Eilenberg–MacLane空間

$k=1$：$S^0=\{-1,1\}$ であり、$Y$ は弧状連結なので $\varphi(-1)$ から $\varphi(1)$ への道 $\delta\colon[0,1]\to Y$ がある。$D^1=[-1,1]$ 上で $t\mapsto\delta\bigl((t+1)/2\bigr)$ とおけば延長になる。

$k\ge2$：$S^{k-1}$ の基点を $s_0$、$y:=\varphi(s_0)$ とおくと、$\varphi$ は基点付き写像 $(S^{k-1},s_0)\to(Y,y)$ である。$Y$ は弧状連結なので $\pi_{k-1}(Y,y)$ はほかの基点での群と同型であり、自明である。よって $[\varphi]=0\in\pi_{k-1}(Y,y)$ であり、CW近似の記事の補題「円板への延長と零ホモトピー」により $\varphi$ は $D^k$ に延長できる。$\square$

$Z^k$ を $Z$ の $k$ 骨格とし、$Z_k:=A\cup Z^k$（$Z_{-1}:=A$）とおく。$Z_k$ は部分複体であり、$Z_k\setminus Z_{k-1}$ は $Z\setminus A$ の $k$ 胞体からなる。$k=0,1,2,\dots$ の順に、連続写像 $F_k\colon Z_k\to Y$ で $F_k|_{Z_{k-1}}=F_{k-1}$（$F_{-1}:=f$）となるものを作る。

$k=0$ では、$Z\setminus A$ の $0$ 胞体の行き先を $Y$ の任意の点に決めればよい。$k\ge1$ では、$Z\setminus A$ の $k$ 胞体 $e_\alpha$ の特性写像を $\Phi_\alpha\colon D^k\to Z$、接着写像を $\varphi_\alpha:=\Phi_\alpha|_{S^{k-1}}\colon S^{k-1}\to Z^{k-1}\subset Z_{k-1}$ とする。$k=1$ では $Y$ が弧状連結であること、$k\ge2$ では $\pi_{k-1}(Y)=0$ により、lem-em-extend-disk から $F_{k-1}\circ\varphi_\alpha$ の延長 $\Psi_\alpha\colon D^k\to Y$ がある。$Z_k$ は $Z_{k-1}$ と開胞体 $e_\alpha=\Phi_\alpha(\operatorname{int}D^k)$ の非交和で、$\Phi_\alpha$ は $\operatorname{int}D^k$ の上で単射なので、$Z_{k-1}$ 上で $F_{k-1}$、$e_\alpha$ 上で $F_k(\Phi_\alpha(p)):=\Psi_\alpha(p)$ とおけば写像 $F_k$ が定まる。$p\in S^{k-1}$ では $\Psi_\alpha(p)=F_{k-1}(\varphi_\alpha(p))$ なので $F_k\circ\Phi_\alpha=\Psi_\alpha$ が $D^k$ 全体で成り立つ。$Z_k$ の各胞体の特性写像との合成は $F_{k-1}\circ\Phi$ か $\Psi_\alpha$ で連続なので、CW複体の記事の定理「胞体ごとの判定」により $F_k$ は連続である。

$F\colon Z\to Y$ を、各 $Z_k$ の上で $F_k$ と定める。$Z$ の各胞体はある $Z_k$ に含まれ、特性写像との合成は $F_k$ との合成で連続なので、同じ定理により $F$ は連続であり、$F|_A=f$ である。$\square$

第 1 段：$\pi_n$ が $G$ の $(n+1)$ 次元複体。 $n=1$ のとき、$G$ の表示 $G\cong\langle g_\alpha\ (\alpha\in A)\mid r_\beta\ (\beta\in B)\rangle$ をとる（群の表示の記事の命題「すべての群は表示を持つ」）。円周の一点和 $\bigvee_{\alpha\in A}S^1_\alpha$ に、各 $\beta$ について語 $r_\beta$ をたどる基点付きループを接着写像として $2$ 胞体 $e^2_\beta$ を貼り、$X$ とする。rem-em-cited の (c) により $\pi_1(X,x_0)\cong G$ である。この $X$ は表示の 群の表示複体 であり、$\pi_1(X,x_0)\cong G$ は同記事の定理「表示複体の基本群」で証明する。

