2次形式と2次曲線の判別式

方針：$a\ne0$ のときは、次の恒等式を使う。
$$ 4a\,q(x,y)=(2ax+by)^2-D\,y^2\qquad(\ast) $$
（右辺を展開すると $4a^2x^2+4abxy+b^2y^2-b^2y^2+4acy^2=4a(ax^2+bxy+cy^2)$ である。）$a=0$ のときは直接調べる。3 つの結論（定値、符号が一定で原点以外でも $0$ になる、不定）は互いに両立しないので、「$D$ の符号 ⇒ 結論」を示せば、1 と 3 の逆向きが従う（2次方程式の判別式の正体 の主定理 2 と同じ論法、段 5）。2 の逆向き「1 次式の 2 乗の定数倍 ⇒ $D=0$」は係数を直接計算して示す（段 6）。
段 1（$D<0$ の場合）。$D=b^2-4ac<0$ なら $4ac>b^2\ge0$ なので $a\ne0$ である。$(\ast)$ の右辺は $(2ax+by)^2+(-D)y^2$ で、$-D>0$ なので $0$ 以上である。右辺が $0$ になるのは $y=0$ かつ $2ax+by=0$、つまり $y=0$ かつ $x=0$ のときだけである。よって $(x,y)\ne(0,0)$ なら $4a\,q(x,y)>0$ であり、$q(x,y)$ は $a$ と同じ符号をもつ。
段 2（$D=0$、$a\ne0$ の場合）。$(\ast)$ から $q(x,y)=\dfrac{(2ax+by)^2}{4a}=a\left(x+\dfrac b{2a}y\right)^2$ で、1 次式の 2 乗の定数倍である。値は $a$ と同じ符号か $0$ で、$0$ になるのは直線 $2ax+by=0$ の上である。
段 3（$D>0$、$a\ne0$ の場合）。$d=\sqrt D>0$ とすると、$(\ast)$ は和と差の積に分解できて
$$ 4a\,q(x,y)=\bigl(2ax+(b-d)y\bigr)\bigl(2ax+(b+d)y\bigr) $$
である。2 つの 1 次式は $y$ の係数が $b-d\ne b+d$ で $x$ の係数が同じなので、比例しない。したがって $q$ は 2 本の異なる直線の上で $0$ になる。符号については、
$$ q(1,0)=a,\qquad q(-b,2a)=ab^2-2ab^2+4a^2c=-a(b^2-4ac)=-aD $$
で、$D>0$ なので $q(1,0)$ と $q(-b,2a)$ は符号が逆である。よって $q$ は不定である。
段 4（$a=0$ の場合）。$D=b^2\ge0$ なので $D<0$ にはならない。$D=0$ なら $b=0$ で、$(a,b,c)\ne(0,0,0)$ より $c\ne0$ なので、$q=cy^2$ は 1 次式 $y$ の 2 乗の定数倍であり、直線 $y=0$ の上でだけ $0$ になる。$D>0$ なら $b\ne0$ で、$q=y(bx+cy)$ は比例しない 2 つの 1 次式の積である。$y=1$ とおくと $q(x,1)=bx+c$ は、$x$ を大きくしたときと小さくしたときで符号が逆になるので、$q$ は不定である。
段 5（1 と 3 の逆向き）。「定値」「いつも $0$ 以上（またはいつも $0$ 以下）で、原点以外の点でも $0$ になる」「不定」の 3 つは、どの 2 つも同時には成り立たない。段 1〜4 で $D<0,\ D=0,\ D>0$ のそれぞれからこの順に結論が出た。したがって、$q$ が定値なら、$D=0$ だと原点以外の点で $0$ になり、$D>0$ だと不定になって、どちらも矛盾するので $D<0$ である。$q$ が不定なら、$D<0$ だと定値、$D=0$ だといつも $0$ 以上かいつも $0$ 以下になって、どちらも矛盾するので $D>0$ である。
段 6（2 の逆向き）。$q$ が 1 次式の 2 乗の定数倍、つまり $q=k(ux+vy)^2$（$k\ne0$、$(u,v)\ne(0,0)$）と書けるとする。展開すると
$$ q=ku^2x^2+2kuv\,xy+kv^2y^2 $$
なので $a=ku^2$、$b=2kuv$、$c=kv^2$ であり、
$$ D=(2kuv)^2-4\cdot ku^2\cdot kv^2=4k^2u^2v^2-4k^2u^2v^2=0 $$
である。$\square$

