固有写像の写像度

前提知識: 基本類, 固有写像, 局所写像度, 向き付け可能多様体, 相対ホモロジーと長完全列

向き付けられた閉多様体の間の写像の写像度は、基本類の行き先 $f_*[M]=d\,[N]$ で定まる（基本類 の定義「閉多様体の間の写像度」）。連結でコンパクトでない多様体は基本類をもたず、最高次のホモロジーそのものが消えてしまう。それでも写像 $f\colon M\to N$ が固有（コンパクト集合の逆像がコンパクト）なら、各点 $y$ の逆像 $f^{-1}(y)$ はコンパクトであり、向き付けがコンパクト集合 $K$ ごとに定める類 $\mu_K\in H_n(M,M\setminus K)$ を基本類の代わりに使える。$\mu_{f^{-1}(y)}$ の行き先が $H_n(N,N\setminus\{y\})\cong\mathbb{Z}$ の向きの定める生成元の何倍かを表す整数は $y$ によらず、これが固有写像の写像度である。ここで $M$ は向き付けられた境界のない $n$ 次元多様体、$N$ は連結で向き付けられた境界のない $n$ 次元多様体である。
写像度は、$M$、$N$ が滑らかなとき、正則値 $y$ では逆像の点を微分の行列式の符号をつけて数えた和 $\sum_{x\in f^{-1}(y)}\operatorname{sgn}\det Df_x$ に等しく、写像 $M\times[0,1]\to N$ として固有なホモトピーで変わらない。写像度が $0$ でなければ写像は全射なので、方程式 $f(x)=y$ が解をもつことを、無限遠での写像のふるまいから導ける。
この記事では、写像度の定義と局所一定性、固有ホモトピー不変性、正則値での数え上げを証明する。応用として、$\mathbb{R}^n$ の開集合からの固有な $C^1$ 級写像で、コンパクト集合の外で Jacobian が正のものの全射性と、最高次の同次部分が $0$ 以外に共通零点をもたず $0$ 以外で Jacobian が $0$ にならない $n$ 変数の多項式写像（実係数なら $n\ge2$）の全射性を示す。

設定

以下 $n\ge1$ とし、多様体は 基本類 と同じく Hausdorff で第 2 可算な境界のない位相多様体とする。ホモロジーは整数係数の特異ホモロジーで、部分集合 $A\subset X$ について $H_n(X\,|\,A):=H_n(X,X\setminus A)$、$H_n(X\,|\,x):=H_n(X\,|\,\{x\})$ と書く。$A\supset B$ のとき対の包含が誘導する $H_n(X\,|\,A)\to H_n(X\,|\,B)$ を 制限 とよぶ。
$M$ の向き $\mu$ とは、各点 $x$ に $H_n(M\,|\,x)\cong\mathbb{Z}$ の生成元 $\mu_x$ を局所整合的に対応させる族である（向き付け可能多様体 の定義「位相多様体の向き」）。基本類 の補題「局所ホモロジーの基本補題」の 1 により、コンパクト集合 $K\subset M$ ごとに、すべての $x\in K$ で制限が $\mu_x$ になる類 $\mu_K\in H_n(M\,|\,K)$ がただ一つある。この一意性から、コンパクト集合 $K'\subset K$ について $\mu_K$ の制限は $\mu_{K'}$ であり、$\mu_\emptyset=0$ である（$H_n(M\,|\,\emptyset)=H_n(M,M)=0$）。$M$ がコンパクトなら $\mu_M$ は向き $\mu$ に関する基本類 $[M]$ である。
写像 $f\colon M\to N$、$K\subset M$、$D\subset N$ について $f^{-1}(D)\subset K$ なら、$f(M\setminus K)\subset N\setminus D$ なので $f$ は対の写像 $(M,M\setminus K)\to(N,N\setminus D)$ であり、$f_*\colon H_n(M\,|\,K)\to H_n(N\,|\,D)$ を誘導する。これは制限と可換である（どちらの合成も同じ対の写像が誘導する）。

定義と局所一定性

$N$ が連結でないときは、$N$ の連結成分ごとに $d_f$ の値が定まる（反例の節の表の 2 行目のように、成分ごとに値は異なりうる）。定義から次が分かる。$f^{-1}(y)=\emptyset$ なら $\mu_\emptyset=0$ なので $d_f(y)=0$ である。$N$ の向きを $-\nu$ に替えるか、$M$ の向きを $-\mu$ に替えると、写像度は $-1$ 倍になる。$M$ は連結でなくてもよい。

