三角圏

加法圏 $\mathcal T$ 上の移動関手（shift functor, suspension functor）とは、加法的な圏同値 $\Sigma\colon\mathcal T\to\mathcal T$ のことをいう。$X$ の像を $\Sigma X$（あるいは $X[1]$）と書き、$\Sigma$ の逆（を与える圏同値）による像を $\Sigma^{-1}X$（$X[-1]$）と書く。

加法圏 $\mathcal A$ 上の複体とホモロジーの意味での複体の圏 $\mathrm{Ch}(\mathcal A)$ において、複体 $X_\bullet$ の移動複体（shift）$(\Sigma X)_\bullet$ を $(\Sigma X)_n:=X_{n-1}$、差分 $d^{\Sigma X}_n:=-d^X_{n-1}$ で定める。鎖写像 $f\colon X_\bullet\to Y_\bullet$ の写像錐（mapping cone）$\operatorname{Cone}(f)_\bullet$ を
$$ \operatorname{Cone}(f)_n:=X_{n-1}\oplus Y_n,\qquad d^{\operatorname{Cone}(f)}_n(x,y):=(-d^X_{n-1}x,\ f_{n-1}(x)+d^Y_n(y)) $$
（加法圏の双積による）で定める。標準射 $i_f\colon Y_\bullet\to\operatorname{Cone}(f)_\bullet$（$y\mapsto(0,y)$）と $p_f\colon\operatorname{Cone}(f)_\bullet\to(\Sigma X)_\bullet$（$(x,y)\mapsto x$）は鎖写像であり、図式
$$ X_\bullet\xrightarrow{f}Y_\bullet\xrightarrow{i_f}\operatorname{Cone}(f)_\bullet\xrightarrow{p_f}\Sigma X_\bullet $$
を $f$ の錐三角（cone triangle）という。

加法圏 $\mathcal T$ が移動関手 $\Sigma$ を持ち、さらに「距離三角」（distinguished triangle）と呼ばれる図式
$$ X\xrightarrow{u}Y\xrightarrow{v}Z\xrightarrow{w}\Sigma X $$
のクラスが指定されているとする。この組 $(\mathcal T,\Sigma,\{\text{距離三角}\})$ が三角圏（triangulated category）であるとは、次の公理を満たすことをいう。
TR1：
(a) 距離三角に同型な三角形（三つ組の同型射で図式全体が可換になるもの）は距離三角である。
(b) 任意の対象 $X$ に対し、$X\xrightarrow{\operatorname{id}_X}X\to0\to\Sigma X$ は距離三角である。
(c) 任意の射 $u\colon X\to Y$ は、ある距離三角 $X\xrightarrow{u}Y\to Z\to\Sigma X$ に延長できる。
TR2（回転）：$X\xrightarrow{u}Y\xrightarrow{v}Z\xrightarrow{w}\Sigma X$ が距離三角であることと、$Y\xrightarrow{v}Z\xrightarrow{w}\Sigma X\xrightarrow{-\Sigma u}\Sigma Y$ が距離三角であることは同値である。
TR3（射の拡張）：$X\xrightarrow{u}Y\xrightarrow{v}Z\xrightarrow{w}\Sigma X$ と $X'\xrightarrow{u'}Y'\xrightarrow{v'}Z'\xrightarrow{w'}\Sigma X'$ をともに距離三角とし、$g\circ u=u'\circ f$ を満たす射 $f\colon X\to X'$、$g\colon Y\to Y'$ が与えられているとする。このとき（一意とは限らない）射 $h\colon Z\to Z'$ が存在して、$h\circ v=v'\circ g$ かつ $(\Sigma f)\circ w=w'\circ h$ を満たす。
（さらに、二つの合成可能な射の錐の間の整合性を述べる八面体公理（TR4）を課す流儀が標準的であるが、本記事では立ち入らない。）