方針：$a',b',c'$ を $a,b,c$ と $\alpha,\beta,\gamma,\delta$ で書き、$b'^2-4a'c'$ を $a^2,b^2,c^2,ab,ac,bc$ の係数ごとに整理する。
段 1（新しい係数）。$q(\alpha X+\beta Y,\ \gamma X+\delta Y)$ を展開して $X^2$、$XY$、$Y^2$ の係数を集める。$(\alpha X+\beta Y)^2$ は $\alpha^2X^2+2\alpha\beta XY+\beta^2Y^2$、$(\alpha X+\beta Y)(\gamma X+\delta Y)$ は $\alpha\gamma X^2+(\alpha\delta+\beta\gamma)XY+\beta\delta Y^2$、$(\gamma X+\delta Y)^2$ は $\gamma^2X^2+2\gamma\delta XY+\delta^2Y^2$ なので
$$ a'=a\alpha^2+b\alpha\gamma+c\gamma^2,\qquad b'=2a\alpha\beta+b(\alpha\delta+\beta\gamma)+2c\gamma\delta,\qquad c'=a\beta^2+b\beta\delta+c\delta^2 $$
である。
段 2（係数ごとに比べる）。$b'^2$ と $4a'c'$ を展開し、$a,b,c$ の 2 次の単項式ごとに係数を並べる。

各行の求め方は次のとおりである。

• $a^2$：$b'^2$ では $(2a\alpha\beta)^2$、$4a'c'$ では $4\cdot a\alpha^2\cdot a\beta^2$ から。
• $c^2$：同じく $(2c\gamma\delta)^2$ と $4\cdot c\gamma^2\cdot c\delta^2$ から。
• $b^2$：$b'^2$ では $\bigl(b(\alpha\delta+\beta\gamma)\bigr)^2$、$4a'c'$ では $4\cdot b\alpha\gamma\cdot b\beta\delta$ から。差は $(\alpha\delta)^2+2\alpha\beta\gamma\delta+(\beta\gamma)^2-4\alpha\beta\gamma\delta=(\alpha\delta-\beta\gamma)^2$ である。
• $ab$：$b'^2$ では $2\cdot2a\alpha\beta\cdot b(\alpha\delta+\beta\gamma)$、$4a'c'$ では $4(a\alpha^2\cdot b\beta\delta+b\alpha\gamma\cdot a\beta^2)$ から。後者は $4\alpha\beta(\alpha\delta+\beta\gamma)$ に等しいので差は $0$ である。
• $bc$：$ab$ と同じで、$2\cdot b(\alpha\delta+\beta\gamma)\cdot2c\gamma\delta$ と $4(b\alpha\gamma\cdot c\delta^2+c\gamma^2\cdot b\beta\delta)=4\gamma\delta(\alpha\delta+\beta\gamma)\,bc$ の差は $0$ である。
• $ac$：$b'^2$ では $2\cdot2a\alpha\beta\cdot2c\gamma\delta$、$4a'c'$ では $4(a\alpha^2\cdot c\delta^2+c\gamma^2\cdot a\beta^2)$ から。差は $-4(\alpha^2\delta^2-2\alpha\beta\gamma\delta+\beta^2\gamma^2)=-4(\alpha\delta-\beta\gamma)^2$ である。
  段 3（まとめ）。差の列を足すと
  $$ b'^2-4a'c'=(\alpha\delta-\beta\gamma)^2\,b^2-4(\alpha\delta-\beta\gamma)^2\,ac=(\alpha\delta-\beta\gamma)^2(b^2-4ac) $$
  である。$\square$

