円板代数とWiener代数

正則関数の和と積は正則なので、$A(\overline{\mathbb{D}})$ は定数を含む部分環である。閉であることを示す。$f_n\in A(\overline{\mathbb{D}})$ が $f$ に一様収束するとする。$f$ は連続である。$z_0\in\mathbb{D}$ と、閉円板 $\{|\zeta-z_0|\leq r\}\subset\mathbb{D}$ をとる。Cauchyの積分公式 により $|z-z_0|< r$ で
$$ f_n(z)=\frac1{2\pi i}\oint_{|\zeta-z_0|=r}\frac{f_n(\zeta)}{\zeta-z}\,d\zeta $$
であり、円周上の一様収束で極限をとると $f$ も同じ積分表示をもつ。右辺は $z$ について積分記号下で微分でき、$f$ は $z_0$ の近くで正則である。よって $f\in A(\overline{\mathbb{D}})$ であり、$C(\overline{\mathbb{D}})$ の閉部分環として完備である。
$f\in A(\overline{\mathbb{D}})$ に 最大値原理(複素解析) の系「有界な開集合での最大値原理」を $G=\mathbb{D}$ で当てると $\max_{\overline{\mathbb{D}}}|f|=\max_{\mathbb{T}}|f|$ である。したがって制限は等長で、とくに単射である。$\square$

1：$|c_nz^n|=|c_n|$ で $\sum|c_n|<\infty$ なので、Weierstrass の M 判定法により級数は $\mathbb{T}$ 上で一様収束し、和は連続である。$e^{-im\theta}$ を掛けて項別に積分すると、$\frac1{2\pi}\int_0^{2\pi}e^{i(n-m)\theta}d\theta$ は $n=m$ のときだけ $1$ で他は $0$ なので $\widehat f(m)=c_m$ である。
2：$a_k:=\widehat f(k)$、$b_l:=\widehat g(l)$ とおく。$\sum_{k,l}|a_kb_l|=\|f\|_W\|g\|_W<\infty$ なので、二重級数 $\sum_{k,l}a_kb_lz^{k+l}$ は絶対収束し、和の順序を自由に入れ替えられる。$k+l=n$ ごとにまとめると
$$ f(z)g(z)=\sum_{n}\Bigl(\sum_ka_kb_{n-k}\Bigr)z^n,\qquad\sum_n\Bigl|\sum_ka_kb_{n-k}\Bigr|\leq\sum_{k,l}|a_k||b_l|=\|f\|_W\|g\|_W $$
である。1 により $fg$ の係数は $\sum_ka_kb_{n-k}$ である。
3：1 により $f\mapsto(\widehat f(n))_n$ は $W$ から $\ell^1(\mathbb{Z})$ への線形な全単射で（任意の $(c_n)\in\ell^1(\mathbb{Z})$ は $\sum c_nz^n$ の係数になる）、定義からノルムを保つ。2 によりこれは積を畳み込みに写す。$\ell^1(\mathbb{Z})$ は完備なので $W$ も完備であり、定数関数 $1$ の係数は $n=0$ だけが $1$ で、$\|1\|_W=1$ である。最後に $|f(z)|\leq\sum|c_n|=\|f\|_W$ である。$\square$

$b$ が可逆なら $1=\varphi(b)\varphi(b^{-1})$ なので $\varphi(b)\neq0$ である。
$b$ が可逆でないとする。$b\mathcal{B}$ は $1$ を含まないイデアルである。$1$ を含まないイデアルの全体は包含で帰納的に順序づけられる（鎖の和集合も $1$ を含まない）ので、Zornの補題 により $b\mathcal{B}$ を含む極大イデアル $M$ がある。可逆元の全体 $\mathcal{B}^\times$ は開集合（Banach環とC*-環のスペクトル理論 の系「可逆元全体は開で、逆元をとる写像は連続である」）で、$M$ と交わらないので、閉包 $\overline M$ も $1$ を含まないイデアルである。極大性から $\overline M=M$、すなわち $M$ は閉である。
商空間 $\mathcal{B}/M$ に商ノルム $\|b+M\|:=\inf_{m\in M}\|b+m\|$ を入れると、閉部分空間による Banach 空間の商なので完備で、$\|xy+M\|\leq\|x+M\|\|y+M\|$ を満たす（$\|(x+m)(y+m')\|\leq\|x+m\|\|y+m'\|$ と $(x+m)(y+m')\in xy+M$ による）。$1+M\neq0$ で $\|1+M\|\leq\|1\|=1$、$\|1+M\|=\|(1+M)^2\|\leq\|1+M\|^2$ から $\|1+M\|=1$ である。$M$ は可換環の極大イデアルなので $\mathcal{B}/M$ は体であり、$0$ 以外のすべての元が可逆である。Gelfand–Mazur の定理（Banach環とC*-環のスペクトル理論 の系「Gelfand–Mazur の定理」）により $\mathcal{B}/M=\mathbb{C}(1+M)$ である。商写像 $\mathcal{B}\to\mathcal{B}/M\cong\mathbb{C}$ は指標 $\varphi$ で、$b\in M$ なので $\varphi(b)=0$ である。
最後の主張は、$b$ を $\lambda1-b$ に替えて $\varphi(\lambda1-b)=\lambda-\varphi(b)$ を使えばよい。$\square$

