軟弱層

2：$t$ と $t'$ の芽が一致する点の集合は開集合で、$Z$ を含む。
1：要点は、$Z$ の各点の近くで $s$ を代表する切断を選び、局所有限な閉被覆に沿って、芽が食い違わない点の集合（$Z$ を含む開集合）の上で貼り合わせることである。

$Z$ を閉集合、$s\in\Gamma(Z,\mathcal{F})$ とし、lem-soft-neighborhood により $Z$ の開近傍 $U$ と $t\in\mathcal{F}(U)$ で $t|_Z=s$ となるものをとる。
1：$\mathcal{F}$ が脆弱なら、$t$ は $X$ 全体の切断に延長でき、その $Z$ への制限は $s$ である。
2：$\{U,X\setminus Z\}$ は $X$ の有限な（したがって局所有限な）開被覆なので、細層の定義（細層 の定義「細層」）により自己準同型 $\theta_1,\theta_2\colon\mathcal{F}\to\mathcal{F}$ で、台が $\operatorname{supp}\theta_1\subset U$、$\operatorname{supp}\theta_2\subset X\setminus Z$ であり $\theta_1+\theta_2=\mathrm{id}$ となるものがある。$\theta_1(t)\in\mathcal{F}(U)$ は、閉集合 $\operatorname{supp}\theta_1$ の外の点で芽が $0$ である。そこで $U$ の上の $\theta_1(t)$ と、開集合 $X\setminus\operatorname{supp}\theta_1$ の上の $0$ は、共通部分の上で一致するので、貼り合わさって大域切断 $\tilde{t}$ になる（$\operatorname{supp}\theta_1\subset U$ なので 2 つの開集合は $X$ を覆う）。$z\in Z$ では $z\notin\operatorname{supp}\theta_2$ なので $(\theta_2)_z=0$、$(\theta_1)_z=\mathrm{id}$ であり、$\tilde{t}(z)=(\theta_1)_z(t_z)=s(z)$ である。$\square$

$Z$ を閉集合、$s\in\Gamma(Z,\mathcal{M})$ とし、lem-soft-neighborhood により $Z$ の開近傍 $U$ と $t\in\mathcal{M}(U)$ で $t|_Z=s$ となるものをとる。$Z$ と $X\setminus U$ は交わらない閉集合なので、どちらも $Z':=Z\cup(X\setminus U)$ の中で開かつ閉であり、$Z$ の上で $1$、$X\setminus U$ の上で $0$ となる $Z'$ の上の $\mathcal{R}$ の切断がある。$\mathcal{R}$ は軟弱なので、これは大域切断 $\varphi\in\mathcal{R}(X)$ に延長する。$\varphi$ の芽が $0$ となる点の集合は $X\setminus U$ を含む開集合 $V$ である。$U$ の上の $\varphi|_U\cdot t$ と $V$ の上の $0$ は $U\cap V$ の上で一致し、$U\cup V=X$ なので、貼り合わさって $\tilde{t}\in\mathcal{M}(X)$ になる。$z\in Z$ では $\varphi_z=1$ なので $\tilde{t}(z)=t_z=s(z)$ である。$\square$

