三角形の面積の公式

$\mathrm B(0,0)$、$\mathrm C(14,0)$、$\mathrm A(5,12)$ を頂点とする三角形では、底辺 $\mathrm{BC}=14$ は $x$ 軸の上にあり、高さは $\mathrm A$ の $y$ 座標 $12$ である。よって
$$ S=\frac12\cdot14\cdot12=84 $$
である。3 辺の長さは、2 点間の距離の公式で
$$ a=\mathrm{BC}=14,\qquad b=\mathrm{CA}=\sqrt{(14-5)^2+12^2}=\sqrt{225}=15,\qquad c=\mathrm{AB}=\sqrt{5^2+12^2}=\sqrt{169}=13 $$
である。この 3 辺 $13,14,15$ の三角形を、この記事では何度も使う。

3 辺が $4,5,6$ の三角形の面積はいくつだろうか。辺 $6$ を底辺にしても、向かいの頂点から下ろした垂線の長さはすぐには分からない。3 辺の長さだけから面積を出す方法が要る。答えは $S=\dfrac{15\sqrt7}4$ で、ex-taf-heron で求める。

1. $b=4$、$c=5$、$A=150^\circ$。$\sin150^\circ=\sin30^\circ=\dfrac12$ なので $S=\dfrac12\cdot4\cdot5\cdot\dfrac12=5$ である。
2. $b=2\sqrt2$、$c=3$、$A=45^\circ$。$S=\dfrac12\cdot2\sqrt2\cdot3\cdot\dfrac{\sqrt2}2=\dfrac{2\cdot3\cdot2}{4}=3$ である。
3. ex-taf-height-visible の三角形（$a=14$、$c=13$）で、角 $B$ を使って確かめる。$\mathrm B$ から $\mathrm A(5,12)$ までの距離が $13$ なので、三角比と鈍角への拡張 の注意「半径 r の円で考えてもよい」により $\sin B=\dfrac{12}{13}$ である。$S=\dfrac12ca\sin B=\dfrac12\cdot13\cdot14\cdot\dfrac{12}{13}=84$ で、ex-taf-height-visible と一致する。

1. 3 辺 $13,14,15$。$s=\dfrac{42}2=21$ で、$a=14$、$b=15$、$c=13$ とすると $s-a,s-b,s-c$ は $7,6,8$ なので
   $$ S=\sqrt{21\cdot7\cdot6\cdot8}=\sqrt{7056}=84 $$
   である。ex-taf-height-visible の値と一致する。同じ $a,b,c$ を証明の段 3 の式に代入すると $p=\dfrac{196+169-225}{28}=\dfrac{140}{28}=5$ で、図 1 の $\mathrm A(5,12)$ の $x$ 座標が出てくる。
2. 3 辺 $5,5,6$。$s=8$ で、$S=\sqrt{8\cdot3\cdot3\cdot2}=\sqrt{144}=12$ である。二等辺三角形なので、底辺 $6$ の中点に下ろした高さ $\sqrt{5^2-3^2}=4$ から $S=\dfrac12\cdot6\cdot4=12$ とも求まる。
3. 3 辺 $4,5,6$（ex-taf-height-hidden）。$s=\dfrac{15}2$ で
   $$ S=\sqrt{\frac{15}2\cdot\frac72\cdot\frac52\cdot\frac32}=\sqrt{\frac{15\cdot7\cdot5\cdot3}{16}}=\frac{\sqrt{1575}}4=\frac{15\sqrt7}4 $$
   である（$1575=15^2\cdot7$）。証明のとおり $a=6$、$b=5$、$c=4$ として座標をおくと、$p=\dfrac{36+16-25}{12}=\dfrac94$、$q^2=16-\dfrac{81}{16}=\dfrac{175}{16}$、$q=\dfrac{5\sqrt7}4$ で、$S=\dfrac12\cdot6\cdot\dfrac{5\sqrt7}4=\dfrac{15\sqrt7}4$ と一致する。
4. 3 辺 $2,3,4$。$s=\dfrac92$ で、$S=\sqrt{\dfrac92\cdot\dfrac52\cdot\dfrac32\cdot\dfrac12}=\dfrac{\sqrt{135}}4=\dfrac{3\sqrt{15}}4$ である。

