Finsler–Hadwigerの定理

正方形 $ABCD$ を $A(0,0)$、$B(4,0)$、$C(4,4)$、$D(0,4)$ とする。もう 1 つの正方形 $AB'C'D'$ を $A(0,0)$、$B'(1,2)$、$C'(-1,3)$、$D'(-2,1)$ とする。どちらも、頂点を書いた順に回ると反時計回りである。2 つ目の正方形の辺の長さは $AB'=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt5$ で、1 つ目の $4$ とは違う。
次の 4 点をとる。

• $Q$：線分 $B'D$ の中点 $\left(\dfrac{1+0}2,\dfrac{2+4}2\right)=\left(\dfrac12,3\right)$
• $R$：正方形 $ABCD$ の中心（対角線 $BD$ の中点）$(2,2)$
• $S$：線分 $BD'$ の中点 $\left(\dfrac{4+(-2)}2,\dfrac{0+1}2\right)=\left(1,\dfrac12\right)$
• $T$：正方形 $AB'C'D'$ の中心（対角線 $B'D'$ の中点）$\left(\dfrac{1+(-2)}2,\dfrac{2+1}2\right)=\left(-\dfrac12,\dfrac32\right)$
  四角形 $QRST$ の辺をベクトルで書くと
  $$ \overrightarrow{QR}=\left(\frac32,-1\right),\quad \overrightarrow{RS}=\left(-1,-\frac32\right),\quad \overrightarrow{ST}=\left(-\frac32,1\right),\quad \overrightarrow{TQ}=\left(1,\frac32\right) $$
  である。$\overrightarrow{QR}=-\overrightarrow{ST}$ なので、$QR$ と $TS$ は平行で長さが等しく、$QRST$ は平行四辺形である。さらに
  $$ \lvert\overrightarrow{QR}\rvert^2=\frac94+1=\frac{13}4=\lvert\overrightarrow{RS}\rvert^2,\qquad \overrightarrow{QR}\cdot\overrightarrow{RS}=\frac32\cdot(-1)+(-1)\cdot\left(-\frac32\right)=0 $$
  なので、隣り合う 2 辺の長さが等しく、直交する。よって $QRST$ は、1 辺の長さ $\dfrac{\sqrt{13}}2$ の正方形である。

$A$ を原点とする複素数で $B$、$B'$ を $b$、$b'$ と書くと、$\rho$ は $i$ を掛けることなので
$$ q=\frac{b'+ib}2,\qquad r=\frac{(1+i)b}2,\qquad s=\frac{b+ib'}2,\qquad t=\frac{(1+i)b'}2 $$
である。ex-fh-start の $b=4$、$b'=1+2i$ では
$$ q=\frac{1+6i}2,\qquad r=2+2i,\qquad s=\frac{4+i(1+2i)}2=\frac{2+i}2,\qquad t=\frac{(1+i)(1+2i)}2=\frac{-1+3i}2 $$
で、$r-q=\dfrac{3-2i}2$、$s-r=\dfrac{-2-3i}2$ である。$-i(r-q)=\dfrac{-3i+2i^2}2=\dfrac{-2-3i}2=s-r$ となり、段 2 の $\overrightarrow{RS}=-\rho(\overrightarrow{QR})$ が確かめられる。

正方形 $ABCD$ を $B(3,1)$、正方形 $AB'C'D'$ を $B'(-1,2)$ で決める（$A$ は原点）。lem-fh-square から $D=\rho(3,1)=(-1,3)$、$C=(2,4)$、$D'=\rho(-1,2)=(-2,-1)$、$C'=(-3,1)$ である。2 つの正方形の辺の長さは $\sqrt{10}$ と $\sqrt5$ である。
$$ Q=\left(\frac{-1+(-1)}2,\frac{2+3}2\right)=\left(-1,\frac52\right),\quad R=\left(\frac{3-1}2,\frac{1+3}2\right)=(1,2),\quad S=\left(\frac{3-2}2,\frac{1-1}2\right)=\left(\frac12,0\right),\quad T=\left(\frac{-1-2}2,\frac{2-1}2\right)=\left(-\frac32,\frac12\right) $$
で、$\overrightarrow{QR}=\left(2,-\dfrac12\right)$、$\overrightarrow{RS}=\left(-\dfrac12,-2\right)$ である。長さの 2 乗はどちらも $\dfrac{17}4$、内積は $-1+1=0$ で、$QRST$ は正方形である。$BB'=\sqrt{4^2+1^2}=\sqrt{17}$ で、1 辺の長さ $\dfrac{\sqrt{17}}2$ はその半分である。

