加藤–Rellichの定理

$A$ は対称なので $\langle A\psi,\psi\rangle$ は実数で、交差項 $2\operatorname{Re}\langle A\psi,\pm i\mu\psi\rangle=2\operatorname{Re}\bigl(\pm i\mu\langle A\psi,\psi\rangle\bigr)$ は $0$ である。これで等式が出る。全単射であることは、$\pm i\mu$ が自己共役作用素のレゾルベント集合に入ること（自己共役作用素 の定理「自己共役作用素のスペクトル」の 1）による。$\varphi\in\mathcal H$ について $\psi:=R_\pm\varphi$ とおくと、等式から $\|A\psi\|\le\|\varphi\|$、$\mu\|\psi\|\le\|\varphi\|$ である。$\square$

$(a,b)$ を定義の不等式を満たす定数の組とする。$\varphi\in\mathcal H$、$\psi:=(A+i\mu)^{-1}\varphi\in D(A)$ について、lem-kr-resolvent から
$$ \|K(\mu)\varphi\|=\|B\psi\|\le a\|A\psi\|+b\|\psi\|\le\Bigl(a+\frac b\mu\Bigr)\|\varphi\| $$
である。よって $K(\mu)$ は有界で、$\limsup_{\mu\to\infty}\|K(\mu)\|\le a$ である。$a$ は $a_0$ にいくらでも近くとれるので、$\limsup\|K(\mu)\|\le a_0$ である。
逆に、$\mu>0$ を固定すると、$\psi\in D(A)$ について
$$ \|B\psi\|=\|K(\mu)(A+i\mu)\psi\|\le\|K(\mu)\|\bigl(\|A\psi\|+\mu\|\psi\|\bigr) $$
なので、$a=\|K(\mu)\|$、$b=\mu\|K(\mu)\|$ が定義の不等式を満たす。よって $a_0\le\|K(\mu)\|$ がすべての $\mu>0$ で成り立ち、$a_0\le\liminf\|K(\mu)\|$ である。$A-i\mu$ でも同じ議論が通る。$\square$

$D(A)$ は稠密で、$\varphi,\psi\in D(A)$ について $\langle(A+B)\varphi,\psi\rangle=\langle\varphi,(A+B)\psi\rangle$ なので、$A+B$ は対称作用素である。
$a< 1$ と $b$ を定義の定数とし、$\mu>0$ を $q:=a+b/\mu< 1$ となるようにとる（$b>0$ なら $\mu>b/(1-a)$、$b=0$ なら任意の $\mu$）。$K_\pm:=B(A\pm i\mu)^{-1}$ とおくと、prop-kr-bound の証明の評価により $\|K_\pm\|\le q< 1$ である。したがって $1+K_\pm$ は $\mathcal H$ の上の全単射で、逆は Neumann 級数 $\sum_{n\ge0}(-K_\pm)^n$ で与えられる（Neumann級数）。$\psi\in D(A)$ について
$$ (1+K_\pm)(A\pm i\mu)\psi=(A\pm i\mu)\psi+B\psi=(A+B\pm i\mu)\psi $$
であり、$A\pm i\mu\colon D(A)\to\mathcal H$ は lem-kr-resolvent により全射、$1+K_\pm$ も全射なので、$A+B\pm i\mu$ の値域は $\mathcal H$ 全体である。
$T:=\mu^{-1}(A+B)$ は対称作用素で、$T\pm i=\mu^{-1}(A+B\pm i\mu)$ の値域は $\mathcal H$ である。自己共役作用素 の定理「自己共役性の判定」の 3 ⇒ 1 により $T$ は自己共役である。実数 $\mu\neq0$ について $(\mu T)^*=\mu T^*$ なので、$A+B=\mu T$ も自己共役である。$\square$

$\psi\in D(\overline A)$ について、$\psi_n\to\psi$、$A\psi_n\to\overline A\psi$ となる $\psi_n\in D$ をとる（閉包の定義）。仮定の不等式を $\psi_n-\psi_m$ に使うと $(B\psi_n)$ は Cauchy 列なので、$\widetilde B\psi:=\lim B\psi_n$ と定める。別の列をとっても、2 つの列を交互に並べた列が同じ条件を満たすので極限は同じである。$\widetilde B$ は $D(\overline A)$ の上の線形写像で、$D$ の上で $B$ に一致し、極限をとって $\|\widetilde B\psi\|\le a\|\overline A\psi\|+b\|\psi\|$ と $D(\overline A)$ の上での対称性を満たす。thm-kr-main により $\overline A+\widetilde B$（定義域 $D(\overline A)$）は自己共役で、とくに閉である。
$\overline A+\widetilde B$ は $D$ の上で $A+B$ に一致する閉作用素なので、$A+B$ の閉包を含む。逆に $\psi\in D(\overline A)$ と上の列 $\psi_n$ について $(A+B)\psi_n\to(\overline A+\widetilde B)\psi$ なので、$(\psi,(\overline A+\widetilde B)\psi)$ は $A+B$ のグラフの閉包に入る。よって $A+B$ の閉包は $\overline A+\widetilde B$ に等しく、自己共役である。$\square$

