素点

同義語：place

概要

前提知識: 代数体, 付値, Ostrowskiの定理, Dedekind整域

有理数の大きさは、通常の絶対値 $|x|_\infty$ でも、素数 $p$ ごとの $p$ 進絶対値 $|x|_p=p^{-v_p(x)}$ でも測れ、Ostrowskiの定理によれば $\mathbb{Q}$ の上の測り方は冪の違いを除いてこれらで尽きる。測り方を冪の違いを除いて同一視した類を素点という。$\mathbb{Q}$ の素点は素数 $2,3,5,\dots$ と記号 $\infty$ で番号づけられ、素数と $\infty$ を同じ資格で並べるこの見方が、局所大域原理やアデール環の出発点になる。
代数体 $K$ でも素点は具体的に決まる。非アルキメデス的な素点（有限素点）は整数環 $\mathcal{O}_K$ の $0$ でない素イデアルと 1 対 1 に対応し、アルキメデス的な素点（無限素点）は $K$ から $\mathbb{C}$ への埋め込みを複素共役で同一視したものと 1 対 1 に対応する。この記事では、素点を一般の体について定義し、代数体の素点のこの分類を証明する。

結果	内容
thm-plc-finite	有限素点 $\leftrightarrow$ $\mathcal{O}_K$ の $0$ でない素イデアル $\mathfrak{p}$。代表は $\lvert x\rvert_{\mathfrak{p}}=N(\mathfrak{p})^{-v_{\mathfrak{p}}(x)}$
thm-plc-infinite	無限素点 $\leftrightarrow$ 埋め込み $K\to\mathbb{C}$ の共役類。全部で $r_1+r_2$ 個、完備化は $\mathbb{R}$ か $\mathbb{C}$
prop-plc-restriction	素点を $\mathbb{Q}$ に制限すると、ある素数 $p$ の素点か $\infty$ になる
ex-plc-counterexamples	$\mathbb{Q}$ 上有限次でない体、整閉でない部分環、共役を区別した埋め込み、のそれぞれで対応が崩れる

定義

体 $K$ の 絶対値 とは、写像 $|\cdot|\colon K\to\mathbb{R}_{\ge0}$ で、$|x|=0\iff x=0$、$|xy|=|x|\,|y|$、$|x+y|\le|x|+|y|$ を満たすものをいう（付値の定義「体の絶対値」）。強三角不等式 $|x+y|\le\max\{|x|,|y|\}$ を満たすものを 非アルキメデス的、満たさないものを アルキメデス的 という。$0$ でない元でつねに $1$ になる絶対値を 自明な絶対値 という。2 つの絶対値は、$d(x,y)=|x-y|$ の定める位相が同じとき同値という。自明でない絶対値については、同値であることは、ある $s>0$ ですべての $x$ について $|x|_2=|x|_1^{\,s}$ となることと同値であり、また「$|x|_1<1$ ならば $|x|_2<1$」とも同値である（付値の定理「絶対値が同値であるための条件」）。

素点

体 $K$ の自明でない絶対値の同値類を、$K$ の素点（place）という。素点 $v$ に属する絶対値を $|\cdot|_v$ と書き、$v$ の代表という。

代表が非アルキメデス的な素点を 有限素点（非アルキメデス的素点）、アルキメデス的な素点を 無限素点（アルキメデス的素点）という。無限素点であることを $v\mid\infty$、有限素点であることを $v\nmid\infty$ と書く。
$K$ を $|\cdot|_v$ について完備化した体を $K_v$ と書き、$v$ での 完備化 という。
有限素点 $v$ について、$\mathcal{O}_v:=\{x\in K\mid |x|_v\le1\}$ を $v$ の 付値環、$\mathfrak{m}_v:=\{x\in K\mid |x|_v<1\}$ をその極大イデアルという。

