トートロジー直線束

1．$x$ を $\lambda x$（$\lambda\in K^\times$）に替えても $x/x_i$ は変わらないので、$\sigma_i$ は矛盾なく定まる。$x/x_i\in Kx=[x]$ なので $\sigma_i([x])\in\gamma_n$ であり、第 $i$ 成分が $1$ なので $0$ でない。$q^{-1}(U_i)\to K^{n+1}$、$x\mapsto x/x_i$ は連続である。商写像の、飽和した開集合 $q^{-1}(U_i)$ への制限は商写像なので、$[x]\mapsto x/x_i$ は $U_i$ の上で連続であり、$\sigma_i$ は連続である。
2．$\varphi_i$ は連続である。$\psi_i(\ell,t):=\sigma_i(\ell)\cdot t=(\ell,\,t\,x/x_i)$ とおくと $\psi_i\colon U_i\times K\to\pi^{-1}(U_i)$ は連続で、$t\,x/x_i$ の第 $i$ 成分は $t$ なので $\varphi_i\circ\psi_i=\mathrm{id}$ である。逆に $(\ell,v)\in\pi^{-1}(U_i)$、$\ell=[x]$ なら $v\in Kx$ なので $v=t\,x/x_i$ と書け、$t=v_i$ だから $\psi_i\circ\varphi_i=\mathrm{id}$ である。$\varphi_i$ は各ファイバー $\ell$ の上で $v\mapsto v_i$ という線形同型である。よって $(U_i,\varphi_i)$ は局所自明化で、$\gamma_n$ は直線束である（ベクトル束 の定義「ベクトル束」）。
3．$x/x_j=(x_i/x_j)\cdot(x/x_i)$ から $\sigma_j=(x_i/x_j)\sigma_i$ である。$\varphi_j^{-1}(\ell,t)=(\ell,\,t\,x/x_j)$ の第 $i$ 成分は $t\,x_i/x_j$ である。$\square$

$(\ell,v)\in S(\gamma_n)$ なら $v\ne0$、$v\in\ell$ なので $\ell=[v]$ である。よって 2 つの写像は互いに逆である。$(\ell,v)\mapsto v$ は第 2 成分への射影の制限、$v\mapsto([v],v)$ は $(q,\mathrm{id})$ の制限なので、どちらも連続である。$\pi(\ell,v)=\ell=q(v)$ である。$\square$

$s$ を連続な切断とし、$S:=S(K^{n+1})$ とする。$x\in S$ について $s([x])=([x],w(x))$、$w(x)\in Kx$ と書き、$t(x):=\langle x,w(x)\rangle$ とおく（Hermite 内積は第 2 変数について線形とする）。$w(x)=c\,x$ とすると $t(x)=c\,|x|^2=c$ なので $w(x)=t(x)\,x$ である。$t=\langle\,\cdot\,,\mathrm{pr}_2\circ s\circ q\,\rangle$ は $S$ の上で連続である。$|\lambda|=1$ の $\lambda\in K$ について $[\lambda x]=[x]$ なので $t(\lambda x)\lambda x=t(x)x$、すなわち
$$ t(\lambda x)=\bar\lambda\,t(x)\qquad(x\in S,\ |\lambda|=1) $$
である。$s$ が $0$ になる点があることは、$t$ が $0$ になる点があることと同値である。
$K=\mathbb{R}$ のとき：$\lambda=-1$ として $t(-x)=-t(x)$ である。$n\ge1$ なので $S^n$ は弧状連結であり、$x$ と $-x$ を結ぶ道の上で $t$ は符号を変えるので、中間値の定理により $t$ はどこかで $0$ になる（MS74 Theorem 2.1, pp. 16–17）。
$K=\mathbb{C}$ のとき：$t$ が $0$ にならないと仮定して矛盾を導く。$n\ge1$ なので、最初の 2 成分以外が $0$ の点の全体 $S^3:=\{(z_0,z_1,0,\dots,0)\in S\}$ が $S$ に含まれる。$f:=t/|t|\colon S^3\to S^1$ は連続で、$f(\lambda x)=\bar\lambda f(x)$ をみたす。閉曲線 $c(\theta):=(e^{i\theta},0,0,\dots,0)$（$0\le\theta\le2\pi$）について $f(c(\theta))=e^{-i\theta}f(c(0))$ なので、$f\circ c$ は $S^1$ を $-1$ 回まわる閉曲線であり、$S^1$ の 基本群 $\mathbb{Z}$ の中で $-1$ を表す。一方 $S^3$ は単連結なので $c$ は定値の閉曲線にホモトピックであり、$f\circ c$ も定値の閉曲線にホモトピックで、基本群の中で $0$ を表す。これは矛盾である。$\square$

