はめ込みと埋め込み(可微分多様体)

アトラスであることの証明は、局所座標 の記事の命題（等位集合の多様体構造）の証明がそのまま使える。そこで使われているのは、各点のまわりに $\psi(V\cap S)=\psi(V)\cap(\mathbb{R}^k\times\{0\})$ となる座標近傍があることだけだからである（座標の並びは $\mathbb{R}^k\times\{0\}$ に合わせて読み替える）。要点は、$\pi\circ\psi$ が $V\cap S$ から $\mathbb{R}^k$ の開集合 $\{u\mid(u,0)\in\psi(V)\}$ への同相写像で逆写像が $u\mapsto\psi^{-1}(u,0)$ であること、座標変換が $u\mapsto\pi\bigl(\psi'\circ\psi^{-1}(u,0)\bigr)$ と $C^\infty$ 級写像の合成で書けることである。$S$ は Hausdorff かつ第 2 可算な空間 $N$ の部分空間なので、同じ性質をもつ。
包含写像の局所表示は $\psi\circ\iota\circ(\pi\circ\psi|_{V\cap S})^{-1}(u)=(u,0)$ であり、その Jacobi 行列 $\begin{pmatrix}I_k\\0\end{pmatrix}$ の階数は $k$ である。よって $\iota$ ははめ込みである。$S$ には部分空間位相を入れているので、$\iota\colon S\to\iota(S)=S$ は恒等写像として同相写像である。ゆえに $\iota$ は埋め込みである。$\square$

$p$ のまわりの座標近傍 $(U_0,\varphi_0)$ と $F(p)$ のまわりの座標近傍 $(V_0,\psi_0)$ を、$\varphi_0(p)=0$、$\psi_0(F(p))=0$、$F(U_0)\subset V_0$ となるようにとる（$U_0$ を $U_0\cap F^{-1}(V_0)$ に取り替え、座標を平行移動すればよい）。局所表示 $\hat F:=\psi_0\circ F\circ\varphi_0^{-1}\colon\varphi_0(U_0)\to\mathbb{R}^n$ の Jacobi 行列 $D\hat F(0)$ は $n\times m$ 行列で階数 $m$ なので、$m$ 本の行を選ぶと正則な $m\times m$ 小行列ができる。$\psi_0$ の成分を並べ替えても座標近傍であることは変わらないので、上の $m$ 行からなる小行列 $A$ が正則であるとしてよい。
開集合 $\varphi_0(U_0)\times\mathbb{R}^{n-m}\subset\mathbb{R}^n$ 上の $C^\infty$ 級写像
$$ G(x,y):=\hat F(x)+(0,y)\qquad(x\in\varphi_0(U_0),\ y\in\mathbb{R}^{n-m}) $$
を考える。$G(0,0)=0$ であり、Jacobi 行列はブロック表示で
$$ DG(0,0)=\begin{pmatrix}A&0\\ \ast&I_{n-m}\end{pmatrix} $$
なので、$\det DG(0,0)=\det A\neq0$ である。逆関数定理 の記事の定理（逆関数定理）により、$0$ を含む開集合 $W_0\subset\varphi_0(U_0)\times\mathbb{R}^{n-m}$ で、$G|_{W_0}$ が単射、$G(W_0)$ が開集合、逆写像が $C^\infty$ 級となるものがある。$W:=W_0\cap G^{-1}(\psi_0(V_0))$ も $0$ を含む開集合で、$G|_W$ は $W$ から開集合 $G(W)\subset\psi_0(V_0)$ への微分同相写像である。その逆写像を $H\colon G(W)\to W$ とする。
$V:=\psi_0^{-1}(G(W))$、$\psi:=H\circ\psi_0|_V$ とおく。$\psi$ は $V$ から開集合 $W$ への微分同相写像なので、$(V,\psi)$ は $N$ の座標近傍である（座標近傍と微分同相写像の合成は、もとの座標近傍と $C^\infty$ 級に両立する）。$U:=\{u\in U_0\mid(\varphi_0(u),0)\in W\}$、$\varphi:=\varphi_0|_U$ とおくと、$U$ は $p$ を含む開集合である。$x\in\varphi(U)$ なら $(x,0)\in W$ であり、$G(x,0)=\hat F(x)$ なので
$$ F(\varphi^{-1}(x))=\psi_0^{-1}(\hat F(x))=\psi_0^{-1}(G(x,0))\in V,\qquad\psi(F(\varphi^{-1}(x)))=H(G(x,0))=(x,0) $$
である。よって $F(U)\subset V$ で、局所表示は $x\mapsto(x,0)$ である。最後に、$U$ の定義から $\varphi(U)\times\{0\}=W\cap(\mathbb{R}^m\times\{0\})$ なので、$\psi(F(U))=\varphi(U)\times\{0\}=\psi(V)\cap(\mathbb{R}^m\times\{0\})$ である。$\square$

thm-imm-emb-local-form の $U$ をとる。$F|_U$ は開部分多様体 $U$ からのはめ込みである。$F|_U=\psi^{-1}\circ j\circ\varphi$（$j(x)=(x,0)$）は、同相写像 $\varphi\colon U\to\varphi(U)$、$\varphi(U)$ から $\varphi(U)\times\{0\}$ への同相写像 $j$、$\psi(V)$ から $V$ への同相写像 $\psi^{-1}$ の制限の合成なので、$U$ から $F(U)$ への同相写像である。$\square$