これらは代表の選び方によらない。同値な絶対値は同じ位相をもつので、同じ Cauchy 列と同じ完備化を与える（完備化の構成は完備距離空間と同じ Cauchy 列の同値類による）。$|x|_2=|x|_1^{\,s}$ なら $|x|_1\le1\iff|x|_2\le1$ なので、$\mathcal{O}_v$ と $\mathfrak{m}_v$ も代表によらない。非アルキメデス的であることは「整数の像 $n\cdot1$ の絶対値の集合が有界」と同値であり（付値の定理「非アルキメデス的であるための条件」）、有界性は冪をとっても変わらないので、有限か無限かも代表によらない。
有限素点 $v$ の $\mathcal{O}_v$ は付値環であり（$x\ne0$ なら $|x|_v\le1$ か $|x^{-1}|_v\le1$）、強三角不等式から $\mathfrak{m}_v$ はそのただ 1 つの極大イデアルである。

代数体の素点の代表

以下、$K$ を次数 $n$ の代数体、$\mathcal{O}_K$ をその整数環とする。$K$ から $\mathbb{C}$ への体の準同型を 埋め込み といい、像が $\mathbb{R}$ に入るものを実埋め込み、入らないものを複素埋め込みという。実埋め込みの個数を $r_1$、複素埋め込みの個数の半分を $r_2$ とすると $r_1+2r_2=n$ である（代数体の定理「埋め込みの個数と符号数」）。複素埋め込み $\sigma$ と、複素共役を合成した $\bar\sigma(x):=\overline{\sigma(x)}$ は異なる埋め込みである。
埋め込みからくる絶対値。 埋め込み $\sigma$ について $|x|_\sigma:=|\sigma(x)|$ とおく。$\sigma$ は単射な環準同型なので、これは $K$ のアルキメデス的な絶対値である（$|2|_\sigma=2>\max\{1,1\}$）。$|\bar\sigma(x)|=|\overline{\sigma(x)}|=|\sigma(x)|$ なので、$|\cdot|_\sigma=|\cdot|_{\bar\sigma}$ である。
素イデアルからくる絶対値。 $\mathfrak{p}$ を $\mathcal{O}_K$ の $0$ でない素イデアルとする。$\mathcal{O}_K$ は Dedekind 整域なので、局所化 $\mathcal{O}_{K,\mathfrak{p}}:=\{a/s\mid a\in\mathcal{O}_K,\ s\in\mathcal{O}_K\setminus\mathfrak{p}\}$ は離散付値環である（Dedekind整域の定理「Noether整域におけるDedekind整域の特徴づけ」）。その正規化された付値（素元の付値が $1$）を $v_{\mathfrak{p}}\colon K^\times\to\mathbb{Z}$ と書く。$0$ でない $a\in\mathcal{O}_K$ では、$v_{\mathfrak{p}}(a)$ は単項イデアル $a\mathcal{O}_K$ の素イデアル分解での $\mathfrak{p}$ の指数である（分解を局所化すると $\mathfrak{q}\ne\mathfrak{p}$ の因子は単位イデアルになる）。剰余環 $\mathcal{O}_K/\mathfrak{p}$ は有限体で、その元の個数 $N(\mathfrak{p})$ はある素数 $p$ の冪であり、$\mathfrak{p}\cap\mathbb{Z}=p\mathbb{Z}$ である（イデアル類群の命題「素イデアルのノルム」）。
$$ |x|_{\mathfrak{p}}:=N(\mathfrak{p})^{-v_{\mathfrak{p}}(x)}\quad(x\ne0),\qquad |0|_{\mathfrak{p}}:=0 $$
とおくと、これは非アルキメデス的な絶対値であり（付値の命題「付値と絶対値の対応」）、素元 $\pi$ について $|\pi|_{\mathfrak{p}}=N(\mathfrak{p})^{-1}<1$ なので自明でない。これを $\mathfrak{p}$ 進絶対値 という。

直感

素点は「元が小さいとはどういうことか」の物差しの種類である。有限素点 $\mathfrak{p}$ では $\mathfrak{p}$ で何回割り切れるかが、無限素点では埋め込んだ先の複素数としての大きさが、小ささを測る。代数体は $\mathbb{Q}$ 上有限次なので、$\mathbb{Q}$ の各素点の「上に」素点は有限個しかなく、完備化は $\mathbb{R}$、$\mathbb{C}$、$\mathbb{Q}_p$ の有限次拡大のどれかになる。