$\varphi_{z_0}$ は指標であり、$\varphi_{z_0}(z)=z_0$ なので $z_0\mapsto\varphi_{z_0}$ は単射である。全射を示す。指標 $\varphi$ について $z_0:=\varphi(z)$ とおくと $|z_0|\leq\|z\|_\infty=1$ である。$\varphi$ は準同型なので、多項式 $p$ について $\varphi(p)=p(z_0)$ である。
多項式は $A(\overline{\mathbb{D}})$ で稠密である。実際 $f\in A(\overline{\mathbb{D}})$ と $0< r<1$ について $f_r(z):=f(rz)$ とおくと、$f$ の $\overline{\mathbb{D}}$ 上の一様連続性から $\|f_r-f\|_\infty\to0$（$r\uparrow1$）である。また $f$ は $\mathbb{D}$ で正則なので、$0$ を中心とする Taylor 級数 $\sum a_nw^n$ が $\mathbb{D}$ で $f$ に収束する（正則関数 の定理「正則関数の冪級数展開」）。収束半径は $1$ 以上なので、この級数は閉円板 $|w|\leq r$ で一様に収束し、$w=rz$ とおけば $f_r(z)=\sum a_nr^nz^n$ は $|z|\leq1$ で一様に収束する。よって $f_r$ は多項式で一様に近似でき、$f$ もそうである。
$\varphi$ と $\varphi_{z_0}$ はどちらも連続で、稠密な多項式の上で一致するので、$\varphi=\varphi_{z_0}$ である。スペクトルの主張は lem-dw-character-kills から従い、$f$ の可逆性は $0\notin\sigma(f)$ と同じである。$\square$

$\psi_{z_0}$ は指標で、$\psi_{z_0}(z)=z_0$ だから単射である。指標 $\psi$ について $z_0:=\psi(z)$ とおく。$e_n(z):=z^n$ は $\|e_n\|_W=1$ を満たし、$e_ne_{-n}=1$ なので、すべての $n\in\mathbb{Z}$ で $|z_0^n|=|\psi(e_n)|\leq1$ である。$n=1$ と $n=-1$ から $|z_0|\leq1$ と $|z_0|^{-1}\leq1$、すなわち $|z_0|=1$ である。$f=\sum c_ne_n\in W$ の部分和は $\|\cdot\|_W$ で $f$ に収束し、$\psi$ は連続なので
$$ \psi(f)=\sum_nc_n\psi(e_n)=\sum_nc_nz_0^n=f(z_0) $$
である。スペクトルの主張は lem-dw-character-kills による。$\square$

仮定と thm-dw-wiener-characters により $0\notin f(\mathbb{T})=\sigma_W(f)$ なので、$f$ は $W$ で可逆である。逆元 $g\in W$ は $fg=1$ を各点で満たすので $g=1/f$ である。$\square$

そのような対合があったとする。$A(\overline{\mathbb{D}})$ は単位的可換 $C^*$-環になるので、Gelfand 変換は $C(\Delta(A(\overline{\mathbb{D}})))$ への全射である（Banach環とC*-環のスペクトル理論 の定理「可換Gelfand--Naimark定理」）。thm-dw-disc-characters の同一視のもとで Gelfand 変換は包含 $A(\overline{\mathbb{D}})\to C(\overline{\mathbb{D}})$ なので、$\overline z\in A(\overline{\mathbb{D}})$ となる。しかし $\overline z$ は $0$ で複素微分できない（$h\to0$ で $\overline h/h$ は極限をもたない）ので正則でなく、矛盾である。$\square$

多項式の列を $P_0=Q_0=1$、
$$ P_{k+1}(z):=P_k(z)+z^{2^k}Q_k(z),\qquad Q_{k+1}(z):=P_k(z)-z^{2^k}Q_k(z) $$
で定める（Rudin–Shapiro 多項式）。帰納法により $P_k$、$Q_k$ は次数 $2^k-1$ 以下で、$z^0,\dots,z^{2^k-1}$ の係数はすべて $\pm1$ である（$P_k$ と $z^{2^k}Q_k$ の係数の位置が重ならない）。よって $\|P_k\|_W=2^k$ である。$|z|=1$ では中線定理 $|a+b|^2+|a-b|^2=2|a|^2+2|b|^2$ と $|z^{2^k}|=1$ から
$$ |P_{k+1}(z)|^2+|Q_{k+1}(z)|^2=2\bigl(|P_k(z)|^2+|Q_k(z)|^2\bigr) $$
である。$|P_0|^2+|Q_0|^2=2$ なので、帰納的に $\mathbb{T}$ 上で $|P_k|^2+|Q_k|^2=2^{k+1}$、とくに $\|P_k\|_\infty\leq2^{(k+1)/2}$ である。
1：$k=2$ では $P_2=1+z+z^2-z^3$、$\|P_2\|_\infty\leq2\sqrt2<4=\|P_2\|_W$ である。
2：$W=C(\mathbb{T})$ と仮定する。恒等写像 $(W,\|\cdot\|_W)\to(C(\mathbb{T}),\|\cdot\|_\infty)$ は $\|f\|_\infty\leq\|f\|_W$ により有界な線形全単射で、両辺は Banach 空間なので、有界逆写像定理 により逆写像も有界である。ある定数 $C$ ですべての $f$ について $\|f\|_W\leq C\|f\|_\infty$ となるが、$f=P_k$ では $2^k\leq C\,2^{(k+1)/2}$、すなわち $2^{(k-1)/2}\leq C$ がすべての $k$ で成り立つことになり、矛盾である。$\square$