Vitali集合

可算無限の部分群．$G$ の有限部分集合が生成する部分群は可算である。ある有限部分集合が無限の部分群を生成すれば、それを $H$ とする。そうでなければ、$g_1\in G$ から始めて、$\langle g_1,\dots,g_n\rangle$（有限群なので $G$ と異なる）に入らない $g_{n+1}$ を順に選び、$H:=\bigcup_n\langle g_1,\dots,g_n\rangle$ とおく。$H$ は狭義に増加する有限部分群の和なので無限であり、可算個の有限集合の和なので可算である。

測度．Haar測度 の定理「コンパクト群のHaar測度の存在」により、$G$ の Borel 集合の上の左不変な確率測度 $\mu$ がある。左移動 $x\mapsto gx$ は同相写像なので Borel 集合を Borel 集合に移す。$\mu$ の完備化の可測集合（Borel 集合 $B$ と $\mu$ 零の Borel 集合の部分集合 $N$ で $B\cup N$ と書ける集合）全体 $\Sigma$ も左移動で閉じ、完備化した測度も左不変である。thm-vitali-group により、$H$ の右剰余類の代表系は $\Sigma$ に属さず、とくに Borel 集合でもない。$\square$

1．$\lambda(A)>0$ なら、ある $n$ で $A_n:=A\cap[-n,n]$ は $0<\lambda(A_n)<\infty$ である。Lebesgue測度 の命題「Lebesgue可測集合の特徴づけ」の 4 により、開集合 $U\supset[-n,n]\setminus A_n$ で $\lambda(U\setminus([-n,n]\setminus A_n))<\lambda(A_n)$ となるものがある。$K:=[-n,n]\setminus U$ はコンパクトで $K\subset A_n$、$A_n\setminus K=A_n\cap U\subset U\setminus([-n,n]\setminus A_n)$ なので $\lambda(K)>0$ である。

2．測度が正のコンパクト集合 $L$ と $\varepsilon>0$ について、次の操作を考える。$L$ を長さ $\varepsilon$ の閉区間の有限個で覆い、$\lambda(L\cap J)>0$ となる最も左の区間 $J$ をとって $L':=L\cap J$ とする。$\phi(t):=\lambda(L'\cap(-\infty,t])$ は連続（1 点の測度は $0$ なので、$t$ の両側からの極限が一致する）で $0$ から $\lambda(L')$ まで増えるので、$\phi(t)=\lambda(L')/3$、$\phi(t)=2\lambda(L')/3$ となる最小の $t_1$、$t_2$（$t_1< t_2$）がある。$L_0:=L'\cap(-\infty,t_1]$、$L_1:=L'\cap[t_2,\infty)$ は交わらないコンパクト集合で、測度はどちらも $\lambda(L')/3>0$、直径は $\varepsilon$ 以下である。与えられた測度が正のコンパクト集合 $K$ から始めてこの操作を $\varepsilon=2^{-n}$ で繰り返し、$0,1$ の有限列 $w$ ごとに $K_w$ を、$K_{w0},K_{w1}\subset K_w$、$K_{w0}\cap K_{w1}=\emptyset$、$K_w$ の測度は正で、$w$ が空でなければ直径 $\le2^{-\lvert w\rvert}$ となるように作る（$K_\emptyset:=K$）。$s\in\{0,1\}^{\mathbb{N}}$ について $\bigcap_nK_{s_1\cdots s_n}$ は空でないコンパクト集合の減少列の共通部分で、直径が $0$ に近づくので 1 点 $x_s$ からなる。$s\ne s'$ なら最初に異なる番号で交わらない集合に分かれるので $x_s\ne x_{s'}$ である。よって $\lvert K\rvert\ge\lvert\{0,1\}^{\mathbb{N}}\rvert=\mathfrak{c}$、$K\subset\mathbb{R}$ から $\lvert K\rvert\le\mathfrak{c}$ であり、基数 の定理「Cantor–Bernstein の定理：単射の往復から全単射」により $\lvert K\rvert=\mathfrak{c}$。

3．閉集合 $F$ に、$F$ と交わらない有理数端点の開区間 $(a,b)$（$a< b$）全体の集合を対応させる。$\mathbb{R}\setminus F$ は開集合なので、それらの区間の和に等しく、この対応は単射である。有理数端点の開区間は可算個なので、閉集合全体（とくにコンパクト集合全体）の濃度は可算集合の冪集合の濃度 $\mathfrak{c}$ 以下である。$\square$