代数体の素点の分類

有限素点

有限素点の付値環は整数環を含む

$K$ を代数体、$v$ を $K$ の有限素点とする。このとき $\mathcal{O}_K\subset\mathcal{O}_v$ であり、$\mathfrak{p}_v:=\mathfrak{m}_v\cap\mathcal{O}_K=\{x\in\mathcal{O}_K\mid |x|_v<1\}$ は $\mathcal{O}_K$ の $0$ でない素イデアルである。さらに $x\in\mathcal{O}_K\setminus\mathfrak{p}_v$ ならば $|x|_v=1$ である。

整閉性で整数環を取り込む

$|\cdot|_v$ は非アルキメデス的なので、すべての整数 $m$ について $|m|_v\le1$ であり（付値の定理「非アルキメデス的であるための条件」）、$\mathbb{Z}\subset\mathcal{O}_v$ である。$\mathcal{O}_K$ の元は $\mathbb{Z}$ 係数のモニック多項式の根なので $\mathcal{O}_v$ 上整であり、付値環は整閉なので（付値環の命題「付値環は整閉」）$\mathcal{O}_K\subset\mathcal{O}_v$ である。
$\mathfrak{p}_v$ は $\mathcal{O}_v$ の素イデアル $\mathfrak{m}_v$ の引き戻しなので、$\mathcal{O}_K$ の素イデアルである。$\mathfrak{p}_v=0$ と仮定すると、$0$ でない $x\in\mathcal{O}_K$ はすべて $|x|_v=1$ を満たす。$K$ の元は $a/b$（$a\in\mathcal{O}_K$、$b\in\mathbb{Z}\setminus\{0\}$）と書けるので（$\alpha\in K$ が整数係数の式 $c_m\alpha^m+\dots+c_1\alpha+c_0=0$、$c_m\ne0$ を満たすなら、両辺に $c_m^{m-1}$ を掛けると $c_m\alpha$ はモニックな整数係数の多項式の根になるので、$b=c_m$ とすれば $b\alpha\in\mathcal{O}_K$）、$K^\times$ のすべての元で $|\cdot|_v=1$ となり、$|\cdot|_v$ が自明でないことに反する。最後の主張は、$x\in\mathcal{O}_K\subset\mathcal{O}_v$ から $|x|_v\le1$ であり、$|x|_v<1$ なら $x\in\mathfrak{p}_v$ となることによる。$\square$

有限素点と素イデアルの対応

$K$ を代数体とする。

$\mathcal{O}_K$ の $0$ でない素イデアル $\mathfrak{p}$ について、$\mathfrak{p}$ 進絶対値 $|\cdot|_{\mathfrak{p}}$ は $K$ の有限素点を定める。
有限素点 $v$ と $\mathfrak{p}_v=\mathfrak{m}_v\cap\mathcal{O}_K$ について、$v$ の代表は $|\cdot|_{\mathfrak{p}_v}$ の正の冪である。
$\mathfrak{p}\mapsto[\,|\cdot|_{\mathfrak{p}}\,]$ と $v\mapsto\mathfrak{p}_v$ は、$\mathcal{O}_K$ の $0$ でない素イデアル全体と $K$ の有限素点全体の間の、互いに逆な全単射である。このとき $\mathcal{O}_v=\mathcal{O}_{K,\mathfrak{p}}$ である。

