三角圏

加法圏 $\mathcal T$ 上の移動関手（shift functor, suspension functor）とは、加法的な圏同値（加法関手であって圏同値であるもの）$\Sigma\colon\mathcal T\to\mathcal T$ のことをいう。$X$ の像を $\Sigma X$ と書き、$\Sigma$ の逆（を与える圏同値）による像を $\Sigma^{-1}X$ と書く。複体に対する $\Sigma$ の具体的な向きはdef-mapping-coneで固定する（Wei94 の記法 $X[1]$ との関係もそこで述べる。本記事の以下では一貫して $\Sigma$ を用いる）。

加法圏 $\mathcal A$ 上の複体の圏 $\mathrm{Ch}(\mathcal A)$ を考える。複体とホモロジーにおける複体・鎖写像・鎖ホモトピーの定義は零射があれば意味を持つので、アーベル圏に限らず加法圏 $\mathcal A$ 上でそのまま用いる。複体 $X_\bullet$ の移動複体（shift）$(\Sigma X)_\bullet$ を
$$ (\Sigma X)_n:=X_{n-1},\qquad d^{\Sigma X}_n:=-d^X_{n-1} $$
で定める。本記事では、複体に対する移動関手をこの $\Sigma$ に固定する。Wei94 の記法 $X[1]$（$X[1]_n=X_{n+1}$）とは向きが逆であり、$\Sigma X=X[-1]$ である。鎖写像 $f\colon X_\bullet\to Y_\bullet$ の写像錐（mapping cone）$\operatorname{Cone}(f)_\bullet$ を
$$ \operatorname{Cone}(f)_n:=X_{n-1}\oplus Y_n,\qquad d^{\operatorname{Cone}(f)}_n(x,y):=(-d^X_{n-1}x,\ f_{n-1}(x)+d^Y_n(y)) $$
（$\oplus$ は加法圏の双積）で定める。標準射 $i_f\colon Y_\bullet\to\operatorname{Cone}(f)_\bullet$（$y\mapsto(0,y)$）と $p_f\colon\operatorname{Cone}(f)_\bullet\to(\Sigma X)_\bullet$（$(x,y)\mapsto x$）は鎖写像であり、図式
$$ X_\bullet\xrightarrow{f}Y_\bullet\xrightarrow{i_f}\operatorname{Cone}(f)_\bullet\xrightarrow{p_f}\Sigma X_\bullet $$
を $f$ の錐三角（cone triangle）という。

加法圏 $\mathcal T$ が移動関手 $\Sigma$ を持ち、さらに「完全三角形」（distinguished triangle）と呼ばれる図式
$$ X\xrightarrow{u}Y\xrightarrow{v}Z\xrightarrow{w}\Sigma X $$
のクラスが指定されているとする。この組 $(\mathcal T,\Sigma,\{\text{完全三角形}\})$ が三角圏（triangulated category）であるとは、次の公理を満たすことをいう。
TR1：
(a) 完全三角形に同型な三角形（3つ組の同型射で図式全体が可換図式になるもの）は完全三角形である。
(b) 任意の対象 $X$ に対し、$X\xrightarrow{\operatorname{id}_X}X\to0\to\Sigma X$ は完全三角形である（$0$ は零対象）。
(c) 任意の射 $u\colon X\to Y$ は、ある完全三角形 $X\xrightarrow{u}Y\to Z\to\Sigma X$ に延長できる。
TR2（回転）：$X\xrightarrow{u}Y\xrightarrow{v}Z\xrightarrow{w}\Sigma X$ が完全三角形であることと、$Y\xrightarrow{v}Z\xrightarrow{w}\Sigma X\xrightarrow{-\Sigma u}\Sigma Y$ が完全三角形であることは同値である。
TR3（射の拡張）：$X\xrightarrow{u}Y\xrightarrow{v}Z\xrightarrow{w}\Sigma X$ と $X'\xrightarrow{u'}Y'\xrightarrow{v'}Z'\xrightarrow{w'}\Sigma X'$ をともに完全三角形とし、$g\circ u=u'\circ f$ を満たす射 $f\colon X\to X'$、$g\colon Y\to Y'$ が与えられているとする。このとき（一意とは限らない）射 $h\colon Z\to Z'$ が存在して、$h\circ v=v'\circ g$ かつ $(\Sigma f)\circ w=w'\circ h$ を満たす。
TR4（八面体公理）：射 $u\colon X\to Y$、$v\colon Y\to Z$ と、$u$・$v$・$v\circ u$ をそれぞれ延長する完全三角形
$$ X\xrightarrow{u}Y\to Z'\to\Sigma X,\qquad Y\xrightarrow{v}Z\to X'\to\Sigma Y,\qquad X\xrightarrow{v\circ u}Z\to Y'\to\Sigma X $$
が与えられたとき、射 $Z'\to Y'$、$Y'\to X'$ が存在して、$Z'\to Y'\to X'\to\Sigma Z'$（最後の射は $X'\to\Sigma Y\to\Sigma Z'$ の合成）が完全三角形となり、かつ与えられた3つの三角形と整合する（該当する図式が可換になる）。