絶対連続関数

1：$|f(x)-f(y)|\le L|x-y|$ なら $\delta:=\varepsilon/(L+1)$ でよい。2：区間 1 個の場合が一様連続性である。3：和とスカラー倍は明らか。$f,g$ は 2 から連続で、$[a,b]$ 上で $|f|,|g|\le M$ となる $M$ があり、$|f(b_k)g(b_k)-f(a_k)g(a_k)|\le M|f(b_k)-f(a_k)|+M|g(b_k)-g(a_k)|$ なので、$f,g$ の $\varepsilon/(2M+1)$ に対する $\delta$ の小さい方でよい。4：$\varphi$ の Lipschitz 定数を $L$ とすると $|\varphi(g(b_k))-\varphi(g(a_k))|\le L|g(b_k)-g(a_k)|$ である。

5：$\varepsilon=1$ に対する $\delta$ をとり、$[a,b]$ を長さ $\delta$ 未満の $N$ 個の閉区間 $[c,d]$ に分ける。$[c,d]$ の分割の小区間は互いに交わらず長さの和が $d-c<\delta$ なので、変動の和は $1$ 未満であり、$V_c^d(f)\le1$ である。全変動の加法性（単調関数 の定理「Jordan 分解」の証明）から $V_a^b(f)\le N$ である。次に $\varepsilon>0$ に対する $\delta$ をとり、互いに交わらない $(a_k,b_k)$ の長さの和が $\delta$ 未満とする。各 $[a_k,b_k]$ の分割 $P_k$ をとると、すべての $P_k$ の小区間を合わせた族は互いに交わらず長さの和が $\delta$ 未満なので $\sum_kV(f,P_k)<\varepsilon$ である。$P_k$ について上限をとり、加法性 $V(b_k)-V(a_k)=V_{a_k}^{b_k}(f)$ を使うと $\sum_k(V(b_k)-V(a_k))\le\varepsilon$ である。よって $V$ は絶対連続である。$s< t$ について $|f(t)-f(s)|\le V(t)-V(s)$ なので、$P(t)-P(s)$ と $Q(t)-Q(s)$ はどちらも $0$ 以上 $V(t)-V(s)$ 以下であり、$P,Q$ は単調非減少で絶対連続である。$\square$

$\mathcal{D}:=\{E\subset[a,b]\text{ Borel}\mid\int_Eh=0\}$ とおく。$\int_{(s,t]}h=\int_a^th-\int_a^sh=0$ なので、$\mathcal{D}$ は $[a,b]$ と、区間 $(s,t]\cap[a,b]$ と空集合からなる π-系（$[a,b]$ の Borel 集合族を生成する）を含む。$E\in\mathcal{D}$ なら $\int_{[a,b]\setminus E}h=\int_{[a,b]}h-\int_Eh=0$、互いに交わらない $E_i\in\mathcal{D}$ なら優収束定理（$|h|$ で抑える）から $\int_{\bigcup E_i}h=\sum_i\int_{E_i}h=0$ なので、$\mathcal{D}$ は Dynkin 系である。Dynkinのπ-λ定理 により $\mathcal{D}$ は $[a,b]$ のすべての Borel 部分集合を含む。Lebesgue 可測な $E:=\{h>0\}$ については、Lebesgue測度 の命題「Lebesgue可測集合の特徴づけ」の 2 により、Borel 集合 $B\supset E$ で $\lambda(B\setminus E)=0$ となるものがあるので（$[a,b]$ と交わりをとってよい）、$\int_Eh=\int_Bh=0$ であり、$h\le0$ a.e. である。同様に $h\ge0$ a.e. である。$\square$

十分性：thm-ac-ftc で $f(x)=f(a)+\int_a^xg$ と書く。$\varphi\in C^1_c(I)$ について $\int_I\varphi'=0$ であり、$|g(t)\varphi'(x)|$ は $I\times I$ で可積分なので Fubini の定理から $\int_a^b\bigl(\int_a^xg(t)\,dt\bigr)\varphi'(x)\,dx=\int_a^bg(t)\bigl(\int_t^b\varphi'(x)\,dx\bigr)dt=-\int_a^bg\varphi$ である。よって $\int u\varphi'=-\int g\varphi$ である。

必要性：弱導関数を $g$ とし $w(x):=\int_a^xg$ とおく。十分性の計算から $h:=u-w$ はすべての $\varphi\in C^1_c(I)$ で $\int_Ih\varphi'=0$ を満たす。$\int\psi=1$ となる $\psi\in C_c(I)$ を 1 つ固定する。$\theta\in C_c(I)$ について $\varphi(x):=\int_a^x\bigl(\theta-(\textstyle\int\theta)\psi\bigr)$ とおくと、被積分関数は台がコンパクトで積分が $0$ なので $\varphi\in C^1_c(I)$ であり、$0=\int h\varphi'=\int(h-c)\theta$（$c:=\int h\psi$）である。$\theta\in C_c(I)$ は任意なので $h=c$ a.e. である（Bre11 Corollary 4.24、p. 110）。よって $u=w+c$ a.e. で、$f:=w+c$ は thm-ac-ftc により絶対連続、ほとんど至る所 $f'=g$ である。$\square$