局所化の素元の絶対値で決まる

1 は定義のあとの段落で示した。
2：$\mathfrak{p}:=\mathfrak{p}_v$ とし、$\mathcal{O}_{K,\mathfrak{p}}$ の素元 $\pi$ を $\mathcal{O}_K$ の中からとる（分母の単元を掛けてよい）。$\pi\in\mathfrak{p}$ なので $0<|\pi|_v<1$ である。$x\in K^\times$ は $x=u\pi^k$（$k=v_{\mathfrak{p}}(x)$、$u$ は $\mathcal{O}_{K,\mathfrak{p}}$ の単元）と書ける（離散付値環の命題「離散付値環の基本構造」）。$u$ は単元なので $u=a/s$（$a,s\in\mathcal{O}_K\setminus\mathfrak{p}$）と書け、lem-plc-contains-ok により $|a|_v=|s|_v=1$、よって $|u|_v=1$ である。したがって
$$ |x|_v=|\pi|_v^{\,v_{\mathfrak{p}}(x)}=\bigl(N(\mathfrak{p})^{-v_{\mathfrak{p}}(x)}\bigr)^{s}=|x|_{\mathfrak{p}}^{\,s},\qquad s:=\frac{-\log|\pi|_v}{\log N(\mathfrak{p})}>0 $$
である。
3：2 により $v=[\,|\cdot|_{\mathfrak{p}_v}\,]$ である。逆に $v=[\,|\cdot|_{\mathfrak{p}}\,]$ なら、$x\in\mathcal{O}_K$ について $|x|_{\mathfrak{p}}<1\iff v_{\mathfrak{p}}(x)\ge1\iff x\in\mathfrak{p}$ なので $\mathfrak{p}_v=\mathfrak{p}$ である。よって 2 つの写像は互いに逆である。付値環は $\{x\mid v_{\mathfrak{p}}(x)\ge0\}=\mathcal{O}_{K,\mathfrak{p}}$ である。$\square$

有限素点 $v=\mathfrak{p}$ の剰余体 $\mathcal{O}_v/\mathfrak{m}_v$ は $\mathcal{O}_K/\mathfrak{p}$ と同型な有限体で、完備化 $K_{\mathfrak{p}}$ は $p$ 進数体 $\mathbb{Q}_p$（$\mathfrak{p}\cap\mathbb{Z}=p\mathbb{Z}$）の有限次拡大、すなわち局所体である。この記事では証明しない（大域体の定理「大域体の素点」の 3 と、局所体の注意「大域体の完備化」）。以下、有限素点 $v$ とそれに対応する素イデアル $\mathfrak{p}$ を同じものとみなし、$v=\mathfrak{p}$ と書く。

無限素点

埋め込みからくる絶対値の同値

$K$ を $\mathbb{Q}$ を含む体とし、$\sigma,\tau\colon K\to\mathbb{C}$ を体の準同型とする。$|\cdot|_\sigma$ と $|\cdot|_\tau$ が同値であるのは、$\tau=\sigma$ または $\tau=\bar\sigma$ のときに限る。

閉包の上の連続な同型を調べる

要点：同値なら $|\tau(x)|=|\sigma(x)|$ となり、$\sigma(x)\mapsto\tau(x)$ が閉包の間の連続な体の同型に延びる。$\mathbb{R}$ を固定する連続な同型は恒等写像か複素共役しかない。

詳しい証明を開く

$\tau\in\{\sigma,\bar\sigma\}$ なら同値であることは定義のあとの段落で見た。逆に同値とし、$|\tau(x)|=|\sigma(x)|^s$（$s>0$）とする。$x=2$ を代入すると $2=2^s$ なので $s=1$ であり、すべての $x$ で $|\tau(x)|=|\sigma(x)|$ である。

$\varphi\colon\sigma(K)\to\tau(K)$ を $\varphi(\sigma(x)):=\tau(x)$ で定めると、$\varphi$ は体の同型で、$|\varphi(a)-\varphi(b)|=|\tau(x-y)|=|\sigma(x-y)|=|a-b|$（$a=\sigma(x)$、$b=\sigma(y)$）を満たす等長写像である。$A,B$ をそれぞれ $\sigma(K),\tau(K)$ の $\mathbb{C}$ での閉包とする。$A,B$ は $\mathbb{C}$ の部分体である（和・積・逆元は極限と交換する）。$\varphi$ は一様連続なので、等長で連続な写像 $\bar\varphi\colon A\to B$ に一意に延び、和と積を保つので体の準同型である。$\varphi$ は $\mathbb{Q}$ の元を動かさないので、$\bar\varphi$ は $\mathbb{Q}$ の閉包 $\mathbb{R}$ の元を動かさない。