$n\ge2$ のとき、$G$ は可換群である。集合 $A$ と全射準同型 $\rho\colon\bigoplus_{\alpha\in A}\mathbb{Z}\to G$ をとり（たとえば $A=G$ とし、$\alpha$ 番目の基底を $\alpha$ に写す）、$\operatorname{Ker}\rho$ の生成系 $(r_\beta)_{\beta\in B}$ を選ぶ。rem-em-cited の (b) により $\pi_n(\bigvee_\alpha S^n_\alpha,x_0)$ を $\bigoplus_\alpha\mathbb{Z}$（$[\iota_\alpha]$ を $\alpha$ 番目の基底）と同一視でき、各 $r_\beta$ を表す基点付き写像 $\varphi_\beta\colon S^n\to\bigvee_\alpha S^n_\alpha$ がある。これを接着写像として $(n+1)$ 胞体 $e^{n+1}_\beta$ を貼り、$X$ とする。(c) により$$\pi_n(X,x_0)\cong\Bigl(\bigoplus_\alpha\mathbb{Z}\Bigr)\Big/\langle r_\beta\mid\beta\in B\rangle=\Bigl(\bigoplus_\alpha\mathbb{Z}\Bigr)\Big/\operatorname{Ker}\rho\cong G$$である。

どちらの場合も $X$ は弧状連結な CW 複体で、$0$ 胞体は $x_0$ だけ、ほかの胞体の次元は $n$ と $n+1$ である。rem-em-cited の (a) を $A=\{x_0\}$、$m=n-1$ に使うと、$1\le i\le n-1$ で $\pi_i(\{x_0\})=0\to\pi_i(X,x_0)$ は全射なので、$\pi_i(X,x_0)=0$ である。

第 2 段：高い次数のホモトピー群を消す。 $k\le n+1$ では $X_k:=X$ とおく。$k\ge n+1$ について、次元 $k$ 以下の CW 複体 $X_k$ が作られたとして、$\pi_k(X_k,x_0)$ の各元 $\gamma$ について代表の基点付き写像 $\psi_\gamma\colon S^k\to X_k$ を選び、これを接着写像として $(k+1)$ 胞体 $e^{k+1}_\gamma$ を貼ったものを $X_{k+1}$ とする。$X_k$ は次元 $k$ 以下なので、その全体が $k$ 骨格であり、$X_{k+1}$ は $X_k$ を部分複体とする次元 $k+1$ 以下の CW 複体である。

$X_{k+1}\setminus X_k$ の胞体は $(k+1)$ 次元なので、rem-em-cited の (a)（$m=k$）により包含 $\iota\colon X_k\hookrightarrow X_{k+1}$ は $\pi_k$ に全射を誘導する。一方、各 $\gamma$ について $\iota\circ\psi_\gamma$ は胞体 $e^{k+1}_\gamma$ の特性写像 $D^{k+1}\to X_{k+1}$ に延長されるので、CW近似の記事の補題「円板への延長と零ホモトピー」により $\iota_*\gamma=[\iota\circ\psi_\gamma]=0$ である。全射 $\iota_*$ の像がすべて $0$ なので、$\pi_k(X_{k+1},x_0)=0$ である。

第 3 段：極限。 $K:=\bigcup_kX_k$ に、各 $X_k$（$k\ge n+1$）を部分複体とする CW 複体の位相を入れる。$K$ は弧状連結で、$K\setminus X$ の胞体の次元は $n+2$ 以上である。$i\ge1$ をとり、$k:=\max\{i+1,\,n+1\}$ とおく。$K\setminus X_k$ の胞体の次元は $k+1$ 以上で $k$ より大きいので、(a)（$m=k$）により $\pi_i(X_k,x_0)\to\pi_i(K,x_0)$ は同型である（$i< k$）。