1 では $\alpha=\cos\theta$、$\beta=-\sin\theta$、$\gamma=\sin\theta$、$\delta=\cos\theta$ なので、$\alpha\delta-\beta\gamma=\cos^2\theta+\sin^2\theta=1$ である。2 では $(\alpha\delta-\beta\gamma)^2=1$ である。どちらも thm-fdsc-invariance により $b'^2-4a'c'=b^2-4ac$ である。$\square$

方針：1 は展開して $t^2$ の項だけを集める。2 は thm-fdsc-sign で $q=0$ となる点の集合を読む。
段 1。$t^2$ を含む項は $q$ の部分からしか出ない（$dx+ey+f$ は $t$ について 1 次以下）。
$$ a(x_0+tu)^2,\qquad b(x_0+tu)(y_0+tv),\qquad c(y_0+tv)^2 $$
の $t^2$ の係数はそれぞれ $au^2$、$buv$、$cv^2$ なので、合計は $au^2+buv+cv^2=q(u,v)$ である。
段 2。$q(u,v)=0$ となる $(u,v)\ne(0,0)$ の集合は、thm-fdsc-sign により、$D<0$ なら空（定値なので原点以外で $0$ にならない）、$D=0$ なら原点を通る 1 本の直線から原点を除いたもの、$D>0$ なら原点を通る 2 本の直線から原点を除いたものである。向きとしては、それぞれ $0$ 本、$1$ 本、$2$ 本である。$\square$

方針：$4ac$ は $4$ の倍数なので、$D$ を $4$ で割った余りは $b^2$ を $4$ で割った余りに等しい。$b^2$ の余りを $b$ の偶奇で調べる。
段 1。$b$ が偶数なら $b=2m$（$m$ は整数）と書けて、$b^2=4m^2$ の余りは $0$ である。
段 2。$b$ が奇数なら $b=2m+1$ と書けて、$b^2=4m^2+4m+1=4(m^2+m)+1$ の余りは $1$ である。$\square$

方針：1 は thm-fdsc-invariance から出る。2 は、置き換えとその逆がどちらも整数の組を整数の組に写すことを使う。
段 1（判別式）。$\alpha\delta-\beta\gamma=\pm1$ なので $(\alpha\delta-\beta\gamma)^2=1$ であり、thm-fdsc-invariance により判別式は等しい。
段 2（$q'$ が表す数は $q$ も表す）。$n=q'(X_0,Y_0)$（$X_0,Y_0$ は整数）とする。$x_0=\alpha X_0+\beta Y_0$、$y_0=\gamma X_0+\delta Y_0$ は整数で、$q'$ の作り方から $q(x_0,y_0)=q'(X_0,Y_0)=n$ である。
段 3（逆の置き換え）。$e:=\alpha\delta-\beta\gamma=\pm1$ とし、整数 $x_0,y_0$ に対して
$$ X_0=e(\delta x_0-\beta y_0),\qquad Y_0=e(-\gamma x_0+\alpha y_0) $$
とおく。これらは整数である。$e^2=1$ を使うと
$$ \alpha X_0+\beta Y_0=e\bigl((\alpha\delta-\beta\gamma)x_0\bigr)=e^2x_0=x_0,\qquad \gamma X_0+\delta Y_0=e\bigl((\alpha\delta-\beta\gamma)y_0\bigr)=e^2y_0=y_0 $$
である（たとえば 1 つ目は $e(\alpha\delta x_0-\alpha\beta y_0-\beta\gamma x_0+\alpha\beta y_0)$ を整理した）。
段 4（$q$ が表す数は $q'$ も表す）。$n=q(x_0,y_0)$ とし、段 3 の $X_0,Y_0$ をとる。段 3 により $x_0=\alpha X_0+\beta Y_0$、$y_0=\gamma X_0+\delta Y_0$ なので、$q'(X_0,Y_0)=q(x_0,y_0)=n$ である。$\square$