$A\subset\mathbb{R}$ なら $A=\mathbb{R}$ で $\bar\varphi$ は恒等写像なので、$\tau(x)=\bar\varphi(\sigma(x))=\sigma(x)$ である。$A\not\subset\mathbb{R}$ なら、$A$ は $\mathbb{R}$ と実数でない元を含む部分体なので $A=\mathbb{C}$ である。$\bar\varphi(i)^2=-1$ から $\bar\varphi(i)=\pm i$ であり、$\bar\varphi(a+bi)=a\pm bi$（$a,b\in\mathbb{R}$）、すなわち $\bar\varphi$ は恒等写像か複素共役である。よって $\tau=\sigma$ または $\tau=\bar\sigma$ である。$\square$

無限素点と埋め込みの対応

$K$ を代数体とする。

$K$ の無限素点 $v$ には、$|\cdot|_v$ が $|\cdot|_\sigma$ の正の冪になる埋め込み $\sigma\colon K\to\mathbb{C}$ がある。
$\sigma\mapsto[\,|\cdot|_\sigma\,]$ は、「実埋め込み全体」と「複素共役で移り合う複素埋め込みの組 $\{\sigma,\bar\sigma\}$ 全体」の和集合から、$K$ の無限素点全体への全単射を引き起こす。とくに無限素点はちょうど $r_1+r_2$ 個ある。
無限素点 $v=[\,|\cdot|_\sigma\,]$ の完備化 $K_v$ は、$\sigma$ が実埋め込みなら $\mathbb{R}$、複素埋め込みなら $\mathbb{C}$ に同型である。この同型で、$K_v$ の絶対値は通常の絶対値の正の冪に移る。

完備なアルキメデス的体の分類に帰着する

1：$|\cdot|_v$ の $K_v$ への延長もアルキメデス的である（$\{|m|_v\mid m\in\mathbb{Z}\}$ は有界でない）。完備なアルキメデス的体の分類（Ostrowskiの定理の定理「完備なアルキメデス的体」。証明は Neu99 Chapter II, (4.2) Theorem, pp. 124–125）により、体の同型 $\rho\colon K_v\to\mathbb{R}$ または $\mathbb{C}$ と $0< s\le1$ があって、$|a|_v=|\rho(a)|^s$（$a\in K_v$）となる。$\sigma:=\rho|_K$ は埋め込みで、$|x|_v=|x|_\sigma^{\,s}$ である。
2：実埋め込み $\sigma$ は $\sigma=\bar\sigma$ を満たすので、lem-plc-embeddings により、$|\cdot|_\sigma$ と $|\cdot|_\tau$ が同値であるのは $\{\sigma,\bar\sigma\}=\{\tau,\bar\tau\}$ のときに限る。よって写像は単射であり、1 により全射である。埋め込みの個数は $r_1+2r_2$ なので、共役類は $r_1+r_2$ 個ある。
3：1 の $\rho$ は $|\rho(a)-\rho(b)|=|a-b|_v^{1/s}$ を満たす同相写像なので、$K$ が $K_v$ で稠密であることから $\sigma(K)=\rho(K)$ は $\rho(K_v)$ で稠密である。$\rho(K_v)$ は $\mathbb{R}$ か $\mathbb{C}$ で完備なので、$\rho(K_v)$ は $\sigma(K)$ の $\mathbb{C}$ での閉包に等しい。$\sigma$ が実埋め込みなら閉包は $\mathbb{R}$ に含まれ、$\mathbb{Q}$ の閉包 $\mathbb{R}$ を含むので $\mathbb{R}$ である。複素埋め込みなら閉包は $\mathbb{R}$ と実数でない元を含むので $\mathbb{C}$ である。1 の $\sigma$ は $v$ の共役類の代表なので、$\sigma$ を $\bar\sigma$ に替えても結論は同じである。$\square$

実埋め込みに対応する素点を 実素点、複素埋め込みの組に対応する素点を 複素素点 という。

$\mathbb{Q}$ への制限

素点の制限

$K$ を代数体、$v$ をその素点とする。$|\cdot|_v$ を $\mathbb{Q}$ に制限したものは $\mathbb{Q}$ の自明でない絶対値であり、次が成り立つ。

$v$ が無限素点なら、制限は通常の絶対値 $|\cdot|_\infty$ の正の冪である。
$v=\mathfrak{p}$ が有限素点で $\mathfrak{p}\cap\mathbb{Z}=p\mathbb{Z}$ なら、制限は $p$ 進絶対値 $|\cdot|_p$ の正の冪である。

