正則写像

同義語：holomorphic map複素解析写像

概要

前提知識: 正則関数, 複素多様体, 複素解析空間, 局所座標

複素空間の間の写像

複素平面上の $z\mapsto z^2$ や $z\mapsto e^z$ は正則関数であると同時に、複素平面から複素平面への写像でもある。値域を複素平面に限らず、Riemann面や高次元の複素多様体に広げたものが正則写像（holomorphic map）である。局所座標を選んだとき、各成分が複素変数の正則関数になっていることを要求する。
この条件は、写像の連続性だけでは得られない強い制約を持つ。正則写像は合成でき、微分は複素線形である。微分が可逆な点では局所的に逆の正則写像がある。他方、微分がどの点で可逆でも大域的に逆があるとは限らない。指数写像 $e^z$ はその簡単な例である。複素代数多様体の代数的射を解析化すると正則写像が得られるが、逆にあらゆる正則写像が多項式で書けるわけでもない。
本記事は、複素多様体で与えられる座標と正則関数の概念から出発し、写像としての判定、局所的な性質、グラフ、代数的写像との比較を扱う。1 変数の詳細な分岐理論と局所次数には深入りしない。射影的スキームで代数的射を回復する比較定理は GAGA が扱う。

定義と座標による判定

複素多様体の正則写像

$X,Y$ を複素多様体とする。連続写像 $F:X\to Y$ が正則写像であるとは、各 $x\in X$ について、$x$ の近傍の正則座標 $z:U\to z(U)\subset\mathbb C^n$ と $F(x)$ の近傍の正則座標 $w:V\to w(V)\subset\mathbb C^m$ を選ぶと、$F(U)\subset V$ となるよう $U$ を縮められ、
$$w\circ F\circ z^{-1}:z(U)\longrightarrow w(V)$$
の各成分が $n$ 変数の正則関数であることをいう。複素解析空間の間では、連続写像と構造層上の局所的な $\mathbb C$ 代数準同型からなる解析空間の射を正則写像という。

局所座標を一組だけ使って判定してよい。別の座標を使った表示は、その前後に正則な座標変換を合成したものだからである。複素解析空間には特異点や冪零元があり、単に台となる集合の点を写すだけでは射を定められない。構造層の射が必要になる点は、多様体との重要な違いである。以下、特に断らない限り $X,Y$ は複素多様体とする。

座標を取り替えても定義は変わらない

$F$ がある正則座標の組で正則なら、他の正則座標の組でも正則である。また、正則写像の合成は正則写像であり、恒等写像は正則写像である。

座標変換と合成

始域の二つの座標を $z,z'$、終域の二つの座標を $w,w'$ とし、両方が定義される近傍に制限する。新しい表示は
$$w'\circ F\circ(z')^{-1}=(w'\circ w^{-1})\circ(w\circ F\circ z^{-1})\circ(z\circ(z')^{-1})$$
である。両端は複素多様体の座標変換なので正則であり、中央も仮定で正則である。複数変数の正則関数の合成は正則だから、新しい表示も正則である。写像 $F:X\to Y$、$G:Y\to Z$ の合成については、中間の $Y$ で同じ座標を選ぶと座標表示が二つの正則写像の合成になり、同じ理由で正則である。恒等写像の座標表示は恒等写像である。

多変数の写像

$F:\mathbb C^2\to\mathbb C^2$ を $F(z,w)=(z+w^2,zw)$ とすると、二つの成分が多項式なので正則写像である。$G(z,w)=(z,\overline w)$ は連続かつ実微分可能だが、第二成分は $w$ に関して複素微分可能でないので正則でない。このような写像を認めてしまうと、後述する微分の複素線形性も失われる。

値域が $\mathbb C^m$ のときには、座標の定義をさらに簡単にできる。写像 $F:X\to\mathbb C^m$ が正則であることは、その成分 $F_1,\ldots,F_m$ がすべて $X$ 上の正則関数であることと同値である。これは $\mathbb C^m$ の標準座標を終域の座標に選べば直ちに従う。とくに、$X$ 上の正則関数は $X\to\mathbb C$ という正則写像と同じものである。

正則関数の引き戻しによる判定

$F:X\to Y$ を連続写像とする。$F$ が正則であることと、$Y$ の任意の開集合 $V$ とその上の正則関数 $h$ について $h\circ F$ が $F^{-1}(V)$ 上の正則関数になることは同値である。

座標関数を引き戻す

$F$ が正則なら、$h\circ F$ は局所座標では正則写像と正則関数の合成であり、正則である。逆に、$y=F(x)$ の座標近傍 $(V,w)$ を選ぶ。$w=(w_1,\ldots,w_m)$ の各成分 $w_j$ は $V$ 上の正則関数だから、仮定により $w_j\circ F$ は $F^{-1}(V)$ 上で正則である。$x$ の座標で見れば $w\circ F$ の全成分が正則となり、定義から $F$ は $x$ で正則である。$x$ は任意なので全体で正則である。

この判定は、正則写像が正則関数の層を引き戻すことを示している。$F$ が正則なら、開集合 $V\subset Y$ の正則関数を $F^{-1}(V)$ の正則関数に送る $h\mapsto h\circ F$ があり、制限と両立する。複素多様体を構造層付きの空間と見たとき、これはその射の構造層上の部分である。複素解析空間では、この層の射を写像の定義に含める。

