加群の局所化

要点：推移律では、二つの関係式にそれぞれ相手の分母と補助の元を掛けて足す。演算と $S^{-1}\varphi$ が代表のとり方によらないことは、分母を払う計算で確かめられる。

1：$m/s=0/1$ は、ある $u\in S$ で $u(1\cdot m-s\cdot0)=um=0$ となることである。
2：$sM=0$ なら 1 によりすべての $m/t$ が零である。逆に $M$ が $m_1,\ldots,m_r$ で生成され $S^{-1}M=0$ なら、1 により $u_im_i=0$ となる $u_i\in S$ がある。$s=u_1\cdots u_r\in S$ はすべての $m_i$、したがって $M$ を零にする。$\square$

$m/1=0$ なら prop-modloc-kernel の 1 により $um=0$（$u\in S$）で、$u$ の掛け算は単射だから $m=0$ である。$m/s$ に対し $m=sm'$ となる $m'$ をとると $m/s=m'/1$ なので全射である。$\square$

$S^{-1}\psi\circ S^{-1}\varphi=S^{-1}(\psi\circ\varphi)=0$ である。逆に $S^{-1}\psi(m/s)=\psi(m)/s=0$ とすると、prop-modloc-kernel によりある $u\in S$ で $\psi(um)=u\psi(m)=0$ となる。仮定から $um=\varphi(m')$ となる $m'\in M'$ があり、
$$\frac ms=\frac{um}{us}=S^{-1}\varphi\Bigl(\frac{m'}{us}\Bigr)$$
となる。短完全列・単射・全射については、$0\to M'\to M$、$M\to M''\to0$ の完全性として読めばよい。$\square$

1 と 2 は短完全列 $0\to N\to M\to M/N\to0$ に prop-modloc-exact を当てればよい。3 の和は $(n_1+n_2)/s=n_1/s+n_2/s$ と通分による。交叉では $\supset$ が明らかである。$m/s$ が両方に入るとし、$m/s=n_i/t_i$（$n_i\in N_i$）とすると、ある $v_i\in S$ で $v_it_im=v_isn_i\in N_i$ となる。$w=v_1t_1v_2t_2\in S$ とおけば $wm\in N_1\cap N_2$ であり、$m/s=wm/(ws)\in S^{-1}(N_1\cap N_2)$ である。$\square$

$(a/s,m)\mapsto am/s$ は代表によらない：$u(s'a-sa')=0$ なら $u(s'\cdot am-s\cdot a'm)=0$ である。これは各変数について $A$ 線形なので、テンソル積 の普遍性から $A$ 線形写像 $\Phi_M$ が定まり、左因子への掛け算と両立するので $S^{-1}A$ 線形である。$m/s=\Phi_M(1/s\otimes m)$ だから全射である。
単射性を示す。テンソル積の元 $\xi=\sum_{i=1}^r(a_i/s_i)\otimes m_i$ は、$s=s_1\cdots s_r$、$t_i=\prod_{j\neq i}s_j$ とおくと $a_i/s_i=(1/s)(a_it_i/1)$ だから
$$\xi=\sum_i\frac1s\otimes a_it_im_i=\frac1s\otimes m,\qquad m=\sum_ia_it_im_i$$
と 1 つの純テンソルに書ける。$\Phi_M(\xi)=m/s=0$ なら prop-modloc-kernel によりある $u\in S$ で $um=0$ であり、
$$\xi=\frac{u}{us}\otimes m=\frac1{us}\otimes um=0$$
となる。自然性は、$A$ 線形写像 $\varphi\colon M\to N$ について $\Phi_N\circ(\mathrm{id}\otimes\varphi)$ と $S^{-1}\varphi\circ\Phi_M$ が純テンソル上で一致することから従う。$\square$

単射 $M'\to M$ に対し、$S^{-1}A\otimes_AM'\to S^{-1}A\otimes_AM$ は自然な同型 $\Phi$ により $S^{-1}M'\to S^{-1}M$ と同一視され、後者は prop-modloc-exact により単射である。$\square$

prop-modloc-tensor とテンソル積の結合法則から
$$S^{-1}M\otimes_{S^{-1}A}U\cong(M\otimes_AS^{-1}A)\otimes_{S^{-1}A}U\cong M\otimes_AU$$
である。$U=S^{-1}N\cong S^{-1}A\otimes_AN$ とすると、右辺は $M\otimes_AS^{-1}A\otimes_AN\cong S^{-1}(M\otimes_AN)$ となる。各同型をたどると、元の対応は主張の式になる。$\square$

1 ⇒ 2 ⇒ 3 は明らかである。3 を仮定し、$x\in M$ を零でないとする。零化イデアル $\operatorname{Ann}(x)=\{a\in A:ax=0\}$ は $1\notin\operatorname{Ann}(x)$ なので真のイデアルであり、ある極大イデアル $\mathfrak m$ に含まれる。$M_{\mathfrak m}=0$ より $x/1=0$ だから、prop-modloc-kernel によりある $u\in A\setminus\mathfrak m$ で $ux=0$ となる。すると $u\in\operatorname{Ann}(x)\subset\mathfrak m$ となって矛盾する。よって $M=0$ である。$\square$

prop-modloc-exact により $(\ker\varphi)_{\mathfrak m}=\ker(\varphi_{\mathfrak m})$、$(\operatorname{Coker}\varphi)_{\mathfrak m}=\operatorname{Coker}(\varphi_{\mathfrak m})$ である。これらに prop-modloc-zero を当てればよい。$\square$

$M$ が平坦で、$U\to V$ が $A_{\mathfrak m}$ 加群の単射とする。prop-modloc-tensor-tensor により $M_{\mathfrak m}\otimes_{A_{\mathfrak m}}U\cong M\otimes_AU$ であり、$M\otimes_AU\to M\otimes_AV$ は $U\to V$ を $A$ 加群の単射と見て単射である。よって $M_{\mathfrak m}$ は平坦である。
逆に、すべての $M_{\mathfrak m}$ が平坦とし、$U\to V$ を $A$ 加群の単射、$K=\ker(M\otimes_AU\to M\otimes_AV)$ とする。局所化は完全なので $K_{\mathfrak m}$ は $(M\otimes_AU)_{\mathfrak m}\to(M\otimes_AV)_{\mathfrak m}$ の核であり、prop-modloc-tensor-tensor によりこれは $M_{\mathfrak m}\otimes U_{\mathfrak m}\to M_{\mathfrak m}\otimes V_{\mathfrak m}$ の核である。$U_{\mathfrak m}\to V_{\mathfrak m}$ は単射で $M_{\mathfrak m}$ は平坦だから $K_{\mathfrak m}=0$ であり、prop-modloc-zero により $K=0$ である。$\square$

prop-modloc-kernel の 2 を $S=A\setminus\mathfrak p$ に当てると、$M_{\mathfrak p}=0$ であることと $(A\setminus\mathfrak p)\cap\operatorname{Ann}_AM\neq\emptyset$、すなわち $\operatorname{Ann}_AM\not\subset\mathfrak p$ であることは同値である。$\square$