整数の絶対値を見る

1：$v$ はアルキメデス的なので $\{|m|_v\mid m\in\mathbb{Z}\}$ は有界でなく、制限はアルキメデス的な絶対値である。Ostrowskiの定理により $|\cdot|_\infty$ の正の冪である。
2：$\mathfrak{p}\cap\mathbb{Z}=p\mathbb{Z}$ なので、$p$ で割り切れない整数 $a$ は $\mathcal{O}_K\setminus\mathfrak{p}$ に属し、lem-plc-contains-ok により $|a|_v=1$ である。$x=p^ka/b$（$a,b$ は $p$ で割り切れない整数）と書くと $|x|_v=|p|_v^{\,k}$ であり、$p\in\mathfrak{p}$ から $0<|p|_v<1$ である。$t:=-\log|p|_v/\log p>0$ とおけば $|x|_v=p^{-tk}=|x|_p^{\,t}$ である。$\square$

1 のとき $v$ は $\infty$ の 上にある、2 のとき $v$ は $p$ の 上にある といい、$v\mid\infty$、$v\mid p$ と書く。2 の条件 $\mathfrak{p}\cap\mathbb{Z}=p\mathbb{Z}$ は、$\mathfrak{p}$ が $p\mathcal{O}_K$ の素イデアル分解に現れることと同じなので（代数体における素イデアルの分解）、$p$ の上の素点は有限個で、少なくとも 1 つある。
$p$ の上の素点は、多項式の分解でも数えられる。$K=\mathbb{Q}(\alpha)$、$f$ を $\alpha$ の $\mathbb{Q}$ 上の最小多項式とし、$\mathbb{Q}_p[X]$ で $f=g_1\cdots g_r$ とモニックな既約因子に分解する。このとき $p$ の上の素点 $v_1,\dots,v_r$ は $g_1,\dots,g_r$ と 1 対 1 に対応し、$K_{v_i}\cong\mathbb{Q}_p[X]/(g_i)$、$\sum_i[K_{v_i}:\mathbb{Q}_p]=n$ である（Neu99 Chapter II, (8.2) Proposition, p. 163 と (8.4) Corollary, p. 164。この記事では証明しない）。$p$ を $\infty$、$\mathbb{Q}_p$ を $\mathbb{R}$ に替えた同じ主張は、1 次因子が実根に、2 次因子が共役な虚根の組に対応することから、thm-plc-infinite の言い換えになる。

例

有理数体の素点

$\mathbb{Q}$ の素点は各素数 $p$ の $|\cdot|_p$ の類と $|\cdot|_\infty$ の類で尽きる（thm-plc-finite・thm-plc-infinite。Ostrowskiの定理の系「同値類の完全な代表系」と同じ内容）。

Gauss の数体 $\mathbb{Q}(i)$

$K=\mathbb{Q}(i)$、$\mathcal{O}_K=\mathbb{Z}[i]$ とする。埋め込み $i\mapsto\pm i$ は互いに複素共役なので、無限素点は複素素点 1 つだけである（$r_1=0$、$r_2=1$）。有限素点のうち、$2$ の上には $(1+i)$ の 1 つ、$5$ の上には $(2+i)$ と $(2-i)$ の 2 つ、$3$ の上には $(3)$ の 1 つがある。多項式で見ると、$X^2+1$ は $\mathbb{Q}_5[X]$ で 1 次式の積に分解し、$\mathbb{Q}_3[X]$ では既約であり、2 つの数え方は一致している。