$p\in M$ とし、thm-imm-emb-local-form の座標近傍 $(U,\varphi)$、$(V,\psi)$ をとる。$F\colon M\to F(M)$ は同相写像なので、$F(U)$ は $F(M)$ の開集合であり、部分空間位相の定義により $N$ の開集合 $O$ で $F(U)=F(M)\cap O$ となるものがある。$V':=V\cap O$、$\psi':=\psi|_{V'}$ とおく。$F(U)\subset V$ なので
$$ V'\cap F(M)=V\cap\bigl(O\cap F(M)\bigr)=V\cap F(U)=F(U) $$
であり、したがって
$$ \psi'(V'\cap F(M))=\psi(F(U))\subset\psi(V')\cap(\mathbb{R}^m\times\{0\})\subset\psi(V)\cap(\mathbb{R}^m\times\{0\})=\psi(F(U)) $$
となる（最初の包含は $F(U)\subset V'$ と局所標準形の後半による）。両端が等しいので $\psi'(V'\cap F(M))=\psi(V')\cap(\mathbb{R}^m\times\{0\})$ であり、$(V',\psi')$ は $F(p)$ のまわりの $m$ スライス座標である。$p$ は任意なので、$F(M)$ は $m$ 次元の部分多様体である。
$F(M)$ の座標近傍 $(V'\cap F(M),\ \pi\circ\psi')$（$\pi$ は最初の $m$ 成分への射影）と $M$ の座標近傍 $(U,\varphi)$ に関する $F$ の局所表示は $\pi\circ\psi\circ F\circ\varphi^{-1}(x)=\pi(x,0)=x$、すなわち恒等写像であり、逆写像 $F^{-1}\colon F(M)\to M$ の局所表示も恒等写像である。$F$ は全単射で、$F$ と $F^{-1}$ はいずれも連続であり、各点のまわりで局所表示が $C^\infty$ 級なので（可微分多様体 の記事の命題（可微分性は座標の取り方によらない））、$F\colon M\to F(M)$ は微分同相写像である。逆の主張は prop-imm-emb-structure である。$\square$

$S$ には部分空間位相が入っているので、$S$ の開集合 $S\cap O$（$O$ は $N$ の開集合）の逆像 $G^{-1}(O)$ は開集合であり、$G\colon P\to S$ は連続である。$x\in P$ とし、$G(x)$ のまわりのスライス座標 $(V,\psi)$ と $x$ のまわりの座標近傍 $(U,\chi)$ で $G(U)\subset V$ となるものをとる。$S$ の座標近傍 $(V\cap S,\ \pi\circ\psi)$ に関する局所表示は
$$ (\pi\circ\psi)\circ G\circ\chi^{-1}=\pi\circ(\psi\circ G\circ\chi^{-1}) $$
であり、$C^\infty$ 級写像 $\psi\circ G\circ\chi^{-1}$ と線形写像 $\pi$ の合成なので $C^\infty$ 級である。可微分多様体 の記事の命題（可微分性は座標の取り方によらない）により $G\colon P\to S$ は $C^\infty$ 級である。$\square$

$S'$ を、そのような別の構造を入れた $S$ とし、包含写像を $\iota'\colon S'\to N$ とする。$S'$ の次元を $m'$ とする。$\iota'$ は埋め込みで像は $S$ なので、thm-imm-emb-image により $S$ は $m'$ 次元の部分多様体でもある。点 $p\in S$ のまわりの $k$ スライス座標 $(V,\psi)$ と $m'$ スライス座標 $(V',\psi')$ をとると、$u\mapsto\pi'\bigl(\psi'\circ\psi^{-1}(u,0)\bigr)$ は $\mathbb{R}^k$ の開集合から $\mathbb{R}^{m'}$ の開集合への $C^\infty$ 級の全単射で、逆写像も同じ形なので $C^\infty$ 級である（$\pi'$ は最初の $m'$ 成分への射影）。連鎖律によりその微分は線形同型なので $m'=k$ である。そこで、thm-imm-emb-image により $\iota'\colon S'\to S$（$S$ には prop-imm-emb-structure の構造を入れる）は微分同相写像である。$\iota'$ は集合としては恒等写像なので、恒等写像が 2 つの構造の間の微分同相写像であり、2 つの構造は同じ滑らかな座標近傍をもつ。$\square$

$N$ は Hausdorff 空間なので、閉写像 の記事の定理（コンパクト空間から Hausdorff 空間への連続写像は閉写像）により $F$ は閉写像である。とくに $F(M)$ は閉集合である。$F\colon M\to F(M)$ は連続な全単射で、$M$ の閉集合 $C$ に対し $F(C)$ は $N$ で閉なので $F(M)$ でも閉である。よって逆写像は連続であり、$F\colon M\to F(M)$ は同相写像である。はめ込みであることは仮定されているので、$F$ は閉埋め込みである。$\square$