Eilenberg–MacLane空間

要点：$k=1$ は道で、$k\ge2$ は基点付きの零ホモトピーから円板への延長を作る。

要点：骨格の次元の順に、接着写像との合成を lem-em-extend-disk で円板へ延ばし、胞体ごとの判定で連続性を確かめる。

第 1 段：$\pi_n$ が $G$ の $(n+1)$ 次元複体。 $n=1$ のとき、$G$ の表示 $G\cong\langle g_\alpha\ (\alpha\in A)\mid r_\beta\ (\beta\in B)\rangle$ をとる（群の表示の記事の命題「すべての群は表示を持つ」）。円周の一点和 $\bigvee_{\alpha\in A}S^1_\alpha$ に、各 $\beta$ について語 $r_\beta$ をたどる基点付きループを接着写像として $2$ 胞体 $e^2_\beta$ を貼り、$X$ とする。rem-em-cited の (c) により $\pi_1(X,x_0)\cong G$ である。この $X$ は表示の 群の表示複体 であり、$\pi_1(X,x_0)\cong G$ は同記事の定理「表示複体の基本群」で証明する。
$n\ge2$ のとき、$G$ は可換群である。集合 $A$ と全射準同型 $\rho\colon\bigoplus_{\alpha\in A}\mathbb{Z}\to G$ をとり（たとえば $A=G$ とし、$\alpha$ 番目の基底を $\alpha$ に写す）、$\operatorname{Ker}\rho$ の生成系 $(r_\beta)_{\beta\in B}$ を選ぶ。rem-em-cited の (b) により $\pi_n(\bigvee_\alpha S^n_\alpha,x_0)$ を $\bigoplus_\alpha\mathbb{Z}$（$[\iota_\alpha]$ を $\alpha$ 番目の基底）と同一視でき、各 $r_\beta$ を表す基点付き写像 $\varphi_\beta\colon S^n\to\bigvee_\alpha S^n_\alpha$ がある。これを接着写像として $(n+1)$ 胞体 $e^{n+1}_\beta$ を貼り、$X$ とする。(c) により
$$ \pi_n(X,x_0)\cong\Bigl(\bigoplus_\alpha\mathbb{Z}\Bigr)\Big/\langle r_\beta\mid\beta\in B\rangle=\Bigl(\bigoplus_\alpha\mathbb{Z}\Bigr)\Big/\operatorname{Ker}\rho\cong G $$
である。
どちらの場合も $X$ は弧状連結な CW 複体で、$0$ 胞体は $x_0$ だけ、ほかの胞体の次元は $n$ と $n+1$ である。rem-em-cited の (a) を $A=\{x_0\}$、$m=n-1$ に使うと、$1\le i\le n-1$ で $\pi_i(\{x_0\})=0\to\pi_i(X,x_0)$ は全射なので、$\pi_i(X,x_0)=0$ である。
第 2 段：高い次数のホモトピー群を消す。 $k\le n+1$ では $X_k:=X$ とおく。$k\ge n+1$ について、次元 $k$ 以下の CW 複体 $X_k$ が作られたとして、$\pi_k(X_k,x_0)$ の各元 $\gamma$ について代表の基点付き写像 $\psi_\gamma\colon S^k\to X_k$ を選び、これを接着写像として $(k+1)$ 胞体 $e^{k+1}_\gamma$ を貼ったものを $X_{k+1}$ とする。$X_k$ は次元 $k$ 以下なので、その全体が $k$ 骨格であり、$X_{k+1}$ は $X_k$ を部分複体とする次元 $k+1$ 以下の CW 複体である。
$X_{k+1}\setminus X_k$ の胞体は $(k+1)$ 次元なので、rem-em-cited の (a)（$m=k$）により包含 $\iota\colon X_k\hookrightarrow X_{k+1}$ は $\pi_k$ に全射を誘導する。一方、各 $\gamma$ について $\iota\circ\psi_\gamma$ は胞体 $e^{k+1}_\gamma$ の特性写像 $D^{k+1}\to X_{k+1}$ に延長されるので、CW近似の記事の補題「円板への延長と零ホモトピー」により $\iota_*\gamma=[\iota\circ\psi_\gamma]=0$ である。全射 $\iota_*$ の像がすべて $0$ なので、$\pi_k(X_{k+1},x_0)=0$ である。
第 3 段：極限。 $K:=\bigcup_kX_k$ に、各 $X_k$（$k\ge n+1$）を部分複体とする CW 複体の位相を入れる。$K$ は弧状連結で、$K\setminus X$ の胞体の次元は $n+2$ 以上である。$i\ge1$ をとり、$k:=\max\{i+1,\,n+1\}$ とおく。$K\setminus X_k$ の胞体の次元は $k+1$ 以上で $k$ より大きいので、(a)（$m=k$）により $\pi_i(X_k,x_0)\to\pi_i(K,x_0)$ は同型である（$i< k$）。