確かめ

ノルム $N(a+bi)=a^2+b^2$ が素数の元は素元なので、$1+i$、$2\pm i$ は素元である。$2=-i(1+i)^2$ である。$5=(2+i)(2-i)$ で、$(2+i)=(2-i)$ ならこのイデアルは $4=(2+i)+(2-i)$ と $5$ を含み $1=5-4$ を含んでしまうので、2 つは異なる。$3=\alpha\beta$（単元でない $\alpha,\beta$）なら $N(\alpha)=3$ だが $a^2+b^2=3$ は整数解をもたないので、$3$ は素元である。$X^2+1$ は、$2^2+1\equiv0$、$2\cdot2\not\equiv0\pmod5$ なので Henselの補題の定理「Hensel の補題：単純根の持ち上げ」により $\mathbb{Z}_5$ に根をもつ。$\mathbb{Q}_3$ に根があれば $\mathbb{Z}_3$ に属し、法 $3$ で $-1$ が平方になるが、$\mathbb{F}_3$ の平方は $0,1$ だけである。

3 次体 $\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2})$

$K=\mathbb{Q}(\alpha)$、$f=X^3-2$ とする。$f$ の複素根は実数 $\sqrt[3]2$ と虚数 $\omega\sqrt[3]2$、$\omega^2\sqrt[3]2$（$\omega=e^{2\pi i/3}$）なので、無限素点は実素点と複素素点の 2 つである（$r_1=r_2=1$）。$f$ は $\mathbb{Q}_5[X]$ で 1 次式と既約な 2 次式の積に分解するので、$5$ の上の素点は 2 つで局所次数は $1$ と $2$ である。$f$ は $\mathbb{Q}_7[X]$ で既約なので、$7$ の上の素点は 1 つで局所次数は $3$ である。

確かめ

$p=5$：$3^3-2=25\equiv0$、$f'(3)=27\not\equiv0\pmod5$ なので、$f$ は $\mathbb{Z}_5$ に根 $\beta\equiv3$ をもつ。$f=(X-\beta)g$ とすると $g\in\mathbb{Z}_5[X]$ はモニックな 2 次式で $g\equiv X^2+3X+4\pmod5$ である。判別式 $9-16\equiv3$ は $\mathbb{F}_5$ の平方 $0,1,4$ のどれでもないので $g$ は法 $5$ で根をもたず、$\mathbb{Q}_5$ の根は $\mathbb{Z}_5$ に属するので $\mathbb{Q}_5$ でも根をもたず、既約である。

$p=7$：$\mathbb{F}_7$ の 3 乗は $0,1,6$ だけなので $f$ は法 $7$ で根をもたず、同じ理由で $\mathbb{Q}_7$ にも根をもたない。根をもたない 3 次式は既約である。

正規化された絶対値と積公式

代数体 $K$ の各素点 $v$ で、次の関数 $\lvert\cdot\rvert_v$ を 正規化された絶対値 と呼ぶ。有限素点 $\mathfrak{p}$ では $|x|_{\mathfrak{p}}=N(\mathfrak{p})^{-v_{\mathfrak{p}}(x)}$、実素点 $\sigma$ では $|\sigma(x)|$、複素素点 $\{\sigma,\bar\sigma\}$ では $|\sigma(x)|^2$ とする。$0$ でない $x\in K$ について、$|x|_v\ne1$ となる素点は有限個で、
$$ \prod_v|x|_v=1 $$
が成り立つ（積公式。証明はアデール環の定理「積公式」）。複素素点で $2$ 乗をとるのは、無限素点の積を $n$ 個の埋め込みすべてにわたる $\prod_\sigma|\sigma(x)|=|N_{K/\mathbb{Q}}(x)|$ にするためである。ただし $|\sigma(\cdot)|^2$ は三角不等式を満たさない（$|1+1|^2=4>|1|^2+|1|^2$）ので、絶対値ではなく、素点の代表 $|\sigma(\cdot)|$ の $2$ 乗である。たとえば $\mathbb{Q}(i)$ の $x=2+i$ では、複素素点で $5$、素点 $(2+i)$ で $5^{-1}$、ほかの有限素点で $1$（$2+i\notin(2-i)$ は ex-plc-gauss の確かめと同じ理由による）であり、積は $1$ である。