1. 3 辺 $13,14,15$。$S=84$、$s=21$ なので $r=\dfrac{84}{21}=4$ である。図 2 の座標（$\mathrm B(0,0)$、$\mathrm C(14,0)$、$\mathrm A(5,12)$）では内心は $\mathrm I(6,4)$ で、$x$ 軸（直線 $\mathrm{BC}$）までの距離はたしかに $4$ である。直線 $\mathrm{AB}$ は $12x-5y=0$ なので、点と直線の距離の公式で $\dfrac{\lvert12\cdot6-5\cdot4\rvert}{\sqrt{12^2+5^2}}=\dfrac{52}{13}=4$ である。直線 $\mathrm{AC}$ は $4x+3y=56$ なので、同じく $\dfrac{\lvert4\cdot6+3\cdot4-56\rvert}{\sqrt{4^2+3^2}}=\dfrac{20}5=4$ である。$(6,4)$ は三角形の内部の点で、3 辺の直線から等しい距離 $4$ にあるので内心であり、$r=4$ はこの計算だけからも出る（面積を使っていない）。$(6,4)$ を距離の式から求める計算は、三角形の内心と傍心 の例「3 辺からの距離が等しい点を方程式で求める」にある（同じ座標で、面積を使わずに $(6,4)$ を出している）。
2. 3 辺 $3,4,5$ の直角三角形。$S=\dfrac12\cdot3\cdot4=6$、$s=6$ なので $r=1$ である。
3. 3 辺 $5,5,6$。$S=12$、$s=8$ なので $r=\dfrac{12}8=\dfrac32$ である。

1. 3 辺 $13,14,15$。$R=\dfrac{13\cdot14\cdot15}{4\cdot84}=\dfrac{2730}{336}=\dfrac{65}8$ である。座標で確かめる。外心 $\mathrm O$ は辺 $\mathrm{BC}$ の垂直二等分線 $x=7$ の上にある。$\mathrm O(7,t)$ とおいて $\mathrm{OB}^2=\mathrm{OA}^2$ とすると $49+t^2=(7-5)^2+(t-12)^2=4+t^2-24t+144$ で、$24t=99$、$t=\dfrac{33}8$ である。$R^2=\mathrm{OB}^2=49+\dfrac{1089}{64}=\dfrac{3136+1089}{64}=\dfrac{4225}{64}$ なので $R=\dfrac{65}8$ で、一致する。
2. 3 辺 $5,5,6$。$R=\dfrac{5\cdot5\cdot6}{4\cdot12}=\dfrac{150}{48}=\dfrac{25}8$ である。

1. $\mathrm A(1,1)$、$\mathrm B(5,2)$、$\mathrm C(2,4)$。$\mathrm A$ が原点に来るように全体を $(-1,-1)$ だけ平行移動すると、$\mathrm B$ は $(4,1)$、$\mathrm C$ は $(1,3)$ に移る。$S=\dfrac12\lvert4\cdot3-1\cdot1\rvert=\dfrac{11}2$ である。
2. 3 辺 $13,14,15$ の三角形で、$\mathrm B$ を原点とすると $\mathrm C(14,0)$、$\mathrm A(5,12)$ なので、$S=\dfrac12\lvert14\cdot12-5\cdot0\rvert=84$ である。

$\mathrm B(0,0)$、$\mathrm C(14,0)$、$\mathrm A(5,12)$、$a=14$、$b=15$、$c=13$、$s=21$ とする。

$r=4$ は内心 $(6,4)$ から 3 辺の直線までの距離として（ex-taf-inradius の (1) の後半）、$R=\dfrac{65}8$ は外心の座標から（ex-taf-circumradius）、面積を使わずに求めた値である。6 通りの計算はすべて $84$ になる。逆に、面積を 1 つの方法で求めておけば、$r=\dfrac Ss$、$R=\dfrac{abc}{4S}$、高さ $h_b=\dfrac{2S}b=\dfrac{168}{15}=\dfrac{56}5$ などがすぐに出る。