$i< n$ のとき：$X_k=X$ であり、第 1 段により $\pi_i(K)\cong\pi_i(X)=0$ である。$i=n$ のとき：$X_k=X$ であり、$\pi_n(K)\cong\pi_n(X)\cong G$ である。$i>n$ のとき：$k=i+1$ であり、第 2 段により $\pi_i(K)\cong\pi_i(X_{i+1})=0$ である。

よって $K$ は $K(G,n)$ である CW 複体で、主張の形をもつ。$\square$

基点付きホモトピーは $\pi_n$ に同じ準同型を誘導するので写像は定まり、全射であることは prop-em-map-to-k である。基点付き写像 $f,g\colon K\to Y$ が $f_*=g_*$ をみたすとする。$W:=\bigvee_\alpha S^n_\alpha$ を $K$ の $n$ 骨格、$j\colon W\hookrightarrow K$ を包含とすると、各 $\alpha$ について $[f\circ j\circ\iota_\alpha]=f_*j_*[\iota_\alpha]=g_*j_*[\iota_\alpha]=[g\circ j\circ\iota_\alpha]$ なので、基点を止めたホモトピー $H_\alpha\colon S^n\times I\to Y$ で $f\circ j\circ\iota_\alpha$ と $g\circ j\circ\iota_\alpha$ を結ぶものがある。$H_\alpha$ たちは基点の上で一致するので、ウェッジ和 の記事の定理「点付き空間の圏の余積」を $W\times I$ に当てて（$W\times I$ は $S^n_\alpha\times I$ の非交和を $\{x_0\}\times I$ に沿って貼った商で、Hat02 Proposition A.17, p. 532 により商写像と $\mathrm{id}_I$ の積は商写像である）、基点を止めたホモトピー $H_W\colon W\times I\to Y$ が得られる。

$K\times I$ に積の CW 構造（$I$ は $0$ 胞体 $0,1$ と $1$ 胞体 $(0,1)$ に分ける。Hat02 Appendix, Theorem A.6, p. 524）を入れ、部分複体 $A:=K\times\{0,1\}\cup W\times I$ の上の写像 $F_A$ を、$K\times\{0\}$ で $f$、$K\times\{1\}$ で $g$、$W\times I$ で $H_W$ と定める（3 つの閉集合の上で一致するので連続）。$K\times I\setminus A$ の胞体は $K\setminus W$ の $r$ 胞体 $e$（$r\ge n+1$）ごとの $e\times(0,1)$ で、次元 $r+1\ge n+2$ をもつ。$k:=r+1$ について $k-1=r>n$ なので $\pi_{k-1}(Y)=0$ であり、lem-em-extension により $F_A$ は $F\colon K\times I\to Y$ に延びる。$x_0\in W$ なので $F$ は基点を止めたホモトピーで、$f$ と $g$ を結ぶ。よって写像は単射である。$\square$

基点付き写像 $a\colon(S^i,s_0)\to(X\times Y,(x_0,y_0))$ は、基点付き写像の組 $(p\circ a,q\circ a)$ と一対一に対応し（直積位相の性質）、基点付きホモトピー $S^i\times I\to X\times Y$ も同様に組と対応する。よって $(p_*,q_*)$ は全単射である。$p_*$、$q_*$ はそれぞれ群の準同型なので、$(p_*,q_*)$ は群の同型である。$X\times Y$ は弧状連結であり、後半は前半から従う。$\square$

