双曲計量

直接計算すると
$$ T_a'(z)=\frac{1-|a|^2}{(1-\overline a z)^2}, \qquad 1-|T_a(z)|^2 =\frac{(1-|a|^2)(1-|z|^2)}{|1-\overline a z|^2}. $$
よって
$$ \frac{|T_a'(z)|}{1-|T_a(z)|^2} =\frac{1}{1-|z|^2}. $$
また逆写像は $T_{-a}(w)=(w+a)/(1+\overline a w)$ であり、同じ恒等式から円板を円板へ写す。曲線 $\gamma$ について連鎖律を用いれば
$$ L_{\mathbb D}(T_a\circ\gamma) =\int\lambda_{\mathbb D}(T_a(\gamma))|T_a'(\gamma)||\gamma'|\,dt =L_{\mathbb D}(\gamma) $$
である。逆写像にも同じことを適用すると、曲線長の下限で定めた距離も保たれる。

$\phi,\psi\colon\Omega\to\mathbb D$ を二つの双正則写像とする。$A:=\psi\circ\phi^{-1}$ は円板自己同型である。円板自己同型は、ある $a\in\mathbb D$ と $|\eta|=1$ により $A=\eta T_a$ と書ける（Ahl79 Chapter 4 §3）。回転 $z\mapsto\eta z$ も密度を保ち、先ほどの円板自己同型の不変性と連鎖律から
$$ \frac{|\psi'(z)|}{1-|\psi(z)|^2} =\frac{|A'(\phi(z))||\phi'(z)|}{1-|A(\phi(z))|^2} =\frac{|\phi'(z)|}{1-|\phi(z)|^2} $$
を得る。後半は、$\phi'\colon\Omega'\to\mathbb D$ を Riemann 写像とすれば $\phi'\circ h$ が $\Omega$ の Riemann 写像なので、同じ定義を比較して従う。

$z\in\mathbb D$ を固定し、
$$ F:=T_{f(z)}\circ f\circ T_z^{-1} $$
とおくと $F\colon\mathbb D\to\mathbb D$ は正則で $F(0)=0$ である。Schwarzの補題 より $|F'(0)|\leq1$ である。円板自己同型の不変性の計算と連鎖律を用いると、この不等式は
$$ \frac{|f'(z)|(1-|z|^2)}{1-|f(z)|^2}\leq1 $$
に等しい。曲線に沿ってこの点ごとの不等式を積分すれば $L_{\mathbb D}(f\circ\gamma)\leq L_{\mathbb D}(\gamma)$ となり、下限を取れば距離の縮小性を得る。等号の場合は Schwarz の補題の等号条件から $F$ が回転であり、したがって $f$ は円板自己同型である。

包含写像 $i\colon U\hookrightarrow\Omega$ は正則である。両領域を Riemann 写像で円板へ移し、Schwarz–Pick の補題を合成写像に適用すると
$\lambda_\Omega(i(z))|i'(z)|\leq\lambda_U(z)$ を得る。$i'(z)=1$ だから主張が従う。

円板自己同型 $T_z$ は距離を保つので、$z=0$、$w=r\in[0,1)$ の場合を示せばよい。任意の区分的 $C^1$ 曲線 $\gamma$ が $0$ から $r$ へ至るとし、$s(t):=|\gamma(t)|$ とおく。ほとんど至る所で $|s'(t)|\leq|\gamma'(t)|$ だから
$$ L_{\mathbb D}(\gamma) \geq\int_a^b\frac{|s'(t)|}{1-s(t)^2}\,dt \geq\left|\int_a^b\frac{s'(t)}{1-s(t)^2}\,dt\right| =\operatorname{artanh}r. $$
一方、径方向の線分 $\gamma_0(t)=tr$（$0\leq t\leq1$）は
$$ L_{\mathbb D}(\gamma_0)=\int_0^1\frac{r}{1-r^2t^2}\,dt =\operatorname{artanh}r $$
を満たすので下限を達成する。一般の $z,w$ では $|T_z(w)|=\rho(z,w)$ だから距離公式を得る。等号を達成するには上の二つの不等式が等号でなければならず、像曲線は角方向へ動かず半径方向へ単調に進む。これを円板自己同型で戻すと、直径は単位円と直交する円または直線へ移るので、述べた測地線を得る。

$\delta:=\delta_\Omega(z)$ とする。$B(z,\delta)\subset\Omega$ であり、包含に関する単調性から
$$ \lambda_\Omega(z)\leq\lambda_{B(z,\delta)}(z)=\frac1\delta $$
を得る。
逆向きには、$F\colon\mathbb D\to\Omega$ を $F(0)=z$ とする Riemann 写像とする。定義より $\lambda_\Omega(z)=1/|F'(0)|$ である。正規化した関数
$$ G(\zeta):=\frac{F(\zeta)-z}{F'(0)} $$
へ Koebeの1/4定理 を適用すると、$F(\mathbb D)=\Omega$ は $z$ を中心とする半径 $|F'(0)|/4$ の円板を含む。したがって $\delta\geq|F'(0)|/4$、すなわち $\lambda_\Omega(z)=1/|F'(0)|\geq1/(4\delta)$ である。