固有ホモトピー不変性

写像 $H\colon M\times[0,1]\to N$ が固有写像であるとき、$H$ を $H_0:=H(\,\cdot\,,0)$ から $H_1:=H(\,\cdot\,,1)$ への 固有ホモトピー（proper homotopy）という。$M\times\{t\}$ は閉集合なので、各 $H_t:=H(\,\cdot\,,t)$ は固有である（固有写像 の命題「合成・制限・分解」の 2）。

証明では、すべての $t$ の逆像 $H_t^{-1}(y)$ を一つのコンパクト集合 $A$ に収めるために $H$ 全体の固有性を使った。各 $H_t$ が固有であるだけでは写像度は保たれない（反例の節の表の 4 行目）。
連続な固有写像の写像度は、滑らかな写像による近似を経ずに直接定まる。$M$、$N$ が滑らかで $f$ が $C^\infty$ 級なら、正則値は稠密にあり（Sardの定理 の系「多様体の間の写像に対するSardの定理」）、次節の数え上げで写像度を計算できる。

正則値での数え上げ

$W$ を小さい開近傍 $W'\subset W$ に替えても、$f|_{W'}$ は包含 $(W',W'\setminus\{x\})\hookrightarrow(W,W\setminus\{x\})$ を経由するので値は変わらず、$\deg_xf$ は $W$ によらない。$M=N=S^n$ に同じ向きを入れたときは、局所写像度 の定義「局所写像度」と同じものである。

以下、$M$、$N$ は滑らかな（$C^\infty$ 級の）向き付けられた多様体とし、滑らかな向きと位相的な向きを 向き付け可能多様体 の命題「滑らかな向きと位相的な向きの一致」で同一視する。このとき正の向きの局所座標 $(U;\varphi)$ は、各点 $p\in U$ で、$H_n(M\,|\,p)\cong H_n(U\,|\,p)\xrightarrow{\varphi_*}H_n(\mathbb{R}^n\,|\,\varphi(p))$ により $\mu_p$ を $\mathbb{R}^n$ の標準の局所的な向きに写す（同命題の前の定義と 2）。
連続写像 $f\colon M\to N$ が点 $x$ で 微分可能 であるとは、局所座標による局所表示が $x$ の座標で微分可能であることをいう。座標変換は $C^\infty$ 級なので、これは局所座標のとり方によらない。$y\in N$ が $f$ の 正則値 であるとは、$f^{-1}(y)$ の各点 $x$ で $f$ が微分可能で、局所表示の Jacobi 行列 $Df_x$ が可逆であることをいう。正の向きの局所座標で計算した $\operatorname{sgn}\det Df_x$ は、正の向きの局所座標の座標変換の Jacobi 行列式が正なので、連鎖律により局所座標のとり方によらない。逆像が空な点は正則値である。$f$ が $C^\infty$ 級なら、これは Sardの定理 の定義「臨界点・臨界値・正則値」の正則値と同じである。

$f$ は連続であればよく、微分可能性は $f^{-1}(y)$ の点でだけ使う。Hir76 Ch. 5 §1 は $C^\infty$ 級の固有写像の写像度を正則値での右辺で定め、それが正則値によらないことと、固有ホモトピーで変わらないことを演習としている（Exercise 10、p. 131）。thm-dpm-count により、$N$ が連結なら、その写像度はこの記事の写像度と一致する。

応用：方程式の可解性

$\mathbb{R}^n$ とその開集合には標準の向きを入れる（恒等写像が正の向きの局所座標になる）。

正則値は直接見つかるので、Sardの定理 は使っていない。この定理は Hir76 Ch. 5 §1 Exercise 11（p. 131）の主張である。

$\mathbb{K}=\mathbb{C}$、$n=1$ の場合は、$0$ でない複素数 $a$ と $d\ge1$ で $h(z)=az^d$ となるので条件 1・2 は自動的に成り立ち、代数学の基本定理 になる。実数の場合の $n\ge2$ と条件 2 は外せない（反例の節の表の 6・7 行目）。この定理は Hir76 Ch. 5 §1 Exercise 12（p. 131）の主張である。

例

仮定を外したときの反例

関連項目

• 前提: 基本類, 固有写像, 局所写像度, 向き付け可能多様体, 相対ホモロジーと長完全列
• 比較: 写像度, 局所ホモロジー
• 応用: 代数学の基本定理, Sardの定理
• 発展: コンパクト台コホモロジー, Poincaré双対