集合でない。選択公理 の記事の例「Vitali集合の構成」の Vitali 集合がその例である（Lebesgue測度 の記事の注意「外測度は加法的でない」）。
  • Lebesgue 可測だが Borel 集合でない集合。Lebesgue測度 の記事の命題「Borel集合でないLebesgue可測集合」は、Cantor 集合の部分集合全体（どれも零集合で Lebesgue 可測）の濃度 $2^{2^{\aleph_0}}$ が Borel 集合全体の濃度 $2^{\aleph_0}$ を超えることから、その存在を示している。この議論は rem-borel-set-cardinality の濃度の評価を使う。
    どちらの方法も選択公理を使い、具体的な集合を書き下すものではない。Tao11 Remark 1.4.18 は、Borel でない集合を具体的に示すことは不可能ではないが著しく難しく、実際に構成できる集合の大部分は Borel 集合であると述べている。

補足

Borel 集合の個数

Borel集合全体の濃度

$\mathcal{B}(\mathbb{R})$ の濃度は連続体濃度 $2^{\aleph_0}$ に等しい。1 点集合 $\{x\}$ は閉集合なので、$x\mapsto\{x\}$ は $\mathbb{R}$ から $\mathcal{B}(\mathbb{R})$ への単射であり、$\lvert\mathcal{B}(\mathbb{R})\rvert\ge\lvert\mathbb{R}\rvert=2^{\aleph_0}$ である（基数 の記事の例「連続体の濃度」）。逆向きの $\lvert\mathcal{B}(\mathbb{R})\rvert\le2^{\aleph_0}$ は、生成系から出発して補集合と可算個の和集合をとる操作を可算順序数の回数だけくり返すと生成される σ-代数が得られることを使い、各段の集合を数えて示す。濃度 $\kappa$ の無限個の集合が生成する σ-代数の濃度は $\kappa^{\aleph_0}$ 以下であり、$\mathcal{B}(\mathbb{R})$ の場合は $2^{\aleph_0}$ 以下になる（Tao11 Exercise 1.4.15・1.4.16。選択公理を仮定している。証明は割愛する）。一方 $\lvert\mathcal{P}(\mathbb{R})\rvert=2^{2^{\aleph_0}}$ は 冪集合 の記事の定理「Cantorの定理」により $2^{\aleph_0}$ より真に大きい。したがって $\mathcal{B}(\mathbb{R})\subsetneq\mathcal{P}(\mathbb{R})$ であり、Borel 集合でない実数の集合がある。これに対して離散位相の $\mathbb{R}$ ではすべての部分集合が Borel 集合である（ex-borel-set-topologies）。

Borel 集合は「個数」の点でも性質がよい。$\mathbb{R}$ の非可算な Borel 集合は Cantor 集合と同じ構造（空でない完全集合）を含み、したがって $\mathbb{R}$ と対等である。つまり、連続体仮説の反例になる集合は Borel 集合の中にはない（連続体仮説 の記事の注意「定義可能な集合と連続体仮説」）。

Borel 階層

Borel 集合を開集合から段階的に作ると、開集合・閉集合、$F_\sigma$ 集合・$G_\delta$ 集合、$F_\sigma$ 集合の可算個の共通部分（$F_{\sigma\delta}$ 集合）・$G_\delta$ 集合の可算個の和集合（$G_{\delta\sigma}$ 集合）、…と続く階層ができる。これを Borel 階層という（Tao11 Remark 1.4.17、F_σ-集合 の記事の補足）。ex-borel-set-neither は第 2 段で尽きないことの例であり、prop-borel-set-convergence の集合 $C$ は $F_{\sigma\delta}$ 集合である。$\mathbb{R}$ ではこの階層は有限の段階では終わらず（Axler20 2.30 の後の説明）、可算順序数の段階まで続けてはじめて $\mathcal{B}(\mathbb{R})$ 全体が得られる（Tao11 Exercise 1.4.15）。

Borel 集合の上の測度

$\mathcal{B}(X)$ の上の測度を Borel 測度という。Borel 集合の族は位相だけから決まるので、位相空間の上の自然な測度は Borel 集合の上で定義されることが多い。

  • Lebesgue測度 は Borel 集合の上ですでに決まっており、Lebesgue 可測集合は Borel 集合と零集合の違いしかない（Lebesgue測度 の記事の命題「Lebesgue可測集合の特徴づけ」）。Lebesgue 測度を $\mathcal{B}(\mathbb{R})$ の上の測度として定義する流儀もある（同記事の注意「定義の流儀」）。
  • 確率変数 $X$ の分布は $\mathcal{B}(\mathbb{R})$ の上の確率である（ex-borel-set-random-variable）。独立性(確率論) の記事は、確率変数の独立性を Borel 集合 $B_i$ についての事象 $\{X_i\in B_i\}$ で定めている。
  • $\mathbb{R}^n$ の Hausdorff 測度（Hausdorff測度と面積・余面積公式）や、局所コンパクト群の Haar 測度（位相群）も、Borel 集合の上の測度として扱われる。

関連項目

参考文献

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