$U$ の上で $g=q\circ s$ なので $g$ は連続である。引き戻しは $g^*\gamma_N=\{(x,(\ell,v))\mid\ell=g(x),\ v\in\ell\}$ であり（ベクトル束 の命題「Whitney 和と引き戻し」の 2）、$\ell=g(x)=L_x$ なので、与えた写像は $L$ への全単射でファイバーごとに線形である。連続であり、逆写像 $(x,v)\mapsto(x,(g(x),v))$ も連続である。$L$ は $s$ を局所的な枠として直線束である（ベクトル束 の補題「直積の部分束と局所的な枠」）。$\square$

$p\colon L\to X$ を射影とする。局所自明化 $\phi_i\colon p^{-1}(U_i)\to U_i\times K$（$i=1,\dots,m$）で $U_1,\dots,U_m$ が $X$ を覆うものをとる。$X$ はコンパクト Hausdorff なので正規であり、閉集合 $V_i\subset U_i$ で $V_1,\dots,V_m$ が $X$ を覆うものがとれる。さらに開集合 $W_i$ で $V_i\subset W_i\subset\overline{W_i}\subset U_i$ となるものをとり、Urysohn の補題で連続関数 $\rho_i\colon X\to[0,1]$ を、$V_i$ で $1$、$X\setminus W_i$ で $0$ となるようにとる。
$e\in L$、$x=p(e)$ について、$\Phi_i(e):=\rho_i(x)\,\mathrm{pr}_2\phi_i(e)$（$x\in U_i$ のとき）、$\Phi_i(e):=0$（$x\notin U_i$ のとき）とおく。$\Phi_i$ は開集合 $p^{-1}(U_i)$ と $p^{-1}(X\setminus\overline{W_i})$ のそれぞれの上で連続で、この 2 つは $L$ を覆うので連続である。$\Phi(e):=(x,\Phi_1(e),\dots,\Phi_m(e))\in X\times K^m$ とおく。$x\in V_i$ なら $\rho_i(x)=1$ で $\phi_i$ はファイバーの上で線形同型なので、$\Phi$ は各ファイバー $L_x$ の上で単射な線形写像である。
$L':=\Phi(L)\subset X\times K^m$ とおくと、$L'_x$ は $K^m$ の直線である。$x_0\in X$ について $\rho_i(x_0)>0$ となる $i$ をとり、開集合 $O:=\{u\in U_i\mid\rho_i(u)>0\}$ の上で $s(u):=\mathrm{pr}_2\Phi(\phi_i^{-1}(u,1))$ とおくと、$s$ は連続で、第 $i$ 成分が $\rho_i(u)\ne0$ なので $L'_u$ の $0$ でない元である。よって prop-taut-gauss が $L'$ に使え、$L'\cong g^*\gamma_{m-1}$ である。最後に $\Phi\colon L\to L'$ は連続な全単射で、$O$ の上の逆写像は $(u,y)\mapsto\phi_i^{-1}(u,\,y_i/\rho_i(u))$（$y_i$ は $y$ の第 $i$ 成分）と書けて連続なので、$\Phi$ は直線束の同型である。$\square$