持ち上げ：$D^k$ は弧状連結・局所弧状連結で単連結なので、任意の $z\in D^k$ と $p(\tilde y)=\Phi(z)$ となる $\tilde y$ について $\tilde\Phi(z)=\tilde y$ となる持ち上げがあり（Hat02 §1.3, Proposition 1.33, p. 61）、被覆空間 の定理「持ち上げの一意性」によりただ 1 つである。開胞体 $e=\Phi(\operatorname{int}D^k)$ について、$p^{-1}(e)$ の各点は持ち上げのどれかの内部の像に入り、2 つの持ち上げの内部の像が 1 点を共有すれば、$\Phi$ の内部での単射性と持ち上げの一意性からそれらは一致する。よって持ち上げの内部の像は互いに交わらず、全体として $\tilde K$ を覆う。$\tilde\Phi$ は内部の上で単射で、像からの逆写像 $(\Phi|_{\operatorname{int}D^k})^{-1}\circ p$ は連続なので、内部から像への同相写像である。

$\tilde K$ は Hausdorff である（$K$ は Hausdorff で（CW複体 の定理「CW 複体は Hausdorff」）、同じファイバーの 2 点は被覆の定義の開近傍の逆像の異なる成分で、異なるファイバーの 2 点は下の 2 点を分ける開集合の逆像で分けられる）。$\tilde K^k:=p^{-1}(K^k)$ とおくと、$p|\colon\tilde K^k\to K^k$ は被覆写像である。$k$ について帰納的に、$\tilde K^k$ が $k$ 次元以下の持ち上げを特性写像とする CW 複体であることを、Hat02 Appendix, Proposition A.2（p. 521）の 3 条件で確かめる。条件 (i) は前段である。条件 (ii)：$\tilde\Phi(\partial D^k)$ はコンパクトで $\tilde K^{k-1}$ に入り、帰納法の仮定から $\tilde K^{k-1}$ は CW 複体なので、CW複体 の定理「コンパクト集合は有限部分複体に含まれる」により有限個の胞体としか交わらない。

条件 (iii)：$F\subset\tilde K^k$ について、すべての持ち上げ $\tilde\Phi$ で $\tilde\Phi^{-1}(F)$ が閉なら $F$ は閉であることを示す。$V\subset K^k$ を均等に覆われる開集合、$W$ をその上の葉（$p|_W\colon W\to V$ は同相）とし、$B:=p(F\cap W)\subset V$ とおく。$K^k$ の胞体の特性写像 $\Phi$ と $z\in\Phi^{-1}(V)$ について、$\Phi^{-1}(V)$ の中に $z$ の弧状連結な開近傍 $N$ をとる。$s:=(p|_W)^{-1}\circ\Phi|_N$ は $\Phi|_N$ の持ち上げなので、$\tilde\Phi(z)=s(z)$ となる持ち上げ $\tilde\Phi$ は $N$ の上で $s$ と一致する。$y\in N$ について $\Phi(y)\in B$ と $s(y)\in F$ は同値なので、$\Phi^{-1}(B)\cap N=\tilde\Phi^{-1}(F)\cap N$ は $N$ の閉集合である。閉であることは局所的な性質なので、$\Phi^{-1}(B)$ は $\Phi^{-1}(V)$ の閉集合であり、$\Phi^{-1}(V\setminus B)$ は $\Phi^{-1}(V)$ の、したがって $D^k$ の開集合である。CW複体 の定理「胞体ごとの判定」（補集合をとる）により $V\setminus B$ は $K^k$ の開集合で、$B$ は $V$ の閉集合、$F\cap W=(p|_W)^{-1}(B)$ は $W$ の閉集合である。葉は $\tilde K^k$ の開被覆をなすので $F$ は閉である。

同じ (iii) の議論をすべての胞体について $\tilde K$ に当てると、$\tilde K$ の位相は各 $\tilde K^k$ の位相と両立する弱位相であり、$\tilde K$ は CW 複体である。普遍被覆なら $\Gamma\cong\pi_1(K,x_0)$ で、$\Gamma$ はファイバーに推移的に作用し（Hat02 §1.3, Proposition 1.39, p. 71。普遍被覆は正規被覆である）、持ち上げの一意性により自由に作用する。$g\circ\tilde\Phi$ はまた $\Phi$ の持ち上げであり、持ち上げは $0\in D^k$ の行き先で決まるので、$\Gamma$ は持ち上げの集合に自由かつ推移的に作用する。$\square$