構成．測度が正のコンパクト集合全体を $\mathcal{K}$ とする。lem-vitali-compact の 3 と、区間 $[x,x+1]$（$x\in\mathbb{R}$）がすべて $\mathcal{K}$ に属することから $\lvert\mathcal{K}\rvert=\mathfrak{c}$、よって $\lvert\mathcal{K}\times\{0,1\}\rvert=\mathfrak{c}$ である。選択公理により、$\mathfrak{c}$ を濃度とする最小の順序数 $\kappa$（基数）を添字として $\mathcal{K}\times\{0,1\}=\{(K_\alpha,i_\alpha)\mid\alpha< \kappa\}$ と並べる。$\kappa$ の最小性から、各 $\alpha< \kappa$ について $\lvert\alpha\rvert< \mathfrak{c}$ である。超限再帰 により $x_\alpha$ を次のように選ぶ：それまでに選んだ点の集合 $\{x_\beta\mid\beta< \alpha\}$ の濃度は $\lvert\alpha\rvert< \mathfrak{c}=\lvert K_\alpha\rvert$（lem-vitali-compact の 2）なので、$K_\alpha\setminus\{x_\beta\mid\beta< \alpha\}$ は空でなく、その点を 1 つ選んで $x_\alpha$ とする。$x_\alpha$ はすべて異なる。$D:=\{x_\alpha\mid i_\alpha=0\}$、$E:=\{x_\alpha\mid i_\alpha=1\}$ とおくと $D\cap E=\emptyset$ であり、すべての $K\in\mathcal{K}$ は $D$ とも $E\subset\mathbb{R}\setminus D$ とも交わる。

内測度．可測な $B\subset D\cap A$ が $\lambda(B)>0$ なら、lem-vitali-compact の 1 により $B$ は $K\in\mathcal{K}$ を含むが、$K$ は $\mathbb{R}\setminus D$ と交わるので $K\subset D$ に反する。よって $\lambda_*(D\cap A)=0$。

外測度．$M\supset D\cap A$ を可測集合とする。$A\setminus M$ は可測で $D$ と交わらない。$\lambda(A\setminus M)>0$ なら $A\setminus M$ は $K\in\mathcal{K}$ を含み、$K$ は $D$ と交わるので矛盾する。よって $\lambda(A\setminus M)=0$、$\lambda(M)\ge\lambda(A\cap M)=\lambda(A)$ である（$\lambda(A)=\infty$ でも同じ）。$A$ 自身も $D\cap A$ を含む可測集合なので、def-vitali-inner の外測度の式から $\lambda^*(D\cap A)=\lambda(A)$。

補集合．上の議論で使ったのは「すべての $K\in\mathcal{K}$ が $D$ とも補集合とも交わる」ことだけで、$D$ と $\mathbb{R}\setminus D$ について対称である。$\square$

$\lvert\mathcal{K}_0\rvert=\mathfrak{c}$（区間 $[0,s]$、$0< s\le1$ で $\mathfrak{c}$ 個あり、lem-vitali-compact の 3 で上から抑えられる）なので $\lvert[0,1]\times\mathcal{K}_0\rvert=\mathfrak{c}\cdot\mathfrak{c}=\mathfrak{c}$ である（基数 の例「連続体の濃度」）。これを $\{(t_\alpha,K_\alpha)\mid\alpha< \kappa\}$ と並べ、$y_\alpha\in K_\alpha\setminus\{y_\beta\mid\beta< \alpha\}$ を超限再帰で選ぶ。$E_t:=\{y_\alpha\mid t_\alpha=t\}\subset[0,1]$ とおく。$y_\alpha$ はすべて異なるので、$t\ne s$ なら $E_t\cap E_s=\emptyset$ である。各 $t$ について、すべての $K\in\mathcal{K}_0$ は $E_t$ と交わる（$(t,K)$ の段で選んだ点）。

外測度．可測な $M\supset E_t$ で $\lambda(M)< 1$ のものがあれば、$[0,1]\setminus M$ は測度が正の可測集合なので lem-vitali-compact の 1 により $K\in\mathcal{K}_0$ を含み、$K\cap E_t=\emptyset$ となって矛盾する。$[0,1]\supset E_t$ なので $\lambda^*(E_t)=1$。

内測度．可測な $B\subset E_t$ で $\lambda(B)>0$ のものがあれば $B$ は $K\in\mathcal{K}_0$ を含む。$s\ne t$ を 1 つとると $K$ は $E_s$ と交わるが、$E_s\cap E_t=\emptyset$ に反する。$\square$