3 辺 $4,5,6$ の三角形で、辺 $4$ に下ろした高さ $h$ を求める。ex-taf-heron の (3) で $S=\dfrac{15\sqrt7}4$ だったので、$\dfrac12\cdot4\cdot h=\dfrac{15\sqrt7}4$ から
$$ h=\frac{15\sqrt7}8 $$
である。同じく、内接円の半径は $r=\dfrac Ss=\dfrac{15\sqrt7/4}{15/2}=\dfrac{\sqrt7}2$、外接円の半径は $R=\dfrac{4\cdot5\cdot6}{4S}=\dfrac{120}{15\sqrt7}=\dfrac8{\sqrt7}=\dfrac{8\sqrt7}7$ である。

1. 長さ $1,2,4$ を $a,b,c$ として thm-taf-heron の右辺を計算すると、$a+b+c=7$、$-a+b+c=5$、$a-b+c=3$、$a+b-c=-1$ で、
   $$ 16S^2=7\cdot5\cdot3\cdot(-1)=-105<0 $$
   となる。2 乗が負の実数はないので、面積は求まらない。実際 $1+2<4$ で、三角不等式 $c< a+b$ が崩れており、この 3 つの長さでは三角形ができない。
2. 長さ $1,2,3$ では $a+b-c=0$ なので $16S^2=6\cdot4\cdot2\cdot0=0$ である。長さ $1$ と $2$ の線分をつなぐと、ちょうど長さ $3$ の線分に重なり、3 点が一直線に並ぶ（つぶれた三角形）。面積 $0$ は、この様子を正しく表している。

3 辺 $3,4,5$ の直角三角形（$a=3$、$b=4$、$c=5$、$C=90^\circ$）の面積は $\dfrac12\cdot3\cdot4=6$ である。角 $A$ は辺 $b$ と $c$ の間の角で、$\sin A=\dfrac35$ である。$A$ を辺 $a=3$ と $b=4$ の組に使って $\dfrac12ab\sin A$ を計算すると $\dfrac12\cdot3\cdot4\cdot\dfrac35=\dfrac{18}5$ となり、$6$ と違う。prf-taf-sine で高さが $b\sin A$ になったのは、$A$ が底辺 $c$ と辺 $b$ の間の角だったからである。正しくは $\dfrac12bc\sin A=\dfrac12\cdot4\cdot5\cdot\dfrac35=6$ である。

ex-taf-coord の (1) で、平行移動後の 2 点の順番を入れ替え、$\mathrm P(1,3)$、$\mathrm Q(4,1)$ として絶対値を外した式を計算すると
$$ \frac12(x_1y_2-x_2y_1)=\frac12(1\cdot1-4\cdot3)=-\frac{11}2 $$
で、負になる。順番が $(4,1)$、$(1,3)$ のときは $+\dfrac{11}2$ だった。原点から見て $\mathrm P$ から $\mathrm Q$ へ反時計回りに回るとき正、時計回りのとき負になる。この符号付きの値を 符号付き面積 という（1次変換と行列式：面積の拡大率）。面積そのものが欲しいときは絶対値をとる。多角形の面積を求める 靴ひも公式 では、逆にこの符号を利用して、三角形の符号付き面積を足し引きする。

4 辺がすべて $1$ の四角形を考える。正方形なら面積は $1$ である。1 つの角が $30^\circ$ のひし形は、対角線で 2 つの合同な三角形に分けると、どちらも 2 辺 $1,1$ と間の角 $30^\circ$ の三角形なので、thm-taf-sine により面積は $2\cdot\dfrac12\cdot1\cdot1\cdot\sin30^\circ=\dfrac12$ である（図 3）。辺の長さが同じでも面積は違う。三角形では 3 辺で形が 1 つに決まる（余弦定理（高校数学） の系「3 辺で角が決まる」）ので Heron の公式があるが、四角形は 4 辺を決めても角を変えて変形できるので、4 辺だけの面積の公式はない。円に内接する四角形に限ると形が決まり、Brahmagupta の公式がある（rem-taf-brahmagupta）。