1：$q$ 胞体の持ち上げ $\tilde\Phi$ の生成元を $[\tilde\Phi]:=\tilde\Phi_*[D^q]$ とする（胞体ホモロジー の定義「胞体鎖複体と胞体ホモロジー」）。被覆変換 $g$ は骨格を保つ同相写像なので胞体鎖の自己同型を誘導し、$g_*[\tilde\Phi]=[g\circ\tilde\Phi]$ であり、境界写像と可換である。lem-em-cover-cw により $K$ の各 $q$ 胞体 $e$ の持ち上げは、1 つ選んだ $\tilde\Phi_e$ の $g\circ\tilde\Phi_e$（$g\in G$）とちょうど 1 回ずつ一致するので、$C_q(\tilde K)=\bigoplus_e\mathbb{Z}[G][\tilde\Phi_e]$ は自由で、微分は $\mathbb{Z}[G]$ 線形、$\varepsilon$ も $\mathbb{Z}[G]$ 線形である。rem-em-universal-cover により $\tilde K$ は可縮なので、胞体ホモロジーは特異ホモロジーと同型で（胞体ホモロジー の定理「胞体ホモロジーと特異ホモロジーの同型」）$q\ge1$ で $0$、$q=0$ で $\mathbb{Z}$ である。$1$ 胞体の生成元の境界は終点と始点の差なので $\varepsilon\circ d_1=0$ であり、$\varepsilon$ は全射だから、$\varepsilon$ は $C_0/\operatorname{im}d_1\cong\mathbb{Z}$ から $\mathbb{Z}$ への全射、したがって同型を誘導する。よって列は完全である。$\dim\tilde K=d$ なので $q>d$ で $C_q(\tilde K)=0$ である。

2：$g\in G$ の位数が有限の $m>1$ だとし、$m$ の素因数 $p$ をとると、$h:=g^{m/p}$ の位数は $p$ である。$C:=\langle h\rangle\cong\mathbb{Z}/p$ とする。$G$ を右剰余類 $Cx$ に分け、各類から代表 $x$ を選ぶと $\mathbb{Z}[G]=\bigoplus_{Cx}\mathbb{Z}[C]\,x$ なので、$\mathbb{Z}[G]$ は自由 $\mathbb{Z}[C]$ 加群であり、1 の列は $\mathbb{Z}$ の長さ $d$ の自由 $\mathbb{Z}[C]$ 分解 $P_\bullet$ でもある。$\mathbb{F}_p$ に $C$ を自明に作用させると、群コホモロジー の系「射影分解による計算」により、$n>d$ で $H^n(C,\mathbb{F}_p)\cong H^n(\operatorname{Hom}_C(P_\bullet,\mathbb{F}_p))=0$ である。一方、同じ系を 巡回群のコホモロジーの周期性 の補題「巡回群の周期的な自由分解」の分解 $Q_\bullet$（$Q_n=\mathbb{Z}[C]$、微分は $h-1$ 倍とノルム $N=1+h+\cdots+h^{p-1}$ 倍が交互に並ぶ）に当てると、$\operatorname{Hom}_C(\mathbb{Z}[C],\mathbb{F}_p)\cong\mathbb{F}_p$（$F\mapsto F(1)$）のもとで $h-1$ 倍との合成は $0$ 倍、$N$ 倍との合成は $p$ 倍すなわち $0$ 倍になる。よってすべての $n\ge0$ で $H^n(C,\mathbb{F}_p)\cong\mathbb{F}_p\ne0$ であり、矛盾する。

3：有限表示は 群の表示複体 の系「有限 CW 複体の基本群は有限表示」である。胞体が有限個なので各 $C_q(\tilde K)$ は有限生成である。$\square$