$A(0,0)$、$B(4,0)$、$B'(1,2)$ として、反時計回りの正三角形 $ABC$、$AB'C'$ を作る。$C$、$C'$ は $B$、$B'$ を $A$ のまわりに $60^\circ$ 回した点で、$60^\circ$ の回転は点 $(x,y)$ を $\left(\dfrac12x-\dfrac{\sqrt3}2y,\ \dfrac{\sqrt3}2x+\dfrac12y\right)$ に移すので
$$ C=(2,\ 2\sqrt3),\qquad C'=\left(\frac12-\sqrt3,\ \frac{\sqrt3}2+1\right) $$
である。中点は $M_1$（辺 $BC$）$=(3,\sqrt3)$、$M_2$（線分 $CB'$）$=\left(\dfrac32,\sqrt3+1\right)$ で
$$ \overrightarrow{M_1M_2}=\left(-\frac32,1\right)=\frac{\vec b'-\vec b}2 $$
である。prop-fh-rhombus により、$M_1M_2M_3M_4$ は 1 辺 $\dfrac{\sqrt{13}}2$、頂点 $M_1$ の角 $60^\circ$ のひし形である。1 辺の長さは ex-fh-start の正方形 $QRST$ と同じである（$B$、$B'$ が同じだから）。

ex-fh-start の正方形 $ABCD$ はそのままにし、2 つ目の正方形を時計回りの $AB'C'D'$：$B'(1,2)$、$C'(3,1)$、$D'(2,-1)$ にする（$\overrightarrow{AD'}$ は $\overrightarrow{AB'}$ を時計回りに $90^\circ$ 回したもの）。中心は $T\left(\dfrac32,\dfrac12\right)$、中点は $Q\left(\dfrac12,3\right)$、$S\left(3,-\dfrac12\right)$ で、$R(2,2)$ は変わらない。
$$ \overrightarrow{QR}=\left(\frac32,-1\right),\qquad \overrightarrow{RS}=\left(1,-\frac52\right) $$
で、$QR^2=\dfrac{13}4$、$RS^2=\dfrac{29}4$ と長さが違い、内積は $\dfrac32\cdot1+(-1)\cdot\left(-\dfrac52\right)=4\ne0$ である。$QRST$ は正方形でも長方形でもない平行四辺形である。
崩れた理由は、$\vec d=\rho(\vec b)$ に対して $\vec d'=\rho^{-1}(\vec b')$（時計回りの回転）となり、$\overrightarrow{DD'}$ が $\overrightarrow{BB'}$ を回したものでなくなったことである（rem-fh-varignon）。

正方形の代わりに、$AD=2AB$ の長方形 $ABCD$、$AB'C'D'$（どちらも反時計回り）をとる。$\vec d=2\rho(\vec b)$、$\vec d'=2\rho(\vec b')$ である。$B(2,0)$、$B'(1,1)$ とすると $D(0,4)$、$D'(-2,2)$ で、2 つの長方形の中心は $R(1,2)$、$T\left(-\dfrac12,\dfrac32\right)$、中点は $Q\left(\dfrac12,\dfrac52\right)$、$S(0,1)$ である。
$$ \overrightarrow{QR}=\left(\frac12,-\frac12\right),\qquad \overrightarrow{RS}=(-1,-1) $$
で、内積は $-\dfrac12+\dfrac12=0$ と直交するが、$QR^2=\dfrac12$、$RS^2=2$ と長さが違う。$QRST$ は、隣り合う辺の長さの比が $1:2$ の長方形である。prf-fh-main の段 2 で $\overrightarrow{RS}=-2\rho(\vec v)$ になり、長さが $2$ 倍になったからである。

ex-fh-start の 2 つ目の正方形を $(1,0)$ だけ平行移動し、$A'(1,0)$、$B'(2,2)$、$C'(0,3)$、$D'(-1,1)$ とする（反時計回りのまま）。1 つ目の正方形 $ABCD$ と頂点を共有しない。$Q$（線分 $B'D$ の中点）$=(1,3)$、$R=(2,2)$、$S$（線分 $BD'$ の中点）$=\left(\dfrac32,\dfrac12\right)$、$T$（2 つ目の中心）$=\left(\dfrac12,\dfrac32\right)$ で
$$ \overrightarrow{QR}=(1,-1),\qquad \overrightarrow{RS}=\left(-\frac12,-\frac32\right) $$
である。$QR^2=2$、$RS^2=\dfrac52$、内積は $-\dfrac12+\dfrac32=1\ne0$ で、正方形にならない。$D'$ が $A'$ を中心とする回転で $B'$ から作られるため、$\overrightarrow{DD'}$ が $\overrightarrow{BB'}$ を回したものにならない。実際、$\overrightarrow{BB'}=(-2,2)$ を $90^\circ$ 回すと $(-2,-2)$ だが、$\overrightarrow{DD'}=(-1,-3)$ である。