$A':=A-\gamma$ とおくと $A'\ge0$ は自己共役で、$\|B\psi\|\le a\|A'\psi\|+(b+a|\gamma|)\|\psi\|$ であり、$A+B=(A'+B)+\gamma$ である。したがって $\gamma=0$ の場合に $A+B\ge-b/(1-a)$ を示せばよい。
$A\ge0$、$\lambda< 0$ とする。$\psi\in D(A)$ について、交差項 $-2\lambda\langle\psi,A\psi\rangle$ は $0$ 以上なので
$$ \|(A-\lambda)\psi\|^2=\|A\psi\|^2-2\lambda\langle\psi,A\psi\rangle+\lambda^2\|\psi\|^2\ge\|A\psi\|^2+\lambda^2\|\psi\|^2 $$
である。これから $A-\lambda$ は単射である。値域も閉である。実際、$(A-\lambda)\psi_n$ が収束すれば、不等式から $(\psi_n)$ と $(A\psi_n)$ はともに Cauchy 列なので、$A$ が閉であることから極限 $\psi$ は $D(A)$ に入り、$(A-\lambda)\psi_n\to(A-\lambda)\psi$ となる。値域の直交補空間は $\ker(A^*-\lambda)=\ker(A-\lambda)=0$ なので、$A-\lambda\colon D(A)\to\mathcal H$ は全単射であり、上の不等式から $\|A(A-\lambda)^{-1}\|\le1$、$\|(A-\lambda)^{-1}\|\le1/|\lambda|$ である。
すると prop-kr-bound の証明と同じく $\|B(A-\lambda)^{-1}\|\le a+b/|\lambda|$ であり、$\lambda< -b/(1-a)$ ならこれは $1$ より小さい。そのとき
$$ A+B-\lambda=\bigl(1+B(A-\lambda)^{-1}\bigr)(A-\lambda) $$
は $D(A)$ から $\mathcal H$ への全単射で、逆写像 $(A-\lambda)^{-1}\bigl(1+B(A-\lambda)^{-1}\bigr)^{-1}$ は有界である。よって $(-\infty,-b/(1-a))\subset\rho(A+B)$ である。thm-kr-main により $A+B$ は自己共役で、スペクトルは実数に含まれるので $\sigma(A+B)\subset[-b/(1-a),\infty)$ となり、上の同値から $A+B\ge-b/(1-a)$ である。$\square$

$\psi\in H^2(\mathbb{R}^3)$ は $W^{1,2}(\mathbb{R}^3)$ に入るので、Hardyの不等式 の定理「Hardyの不等式（多次元の形）」を $N=3$、$p=2$ で使うと（定数は $(p/(N-p))^p=4$）
$$ \int_{\mathbb{R}^3}\frac{|\psi(x)|^2}{|x|^2}\,dx\le4\int_{\mathbb{R}^3}|\nabla\psi(x)|^2\,dx $$
である。右辺は Plancherel の等式と Cauchy–Schwarz の不等式により
$$ \|\nabla\psi\|^2=\int|\xi|^2|\widehat\psi(\xi)|^2\,d\xi\le\Bigl(\int|\widehat\psi|^2\,d\xi\Bigr)^{1/2}\Bigl(\int|\xi|^4|\widehat\psi|^2\,d\xi\Bigr)^{1/2}=\|\psi\|\,\|H_0\psi\| $$
と評価できる。よって $\|V\psi\|\le2|\gamma|\,\|\psi\|^{1/2}\|H_0\psi\|^{1/2}$ であり、相加相乗平均の不等式 $2\sqrt{st}\le\varepsilon s+t/\varepsilon$ から主張の評価が出る。$\varepsilon$ はいくらでも小さくとれるので $H_0$-限界は $0$ である。
実数値関数の掛け算は、その自然な定義域の上で対称である（量子力学の関数解析的構造 の命題「実数値関数による乗算作用素は自己共役」）ので、$V$ は $H^2(\mathbb{R}^3)$ の上で対称である。$\gamma\neq0$ なら $\varepsilon< 1/|\gamma|$ にとって thm-kr-main を使えば $H$ は自己共役である（$\gamma=0$ なら $H=H_0$）。下界は thm-kr-lower を $A=H_0\ge0$、$a=|\gamma|\varepsilon$、$b=|\gamma|/\varepsilon$ で使うと $H\ge-\frac{|\gamma|/\varepsilon}{1-|\gamma|\varepsilon}$ であり、$\varepsilon=1/(2|\gamma|)$ とすれば右辺は $-4\gamma^2$ になる。$\square$