記号。$X^k$ を $k$ 骨格、$C_k(X):=H_k(X^k,X^{k-1})$ を胞体鎖、$d$ をその境界とする（障害理論 の定義「対の胞体鎖複体と胞体コホモロジー」で $A=\emptyset$ としたもの）。$n\ge1$ なので $H_n(K)\to H_n(K,x_0)$ は同型であり、両者を同一視する。CW 複体 $W$ の $n$ 骨格（を含む部分複体）の上の連続写像 $F$ で $F(W^{n-1})=x_0$ となるものについて、$F_*\colon C_n(W)=H_n(W^n,W^{n-1})\to H_n(K,x_0)$ と $\theta$ の合成を $a_F\in\mathrm{Hom}(C_n(W),G)$ と書く。$n$ 胞体 $e$ の特性写像を $\Phi_e$ とすると $a_F([e])=\theta\bigl((F\circ\Phi_e)_*[D^n]\bigr)$ である。$X^{n-1}$ を $x_0$ に送る写像を正規という。

(a) 胞体での表示。正規な $f\colon X\to K$ について、Hat02 Theorem 3.5 とその証明（pp. 202–203）の同型 $H^n(X;G)\cong H^n_{\mathrm{CW}}(X;G)$ は $f^*\iota$ を $a_f$ の類に写す。実際、この同型は $x\in H^n(X;G)$ に、$x$ の $X^n$ への制限の、$j\colon(X^n,\emptyset)\to(X^n,X^{n-1})$ による引き戻し $j^*$ での逆像（$H^n(X^n,X^{n-1};G)=\mathrm{Hom}(C_n(X),G)$ の元で、余輪体になる）の類を対応させる。$\iota$ は、普遍係数定理（普遍係数定理 の定理「コホモロジーの普遍係数定理」。$H_{n-1}(K,x_0)=0$ なので Ext の項は消える）で $\theta$ に対応する $\iota_{\mathrm{rel}}\in H^n(K,x_0;G)$ の像であり、$f|_{X^n}$ は対の写像 $\bar f\colon(X^n,X^{n-1})\to(K,x_0)$ と $j$ の合成なので、$(f^*\iota)|_{X^n}=j^*\bar f^*\iota_{\mathrm{rel}}$ である。普遍係数定理の同型の自然性により、$\bar f^*\iota_{\mathrm{rel}}$ は $\theta\circ\bar f_*=a_f$ である。

(b) 1 胞体ずつの延長と実現。$W$ の $(n+1)$ 胞体 $\sigma$ と、$W^n$ を含む部分複体の上の写像 $F$ で $F(W^{n-1})=x_0$ となるものについて、$F$ が $\sigma$ の上へ延びることと $a_F(d[\sigma])=0$ は同値である。実際、接着写像 $\varphi_\sigma$ について、延長できることは $[F\circ\varphi_\sigma]=0\in\pi_n(K)$ と同値で（CW近似 の補題「円板への延長と零ホモトピー」）、Hurewicz 準同型は同型なので（Hurewiczの定理 の定理「Hurewicz の定理」。$n=1$ では定理「1 次元の Hurewicz の定理」と $\pi_1(K)\cong G$ の可換性）、これは $(F\circ\varphi_\sigma)_*[S^n]=0$ と同値である（$[S^n]:=\partial[D^{n+1}]$）。連結準同型の自然性から $(F\circ\varphi_\sigma)_*[S^n]=F_*\partial[\sigma]$ であり、その $H_n(K,x_0)$ での像は $F_*(d[\sigma])$ である。また、$u\in G$ について、$S^{n-1}$ を $x_0$ に送る写像 $\psi\colon D^n\to K$ で $\theta(\psi_*[D^n])=u$ となるものがある（$D^n/S^{n-1}\cong S^n$ からの写像の類を、Hurewicz 準同型の全射性で選べばよい）。