$c\in\mathcal{C}(X)$ をとる。$h$ は茎で全射なので、各点に開近傍 $W$ と $b\in\mathcal{B}(W)$ で $h(b)=c|_W$ となるものがある（芽が一致すれば近傍で一致する）。この開被覆に パラコンパクト空間 の補題「閉包を制御する細分」を使い、lem-soft-neighborhood の証明と同じく、$X$ を覆う局所有限な閉集合の族 $(V_i)_{i\in I}$ と、$V_i$ を含む開集合 $U_i$ の上の $b_i\in\mathcal{B}(U_i)$ で $h(b_i)=c|_{U_i}$ となるものをとる。$J\subset I$ について $V_J:=\bigcup_{i\in J}V_i$ とおくと、これは閉集合である。
組 $(J,b)$（$J\subset I$、$b\in\Gamma(V_J,\mathcal{B})$、$h(b)=c|_{V_J}$）の全体を $\Sigma$ とし、$J\subset J'$ かつ $b'|_{V_J}=b$ のとき $(J,b)\le(J',b')$ と順序づける。$(\emptyset,0)\in\Sigma$ である。全順序部分集合 $\{(J_\lambda,b_\lambda)\}$ に対し、$J^*:=\bigcup_\lambda J_\lambda$ とし、$y\in V_{J^*}$ では $y\in V_{J_\lambda}$ となる $\lambda$ をとって $b^*(y):=b_\lambda(y)$ とおく。$x\in V_{J^*}$ の近傍 $N$ で有限個の $V_i$ としか交わらないものをとると、そのうち $J^*$ に属する有限個の添字はある 1 つの $J_\mu$ に入るので、$N\cap V_{J^*}=N\cap V_{J_\mu}$ の上で $b^*=b_\mu$ である。よって $b^*$ は連続な切断で、$(J^*,b^*)$ は上界である。Zornの補題 により極大元 $(J,b)$ がある。
$J\ne I$ と仮定し、$j\in I\setminus J$ をとる。閉集合 $S:=V_J\cap V_j$ の上で $h(b-b_j)=c-c=0$ である。$S$ へ制限した列 $0\to\mathcal{A}|_S\to\mathcal{B}|_S\to\mathcal{C}|_S$ は茎ごとに完全で、大域切断関手は左完全なので（層コホモロジー の命題「大域切断関手の左完全性」）、$b-b_j=g(a)$ となる $a\in\Gamma(S,\mathcal{A})$ がある。$\mathcal{A}$ は軟弱なので、$a$ は $\tilde{a}\in\mathcal{A}(X)$ に延長する。$V_J$ の上で $b$、$V_j$ の上で $b_j+g(\tilde{a})$ とおくと、$S$ の上で両者は一致する。2 つの閉集合の上で連続な切断は和集合の上で連続なので、$\Gamma(V_{J\cup\{j\}},\mathcal{B})$ の元 $b'$ が得られ、$h(b')=c$ である。$(J,b)< (J\cup\{j\},b')$ となり極大性に反する。よって $J=I$、$V_I=X$ であり、$b\in\mathcal{B}(X)$ が $h(b)=c$ を満たす。$\square$

$Z$ を閉集合、$\gamma\in\Gamma(Z,\mathcal{C})$ とする。$Z$ は閉部分空間としてパラコンパクト Hausdorff であり（パラコンパクト空間 の命題「閉部分空間」）、$Z$ へ制限した列 $0\to\mathcal{A}|_Z\to\mathcal{B}|_Z\to\mathcal{C}|_Z\to0$ は茎ごとに完全である。$\mathcal{A}|_Z$ は $Z$ の上で軟弱である。$Z$ の閉集合 $Z'$ は $X$ の閉集合で、$\mathcal{A}(X)\to\Gamma(Z',\mathcal{A})$ は $\Gamma(Z,\mathcal{A})$ を経由する全射だからである。thm-soft-surjective を $Z$ の上で使うと、$\gamma=h(\beta)$ となる $\beta\in\Gamma(Z,\mathcal{B})$ がある。$\mathcal{B}$ は軟弱なので $\beta$ は $\tilde{\beta}\in\mathcal{B}(X)$ に延長し、$h(\tilde{\beta})$ は $\gamma$ の延長である。$\square$

すべての軟弱層について主張を $i$ に関する帰納法で示す。$\mathcal{F}$ を不連続切断の層 $\mathcal{G}:=\mathcal{C}^0(\mathcal{F})$（$\mathcal{G}(U)=\prod_{x\in U}\mathcal{F}_x$）に埋め込む。$\mathcal{G}$ は脆弱であり（脆弱層 の例「不連続切断の層」）、prop-soft-sources の 1 により軟弱である。$\mathcal{Q}:=\mathcal{G}/\mathcal{F}$ は cor-soft-quotient により軟弱である。
短完全列 $0\to\mathcal{F}\to\mathcal{G}\to\mathcal{Q}\to0$ のコホモロジー長完全列（層コホモロジー の定理「層コホモロジーの長完全列」）と、脆弱層 $\mathcal{G}$ の非輪状性（脆弱層 の定理「flasque 層の非輪状性」）から
$$ \mathcal{G}(X)\to\mathcal{Q}(X)\to H^1(X,\mathcal{F})\to0,\qquad H^{i-1}(X,\mathcal{Q})\cong H^i(X,\mathcal{F})\quad(i\ge2) $$
を得る。thm-soft-surjective により $\mathcal{G}(X)\to\mathcal{Q}(X)$ は全射なので $H^1(X,\mathcal{F})=0$ である。$i\ge2$ では、$\mathcal{Q}$ が軟弱なので帰納法の仮定により $H^{i-1}(X,\mathcal{Q})=0$ であり、$H^i(X,\mathcal{F})=0$ である。$\square$

thm-soft-acyclic により各 $\mathcal{S}^p$ は非輪状なので、層コホモロジー の命題「非輪状分解による計算」による。$\square$