Fittingの補題

$k$ を体、$V$ を $k$ 上有限次元のベクトル空間、$T$ を線形変換とし、$V$ を $k[x]$ 加群（$x$ は $T$ で作用）とみる。部分加群は $T$ で保たれる部分空間で、$V$ は長さ有限である。核の列は、一度 $\ker T^k=\ker T^{k+1}$ となればそれ以後一定である（$T^{k+2}x=0$ なら $Tx\in\ker T^{k+1}=\ker T^k$ で $x\in\ker T^{k+1}$）。よって止まるまでは次元が真に増え、$n=\dim V$ では止まっている。像の列も同じ番号で止まる（$\dim T^k(V)=\dim V-\dim\ker T^k$）。よって
$$ V=T^n(V)\oplus\ker T^n\qquad(n=\dim V) $$
であり、$\ker T^n$ は固有値 $0$ の 一般固有空間、$T^n(V)$ は $T$ が可逆に働く部分である。
$\lambda\in k$ について $T-\lambda$ に当てはめると、$V=V_\lambda\oplus W_\lambda$（$V_\lambda:=\ker(T-\lambda)^n$）と分かれ、prop-fitting-commuting（$v=T$）により両方とも $T$ で保たれる。$T$ の固有多項式が $k$ 上で一次式の積に分かれるなら、固有値 $\lambda_1$ について分けた $W_{\lambda_1}$ に次の固有値で同じことを繰り返して、$V=V_{\lambda_1}\oplus\cdots\oplus V_{\lambda_s}$ を得る。

$k$ を標数が $2$ でない体とし、$T=\begin{pmatrix}0&1&0\\0&0&0\\0&0&2\end{pmatrix}$ を $k^3$ に作用させる。標準基底 $e_1,e_2,e_3$ について $Te_1=0$、$Te_2=e_1$、$Te_3=2e_3$ なので、
$$ T(V)=ke_1\oplus ke_3,\quad T^2(V)=T^3(V)=ke_3,\qquad\ker T=ke_1,\quad\ker T^2=\ker T^3=ke_1\oplus ke_2 $$
である。$n=2$ で $k^3=ke_3\oplus(ke_1\oplus ke_2)$ となり、$T$ は $ke_3$ の上で $2$ 倍（可逆）、$ke_1\oplus ke_2$ の上で $T^2=0$ である。$n=1$ では $T(V)\cap\ker T=ke_1\neq0$ で直和にならない。

$M=\mathbb{Z}/12\mathbb{Z}$ を $\mathbb{Z}$ 加群とみる（有限集合なので長さ有限）。$u$ を $2$ 倍写像とすると
$$ u(M)=\{\bar0,\bar2,\dots,\overline{10}\},\quad u^2(M)=u^3(M)=\{\bar0,\bar4,\bar8\},\qquad\ker u=\{\bar0,\bar6\},\quad\ker u^2=\ker u^3=\{\bar0,\bar3,\bar6,\bar9\} $$
である（$8x\equiv0\pmod{12}$ と $4x\equiv0\pmod{12}$ はどちらも $3\mid x$ と同値）。Fitting 分解は $M=\{\bar0,\bar4,\bar8\}\oplus\{\bar0,\bar3,\bar6,\bar9\}$ で、位数 $3$ の部分と位数 $4$ の部分への分解である。$u$ は前者の上で $\bar4\mapsto\bar8\mapsto\bar4$ と自己同型、後者の上で $u^2=0$（$\bar3\mapsto\bar6\mapsto\bar0$、$\bar9\mapsto\bar6$）である。$3$ 倍写像の Fitting 分解は、同じ 2 つの部分加群で役割が入れ替わる。

$M=\mathbb{Z}$ を $\mathbb{Z}$ 加群とみ、$u$ を $2$ 倍写像とする。部分加群は $a\mathbb{Z}$（$a\ge0$）の形である。増加列 $N_1\subset N_2\subset\cdots$ の和集合も部分加群 $a\mathbb{Z}$ で、$a$ はある $N_k$ に入るので、$N_k=a\mathbb{Z}$ 以後列は一定である。よって $M$ は Noether 加群である。一方、$2\mathbb{Z}\supsetneq4\mathbb{Z}\supsetneq\cdots$ が止まらないので Artin 加群でない。$u^k(M)=2^k\mathbb{Z}$、$\ker u^k=0$ なので、どの $n$ でも $u^n(M)+\ker u^n=2^n\mathbb{Z}\neq\mathbb{Z}$ である。$u$ は単射だが全射でない。この例は「Noether 加群」を満たすが「Artin 加群」を満たさず、prop-fitting-one-sided の 1 と thm-fitting-lemma の 1 の結論を破る。$\mathbb{Z}$ は直既約（$0$ でない部分加群 $a\mathbb{Z}$、$b\mathbb{Z}$ は $ab\neq0$ を共有する）だが、$u$ は自己同型でも冪零でもないので、cor-fitting-indecomposable の 1 も「長さ有限」なしには成り立たない。

素数 $p$ について、$M=\mathbb{Z}(p^\infty)=\mathbb{Z}[1/p]/\mathbb{Z}$（$p$ 冪を分母とする有理数を整数を法としてみた群、Prüfer群）を $\mathbb{Z}$ 加群とみる。$C_k:=p^{-k}\mathbb{Z}/\mathbb{Z}$ とおくと、$M$ の真の部分群は $C_k$（$k\ge0$）だけである（Prüfer群 の命題「部分群の決定」）。真の部分群は有限なので減少列は止まり、$M$ は Artin 加群である。$C_1\subsetneq C_2\subsetneq\cdots$ は止まらないので Noether 加群でない。
$u$ を $p$ 倍写像とすると、$\overline{a/p^k}=u(\overline{a/p^{k+1}})$ なので $u$ は全射で、$u^n(M)=M$ である。一方 $\ker u^n=C_n\neq0$ なので、$u^n(M)\cap\ker u^n=C_n\neq0$ である。$u$ は全射だが単射でない。この例は「Artin 加群」を満たすが「Noether 加群」を満たさず、prop-fitting-one-sided の 2 と thm-fitting-lemma の 1 の結論を破る（和 $u^n(M)+\ker u^n=M$ は成り立っている）。

$M=\mathbb{Z}/6\mathbb{Z}$ は有限なので長さ有限である。$u$ を $3$ 倍写像とすると、$u^2=u$（$9\equiv3\pmod 6$）なので $u$ は冪零でなく、$u(\bar1)=u(\bar3)=\bar3$ なので自己同型でもない。Fitting 分解は $M=u(M)\oplus\ker u=\{\bar0,\bar3\}\oplus\{\bar0,\bar2,\bar4\}$ で、どちらの成分も $0$ でない。この例は「長さ有限」を満たすが「直既約」を満たさず、cor-fitting-indecomposable の 1 の結論を破る。