(c) 正規な代表。基点付き写像 $f\colon X\to K$ は正規な写像と基点付きホモトピックである。$X^{n-1}\times I$ の部分複体 $X^{n-1}\times\{0,1\}\cup\{x_0\}\times I$ の上で、$X^{n-1}\times\{0\}$ では $f$、残りでは $x_0$ とおく。残りの胞体の次元は $n$ 以下で、$K$ は弧状連結で $1\le i\le n-1$ の $\pi_i$ が消えるので、lem-em-extension によりホモトピー $h\colon X^{n-1}\times I\to K$ に延びる。Whiteheadの定理 の命題「CW 対のホモトピー拡張性質」で $h$ を $f$ から始まる $X$ 上のホモトピーに延ばすと、$\{x_0\}\times I$ の上では $x_0$ なので基点付きで、終わりの写像は正規である。

(d) 全射。(a) により、余輪体 $b\in\mathrm{Hom}(C_n(X),G)$ について $a_f=b$ となる正規な基点付き写像 $f$ を作ればよい。$X^{n-1}$ を $x_0$ に送り、各 $n$ 胞体 $e$ の上を (b) の $\psi$（$u=b([e])$）で定めると、CW複体 の定理「胞体ごとの判定」により連続な $f\colon X^n\to K$ が定まり、$a_f=b$ である。各 $(n+1)$ 胞体 $\sigma$ について $a_f(d[\sigma])=(\delta b)([\sigma])=0$ なので、(b) により $f$ は $X^{n+1}$ へ延び、残りの胞体の次元は $n+2$ 以上なので lem-em-extension により $X$ 全体へ延びる。$x_0\in X^{n-1}$ なので $f$ は基点付きである。

(e) 単射。(c) により、正規な $f,g$ で $f^*\iota=g^*\iota$ のものについて $f\simeq g$（基点付き）を示せばよい。(a) により $a_g-a_f=\delta\psi$ となる $\psi\in\mathrm{Hom}(C_{n-1}(X),G)$ がある。$n=1$ のときは、$x_0$ を含む弧状連結成分の $0$ 胞体の上で $\psi([x_0])$、ほかで $0$ の余鎖を引いても $\delta\psi$ は変わらない（$1$ 胞体の両端は同じ成分にある）ので、$\psi([x_0])=0$ としてよい。$Z:=X\times I$ に積の胞体構造（Hat02 Theorem A.6, p. 524）を入れ、部分複体 $B:=X\times\{0,1\}\cup X^{n-2}\times I\cup\{x_0\}\times I$（$X^{-1}:=\emptyset$）の上で、$X\times\{0\}$ では $f$、$X\times\{1\}$ では $g$、残りでは $x_0$ とおく（$f,g$ は $X^{n-1}$ の上で $x_0$ なので矛盾しない）。$X$ の $(n-1)$ 胞体 $e'\ne x_0$ ごとに、$Z$ の $n$ 胞体 $e'\times(0,1)$ の上を、境界を $x_0$ に送り $a_H([e'\times I])=(-1)^{n+1}\psi([e'])$ となる (b) の写像で定めると、$H\colon Z^n\cup B\to K$ が得られ、$H(Z^{n-1})=x_0$ である。$X$ の $n$ 胞体 $e$ について、積の胞体鎖の境界は $d[e\times I]=(d[e])\times I+(-1)^n([e\times1]-[e\times0])$ なので（Hat02 Proposition 3B.1, p. 269。向きの規約は 障害理論 の節「差のコチェイン」と同じ）、$a_H(d[e\times I])=(-1)^{n+1}\psi(d[e])+(-1)^n(a_g-a_f)([e])=0$ である。(b) により $H$ は各 $e\times(0,1)$ の上へ延び、残りの胞体 $e\times(0,1)$（$\dim e\ge n+1$）の次元は $n+2$ 以上なので lem-em-extension により $Z$ 全体へ延びる。これは $f$ から $g$ への基点付きホモトピーである。