条件を外したときの反例

thm-plc-finite と thm-plc-infinite の条件を 1 つずつ外すと、次のように対応が崩れる。

外した条件	反例	成り立たなくなること
$K$ が $\mathbb{Q}$ 上有限次	$K=\mathbb{Q}(t)$（$t$ は不定元）	無限素点が有限個（$r_1+r_2$ 個）であること
素イデアルを整閉な $\mathcal{O}_K$ でとる	$K=\mathbb{Q}(\sqrt{-7})$ と部分環 $\mathbb{Z}[\sqrt{-7}]$	有限素点 $v\mapsto\mathfrak{m}_v\cap(\text{部分環})$ が単射であること
埋め込みを複素共役で同一視する	$K=\mathbb{Q}(i)$ の 2 つの埋め込み	埋め込みから無限素点への写像が単射であること

表の反例の確かめ

1 行目：実数 $\tau$ が超越数なら、$f\mapsto f(\tau)$ は体の準同型 $\sigma_\tau\colon\mathbb{Q}(t)\to\mathbb{R}$ である（$0$ でない多項式は $\tau$ で $0$ にならない）。相異なる超越数 $\tau,\tau'$ について $\sigma_{\tau'}\ne\sigma_\tau=\bar\sigma_\tau$ なので、lem-plc-embeddings により $|\cdot|_{\sigma_\tau}$ と $|\cdot|_{\sigma_{\tau'}}$ は同値でない。実数は非可算で、代数的数は可算なので、実数の超越数は非可算個あり、$\mathbb{Q}(t)$ の無限素点は非可算個ある。なお $\mathbb{Q}(t)$ には、$t$ で何回割り切れるかで測る有限素点のように、$\mathbb{Q}$ への制限が自明な素点もある（prop-plc-restriction も成り立たない）。
2 行目：$\omega:=(1+\sqrt{-7})/2$ は $\omega^2-\omega+2=0$ を満たし、$-7\equiv1\pmod4$ なので $\mathcal{O}_K=\mathbb{Z}[\omega]$ である（代数的整数の命題「2 次体の整数環の決定」）。$\bar\omega:=1-\omega$ とおくと $\omega\bar\omega=2$ で、$\omega,\bar\omega$ のノルムはともに素数 $2$ なので $(\omega),(\bar\omega)$ は素イデアルであり、$\omega+\bar\omega=1$ なので互いに異なる。thm-plc-finite により $2$ の上の有限素点は 2 つある。一方、$\mathbb{Z}[\sqrt{-7}]/(2)\cong\mathbb{F}_2[X]/(X^2+7)=\mathbb{F}_2[X]/((X+1)^2)$ の素イデアルは $(X+1)$ だけなので、$\mathbb{Z}[\sqrt{-7}]$ の素イデアルで $2$ を含むものは $P=(2,1+\sqrt{-7})$ だけである。2 つの素点 $v$ のどちらでも $\mathfrak{m}_v\cap\mathbb{Z}[\sqrt{-7}]$ は $2$ を含む素イデアルなので $P$ に等しく、2 つの素点が同じ素イデアルに送られる。$\mathbb{Z}[\sqrt{-7}]$ は $\omega$ を含まないので整閉でない。
3 行目：恒等写像 $\iota$ と複素共役 $\bar\iota$ は異なる埋め込みだが、$|\iota(x)|=|\bar\iota(x)|$ なので同じ絶対値を与える。$\mathbb{Q}(i)$ の埋め込みは 2 つ、無限素点は 1 つである。

補足

関数体での「素点」

有限体上の 1 変数関数体（大域関数体）の素点は、正標数なのですべて有限素点であり（付値の系「正標数の体と有限体」）、その分類は大域体の定理「大域体の素点」にある。代数関数体の理論では、素点を「定数体を含み商体が $K$ の離散付値環」として定義することも多い（代数関数体の定義「素点と位数」）。大域関数体では、有限素点 $v$ に付値環 $\mathcal{O}_v$ を対応させることで 2 つの定義は対応する（大域体の補題「整数環を含む付値環」と定理「大域体の素点」）。

素点と近似

相異なる有限個の素点では互いに独立に条件を課せる（弱近似定理）。たとえば $\mathbb{Q}(\sqrt[3]2)$ で、$5$ の上の 2 つの素点で別々の合同条件を課し、さらに実素点で符号を指定できる。一方、すべての素点を同時に見ると、$K$ の元は「ほとんどすべての素点で整数」という制約を受け、アデール環の中で離散になる。