inf畳み込み

1：$\varphi$ が凸で $(x,\lambda),(z,\mu)\in\operatorname{epi}_s\varphi$、$0< t< 1$ なら、$\varphi((1-t)x+tz)\le(1-t)\varphi(x)+t\varphi(z)< (1-t)\lambda+t\mu$ である。逆に $\operatorname{epi}_s\varphi$ が凸とし、$x,z\in E$、$0< t< 1$ をとる。$\varphi(x)$、$\varphi(z)$ の一方が $+\infty$ なら凸不等式は自明である。どちらも有限なら、$\lambda>\varphi(x)$、$\mu>\varphi(z)$ について $(1-t)(x,\lambda)+t(z,\mu)\in\operatorname{epi}_s\varphi$ から $\varphi((1-t)x+tz)< (1-t)\lambda+t\mu$ であり、$\lambda\downarrow\varphi(x)$、$\mu\downarrow\varphi(z)$ として凸不等式を得る。
2：$(u,s)\in\operatorname{epi}_s\varphi$、$(v,t)\in\operatorname{epi}_s\psi$ なら $(\varphi\mathbin{\Box}\psi)(u+v)\le\varphi(u)+\psi(v)< s+t$ である。逆に $(\varphi\mathbin{\Box}\psi)(x)< \lambda$ なら、下限の定義から $\varphi(x-v)+\psi(v)< \lambda$ となる $v$ があり、2 つの値は有限である。$\delta:=\lambda-\varphi(x-v)-\psi(v)>0$ とし、$s:=\varphi(x-v)+\delta/2$、$t:=\psi(v)+\delta/2$ とおけば $(x,\lambda)=(x-v,s)+(v,t)$ は右辺の元である。
3：凸集合の和は凸なので、1 と 2 から $\operatorname{epi}_s(\varphi\mathbin{\Box}\psi)$ は凸であり、$\varphi\mathbin{\Box}\psi$ は $(-\infty,+\infty]$ 値なので 1 により凸である。$\square$

$\nu:=\varphi\mathbin{\Box}\psi$ とおく。$f_0\in D(\varphi^*)\cap D(\psi^*)$ をとると、Fenchel–Youngの不等式（Fenchel共役 の定理「共役の基本性質」の 2）から、すべての $x,y$ で
$$ \varphi(x-y)+\psi(y)\ge\langle f_0,x-y\rangle-\varphi^*(f_0)+\langle f_0,y\rangle-\psi^*(f_0)=\langle f_0,x\rangle-\varphi^*(f_0)-\psi^*(f_0) $$
であり、右辺は $y$ によらない実数なので $\nu(x)>-\infty$ である。$u\in D(\varphi)$、$v\in D(\psi)$ をとれば $\nu(u+v)\le\varphi(u)+\psi(v)< +\infty$ なので、$\nu$ は真である。
$f\in E^*$ とする。下限の符号を変えると上限になるので
$$ \nu^*(f)=\sup_{x\in E}\sup_{y\in E}\bigl(\langle f,x\rangle-\varphi(x-y)-\psi(y)\bigr) $$
である（$+\infty$ を含む項は $-\infty$ として上限に影響しない）。$(x,y)\mapsto(u,v):=(x-y,y)$ は $E\times E$ の全単射で、$\langle f,x\rangle=\langle f,u\rangle+\langle f,v\rangle$ なので
$$ \nu^*(f)=\sup_{u,v\in E}\Bigl(\bigl(\langle f,u\rangle-\varphi(u)\bigr)+\bigl(\langle f,v\rangle-\psi(v)\bigr)\Bigr)=\varphi^*(f)+\psi^*(f) $$
である。最後の等号は、独立に動く 2 つの変数の関数の和の上限が上限の和に等しいことによる（2 つの上限はどちらも $-\infty$ でないので和は定まり、一方が $+\infty$ なら両辺とも $+\infty$ である）。$\square$

1：$f,g\in E^*$、$x\in E$ について、Fenchel–Youngの不等式 を 2 回使うと $\langle f,x\rangle-\varphi(x)-\psi(x)=\bigl(\langle f-g,x\rangle-\varphi(x)\bigr)+\bigl(\langle g,x\rangle-\psi(x)\bigr)\le\varphi^*(f-g)+\psi^*(g)$ である（$x\notin D(\varphi)\cap D(\psi)$ なら左辺は $-\infty$）。$x$ について上限、$g$ について下限をとればよい。
2：$f$ を固定し、$\tilde\varphi:=\varphi-\langle f,\cdot\rangle$ とおく。$\tilde\varphi$ は凸で $x_0$ で連続であり、Fenchel共役 の命題「共役の計算規則」の 4 から $\tilde\varphi^*(h)=\varphi^*(h+f)$ である。Fenchel–Rockafellarの双対定理 を $\tilde\varphi$ と $\psi$ に使うと
$$ -(\varphi+\psi)^*(f)=\inf_x\bigl(\tilde\varphi(x)+\psi(x)\bigr)=\max_{g\in E^*}\bigl(-\varphi^*(f-g)-\psi^*(g)\bigr) $$
であり、符号を変えると $(\varphi+\psi)^*(f)=\min_g\bigl(\varphi^*(f-g)+\psi^*(g)\bigr)=(\varphi^*\mathbin{\Box}\psi^*)(f)$ を得る。$(\varphi+\psi)^*(f)< +\infty$ なら左の下限は有限で、最小を与える $g$ では和が有限の値をとる。$\square$