• $i< n$ のとき：$X_k=X$ であり、第 1 段により $\pi_i(K)\cong\pi_i(X)=0$ である。
• $i=n$ のとき：$X_k=X$ であり、$\pi_n(K)\cong\pi_n(X)\cong G$ である。
• $i>n$ のとき：$k=i+1$ であり、第 2 段により $\pi_i(K)\cong\pi_i(X_{i+1})=0$ である。
  よって $K$ は $K(G,n)$ である CW 複体で、主張の形をもつ。$\square$

$W:=\bigvee_\alpha S^n_\alpha$ を $X$ の $n$ 骨格、$j\colon W\hookrightarrow X$ を包含とする。各 $\alpha$ について $\psi(j_*[\iota_\alpha])\in\pi_n(Y,y_0)$ の代表 $h_\alpha\colon(S^n,s_0)\to(Y,y_0)$ を選び、$f_W\colon W\to Y$ を $S^n_\alpha$ の上で $h_\alpha$ と定める。$f_W$ は基点付き写像で、ウェッジ和の記事の定理「点付き空間の圏の余積」により連続である。
二つの準同型 $(f_W)_*$ と $\psi\circ j_*\colon\pi_n(W,x_0)\to\pi_n(Y,y_0)$ は、$(f_W)_*[\iota_\alpha]=[h_\alpha]=\psi(j_*[\iota_\alpha])$ により $[\iota_\alpha]$ の上で一致する。rem-em-cited の (b) により $[\iota_\alpha]$ たちは $\pi_n(W,x_0)$ を（$n\ge2$ なら可換群として、$n=1$ なら群として）生成するので、$(f_W)_*=\psi\circ j_*$ である。
各 $(n+1)$ 胞体 $e^{n+1}_\beta$ の接着写像を $\varphi_\beta\colon(S^n,s_0)\to(W,x_0)$ とする。$j\circ\varphi_\beta$ は $e^{n+1}_\beta$ の特性写像に延長されるので、CW近似の記事の補題「円板への延長と零ホモトピー」により $j_*[\varphi_\beta]=0$ であり、
$$ [f_W\circ\varphi_\beta]=(f_W)_*[\varphi_\beta]=\psi\bigl(j_*[\varphi_\beta]\bigr)=0 $$
となる。同じ補題により $f_W\circ\varphi_\beta$ は $D^{n+1}$ に延長でき、lem-em-extension の証明と同じく胞体ごとに定義して、連続な基点付き写像 $f\colon X\to Y$ で $f\circ j=f_W$ となるものが得られる。
最後に、$f_*\circ j_*=(f_W)_*=\psi\circ j_*$ である。$X\setminus W$ の胞体は $(n+1)$ 次元なので、rem-em-cited の (a)（$m=n$）により $j_*\colon\pi_n(W,x_0)\to\pi_n(X,x_0)$ は全射であり、$f_*=\psi$ が従う。$\square$

$X\subset K$ を thm-em-existence の部分複体、$\iota\colon X\hookrightarrow K$ を包含とする。$K\setminus X$ の胞体の次元は $n+2$ 以上なので、rem-em-cited の (a)（$m=n+1$）により $\iota_*\colon\pi_n(X,x_0)\to\pi_n(K,x_0)$ は同型である。lem-em-map を準同型 $\psi\circ\iota_*$ に使って、$f_X\colon X\to Y$ で $(f_X)_*=\psi\circ\iota_*$ となるものをとる。$K\setminus X$ が $k$ 胞体をもつなら $k\ge n+2$ で $k-1>n$ なので $\pi_{k-1}(Y)=0$ であり、lem-em-extension により $f_X$ は $f\colon K\to Y$ に延長できる。$f_*\circ\iota_*=(f_X)_*=\psi\circ\iota_*$ で $\iota_*$ は同型なので、$f_*=\psi$ である。$\square$

thm-em-existence の形の CW 複体 $K_0$ で $K(G,n)$ となるものを一つ固定する。CW 複体 $K'$ が $K(G,n)$ ならば $K'$ は $K_0$ とホモトピー同値であることを示せば、ホモトピー同値は同値関係なので、定理が従う。
$x_0\in K_0$、$y_0\in K'$ を基点とし、群の同型 $\psi\colon\pi_n(K_0,x_0)\cong G\cong\pi_n(K',y_0)$ をとる。$K'$ は弧状連結で $i>n$ について $\pi_i(K')=0$ なので、prop-em-map-to-k により基点付き写像 $f\colon K_0\to K'$ で $f_*=\psi$ となるものがある。$f_*$ は $\pi_n$ で同型であり、$i\ne n$ では $\pi_i(K_0)$ と $\pi_i(K')$ がどちらも自明なので同型である。$K_0$ と $K'$ は弧状連結な CW 複体なので、Whiteheadの定理の記事の系「連結な CW 複体の場合」により $f$ はホモトピー同値である。$\square$

$\pi_n(K,x_0)\cong G\xrightarrow{\varphi}H\cong\pi_n(L,y_0)$ の合成を $\psi$ として、prop-em-map-to-k を $Y=L$ に使えばよい。$\square$

要点：直積への写像とホモトピーは成分の組と一対一に対応する。