自然性は $(f\circ h)^*\iota=h^*f^*\iota$ による。$\square$

指数法則．$X$ は局所コンパクト Hausdorff なので、コンパクト開位相 の定理「指数法則」により、空間 $Z$ からの連続写像 $Z\to C(X,K)$ と連続写像 $Z\times X\to K$ は 1 対 1 に対応する。$Z=S^q$ と $Z=S^q\times I$ に使うと、基点付き写像 $(S^q,\ast)\to(C(X,K),c_0)$ とその基点付きホモトピーは、$\{\ast\}\times X$ を $K$ の基点 $k_0$ へ送る写像 $S^q\times X\to K$ と、各時刻でこの条件を満たすホモトピーに対応する。$X$ に基点 $+$ を足した空間を $X_+$ とすると $(S^q\times X)/(\{\ast\}\times X)=S^q\wedge X_+$ であり、$I$ は局所コンパクト Hausdorff なので商写像に $\mathrm{id}_I$ を掛けたものは商写像である。よって $\pi_q(C(X,K),c_0)\cong[S^q\wedge X_+,K]_*$ である。$q\ge1$ の群構造はどちらも $S^q$ をつぶす写像 $S^q\to S^q\vee S^q$ から来るので、この全単射は群の同型である。

コホモロジーへ．まず $K$ を CW 複体、$k_0$ を $0$ 胞体としてよい。CW 複体へのホモトピー同値 $h\colon K\to K'$ をとると、$h$ との合成 $C(X,K)\to C(X,K')$ は連続で（コンパクト開位相 の命題「固定した写像との合成」）、ホモトピーも指数法則で合成に移るのでホモトピー同値であり、$c_0$ を定値写像に送るから $\pi_q$ の同型を与える。$K'$ は弧状連結なので定値写像どうしは $C(X,K')$ の中の道で結ばれ、基点の値は $0$ 胞体に取り替えてよい。$S^q$ は有限 CW 複体なので $S^q\times X$ は直積位相で CW 複体であり（Hat02 Theorem A.6, p. 524）、$\{\ast\}\times X$ は部分複体なので、$S^q\wedge X_+$ は基点付き CW 複体で、$q$ 回の被約懸垂 $\Sigma^q(X_+)$ と同相である（スマッシュ積）。上の表現 $H^n(-;\Pi)\cong[-,K]_*$ により $[S^q\wedge X_+,K]_*\cong\tilde H^n(\Sigma^q(X_+);\Pi)$ である。この全単射は自然なので、つぶす写像による和を、ウェッジ和への分解 $\tilde H^n(Y\vee Y)=\tilde H^n(Y)\oplus\tilde H^n(Y)$ を通じてコホモロジーの和に写す。被約懸垂の同型（スマッシュ積 の注意「コホモロジーとの関係」）を $q$ 回使うと、$q\le n$ なら $\tilde H^n(\Sigma^q(X_+))\cong\tilde H^{n-q}(X_+)=H^{n-q}(X)$ である。$q>n$ なら、$\Sigma^q(X_+)$ の胞体は基点の $0$ 胞体と次元 $q$ 以上の胞体だけなので、胞体コホモロジーにより $\tilde H^n=0$ である。

位相アーベル群の模型．$K$ が位相アーベル群でもあり $k_0=0$ のとき、点ごとの和・逆元と定値写像 $K\to C(X,K)$ は（$C(X,K)\times C(X,K)\times X\to K$ などを指数法則でカリー化して）連続で、点 $x_0\in X$ での評価も連続なので、$f\mapsto(f(x_0),f-f(x_0))$ は同相 $C(X,K)\cong K\times C_*(X,K)$（$C_*$ は $x_0$ を $0$ へ送る写像の部分空間、逆写像は $(a,g)\mapsto a+g$）を与える。また $g$ を足す平行移動は同相なので、$C(X,K)$ のどの点を基点にしても同じホモトピー群が得られ、$q=n$ では $\pi_n(K)\times\pi_n(C_*(X,K))\cong\Pi\times\tilde H^0(X;\Pi)\cong H^0(X;\Pi)$ と読める。この分解も、写像空間のホモトピー型を Eilenberg–MacLane 空間の積として決めるものではない。