Fenchel–Moreauの定理 の補題「連続アフィン下界の存在」により、$g\in E^*$ と $c\in\mathbb{R}$ で $\varphi(y)\ge\langle g,y\rangle+c$（$y\in E$）となるものがある。$N>\|g\|_*$ となる整数 $N$ をとり、$n\ge N$ とする。$\langle g,y\rangle\ge\langle g,x\rangle-\|g\|_*\|x-y\|$ なので
$$ n\|x-y\|+\varphi(y)\ge\langle g,x\rangle+c+(n-\|g\|_*)\|x-y\|\ge\langle g,x\rangle+c\qquad(x,y\in E)\qquad(\ast) $$
であり、$\varphi_n(x)\ge\langle g,x\rangle+c>-\infty$ である。$z\in D(\varphi)$ をとれば $\varphi_n(x)\le n\|x-z\|+\varphi(z)< +\infty$ である。
1：$\varphi_n$ は有限なので、prop-ic-epigraph の 3 により凸である。$y$ を固定すると $n\|x_1-y\|\le n\|x_2-y\|+n\|x_1-x_2\|$ であり、$\varphi(y)$ を足して $y$ について下限をとると $\varphi_n(x_1)\le\varphi_n(x_2)+n\|x_1-x_2\|$ である。$x_1$、$x_2$ を入れ替えればよい。
2：下限の中身は $n$ について増加するので $\varphi_n\le\varphi_{n+1}$ であり、$y=x$ とおけば $\varphi_n(x)\le\varphi(x)$ である。$L:=\lim_n\varphi_n(x)=\sup_n\varphi_n(x)\le\varphi(x)$ とおく。$L=+\infty$ なら $\varphi(x)=+\infty=L$ である。$L< +\infty$ とする。各 $n\ge N$ について $n\|x-y_n\|+\varphi(y_n)\le\varphi_n(x)+\frac1n\le L+1$ となる $y_n$ をとると、$(\ast)$ から
$$ \|x-y_n\|\le\frac{L+1-\langle g,x\rangle-c}{n-\|g\|_*}\to0 $$
である。$\varphi$ の下半連続性から $\varphi(x)\le\liminf_n\varphi(y_n)\le\liminf_n\bigl(\varphi_n(x)+\tfrac1n\bigr)=L$ となり、$\varphi(x)=L$ である。とくに $x\notin D(\varphi)$ なら $L< +\infty$ はありえない。
3：Fenchel共役 の例「ノルムの共役」と命題「共役の計算規則」の 2 から $(n\|\cdot\|)^*=I_{nB_*}$ である。$\|g\|_*< n$ より $g\in D(\varphi^*)\cap nB_*$（$\varphi^*(g)\le-c$）なので、thm-ic-conjugate が使えて $\varphi_n^*=\varphi^*+I_{nB_*}$ を得る。$\square$

$q:=\frac1{2\lambda}\|\cdot\|^2$ とおく。まず $q^*(f)=\frac\lambda2\|f\|_*^2$ を示す。$\langle f,x\rangle-\frac1{2\lambda}\|x\|^2\le\|f\|_*\|x\|-\frac1{2\lambda}\|x\|^2\le\frac\lambda2\|f\|_*^2$（$r\mapsto\|f\|_*r-\frac{r^2}{2\lambda}$ の最大値）である。逆に $0< \theta< 1$ について $\|u\|=1$、$\langle f,u\rangle\ge\theta\|f\|_*$ となる $u$ をとり（$E\neq\{0\}$ のとき、双対ノルムの定義から）、$x:=\lambda\|f\|_*u$ とすると $\langle f,x\rangle-q(x)\ge\lambda\|f\|_*^2(\theta-\frac12)$ であり、$\theta\uparrow1$ として $q^*(f)\ge\frac\lambda2\|f\|_*^2$ を得る（$E=\{0\}$ なら両辺とも $0$）。
Fenchel–Moreauの定理 の補題「連続アフィン下界の存在」により $D(\varphi^*)\neq\emptyset$ であり、$D(q^*)=E^*$ なので $D(\varphi^*)\cap D(q^*)\neq\emptyset$ である。thm-ic-conjugate により $e_\lambda\varphi$ は $-\infty$ をとらず、$(e_\lambda\varphi)^*=\varphi^*+q^*$ である。$D(q)=E$ なので $D(e_\lambda\varphi)=D(\varphi)+E=E$ であり、$e_\lambda\varphi$ は有限で、prop-ic-epigraph の 3 により凸である。$y=x$ とおけば $e_\lambda\varphi\le\varphi$ である。$\square$