微分と局所的な逆

局所座標で $F=(F_1,\ldots,F_m)$ と書き、$x$ の座標を $z_1,\ldots,z_n$ とする。点 $x$ の微分は複素 Jacobian 行列
$$dF_x=\left(\frac{\partial F_i}{\partial z_j}(x)\right)_{1\le i\le m,\ 1\le j\le n}$$
で表される。座標を替えると左右に可逆な複素行列が掛かるので、「微分が単射・全射・可逆」という性質は座標によらない。実可微分写像としての微分を見れば、これは複素線形であり、$dF_x(iv)=i\,dF_x(v)$ を満たす。

正則写像の連鎖律

正則写像 $F:X\to Y$、$G:Y\to Z$ について、各 $x\in X$ で $d(G\circ F)_x=dG_{F(x)}\circ dF_x$ が成り立つ。

座標表示に戻す

$x,F(x),G(F(x))$ の近傍で座標を選ぶ。座標表示の各成分は複素変数の正則関数だから、複素偏微分に対する通常の連鎖律を適用できる。Jacobian 行列について $J_{G\circ F}(x)=J_G(F(x))J_F(x)$ を得る。座標を変えても接空間の線形写像として同じ等式を表すので、主張が従う。

正則な逆写像定理

$X,Y$ を同じ複素次元 $n$ の複素多様体、$F:X\to Y$ を正則写像とする。$dF_x$ が可逆なら、$x$ と $F(x)$ の近傍を適切に取った $F$ の制限は双正則写像である。逆に、$F$ が $x$ の近くで双正則なら $dF_x$ は可逆である。

逆写像と連鎖律

座標を取ると、仮定は複素 Jacobian 行列の行列式が $x$ で零でないという条件になる。座標表示 $f$ を $\mathbb R^{2n}$ の開集合の間の $C^1$ 級写像と見ると、その実 Jacobian 行列式は複素 Jacobian 行列式の絶対値の $2$ 乗に等しく、零でない。実の逆写像定理（Leb26BA Theorem 8.5.1, p. 51）により、$f$ は小さな近傍の間で $C^1$ 級の逆写像 $g$ を持ち、$dg_{f(z)}=(df_z)^{-1}$ である。$df_z$ は可逆な複素線形写像なので、その逆 $dg$ も各点で複素線形である。実微分が複素線形であることは各成分が各変数について Cauchy–Riemann 方程式を満たすことと同じなので、$C^1$ 級の $g$ は各変数について正則、すなわち正則である。座標変換で元の多様体へ戻せば $F$ は近傍の間の双正則写像である。逆に $F^{-1}$ が近傍で正則なら、prop-holomorphic-map-chain を $F^{-1}\circ F$ に適用して $d(F^{-1})_{F(x)}\,dF_x=\operatorname{id}$ を得る。同様に $dF_x\,d(F^{-1})_{F(x)}=\operatorname{id}$ なので $dF_x$ は可逆である。

双正則写像とは全単射で逆も正則な写像であり、複素多様体の同型である。局所双正則性と大域的な双正則性は区別しなければならない。$e^z:\mathbb C\to\mathbb C^*$ はどの点でも微分が $e^z\ne0$ なので局所双正則だが、$e^{z+2\pi i}=e^z$ により単射でない。一方、$z\mapsto z^2$ は $z\ne0$ では局所双正則だが、$0$ では微分が零であり局所的な逆写像を持たない。これは分岐点の最も簡単な模型である。
実数の場合と違い、一変数では「微分が零の点」はいつもこの $z^2$ の型の折り返しを起こす。実数直線上の $x\mapsto x^3$ は単射で微分可能だが、$0$ で微分が零になる。正則写像ではこのようなことは起こらない。

単射な正則関数の微分は零にならない

$D\subset\mathbb C$ を開集合、$f:D\to\mathbb C$ を単射な正則関数とする。このとき任意の $a\in D$ で $f'(a)\ne0$ であり、$f$ は各点の近くで双正則である。

$f'(a)=0$ となる $a$ があったとして矛盾を導く。$f$ は単射なので $a$ を含む連結成分上で定数でなく、一致の定理により $f(z)-f(a)$ は $a$ で有限の位数 $k$ の零点をもつ。$f'(a)=0$ なので $k\ge2$ であり、$a$ の近くで $f(z)-f(a)=(z-a)^kg(z)$、$g$ は正則で $g(a)\ne0$ と書ける。$a$ の十分小さい円板 $B$ では $g(B)$ が $0$ を含まない円板に入るので、そこで正則な $k$ 乗根 $h$（$h^k=g$）が取れる（$0$ を含まない円板上では対数の枝が取れるので $h=\exp(\tfrac1k\log g)$ とすればよい）。$\varphi(z):=(z-a)h(z)$ とおくと $f(z)=f(a)+\varphi(z)^k$ で、$\varphi(a)=0$、$\varphi'(a)=h(a)\ne0$ である。thm-holomorphic-map-inverse により $\varphi$ は $a$ の近傍 $B'$ から $0$ の近傍 $W$ への双正則写像である。小さい $r>0$ を $W$ が半径 $r$ の円板を含むように取り、$0< \lvert w\rvert< r^k$ とすると、$w$ の $k$ 個の相異なる $k$ 乗根 $\zeta_1,\ldots,\zeta_k$ はすべて $W$ に入る。$z_j:=\varphi^{-1}(\zeta_j)$ は相異なる $k\ge2$ 個の点で、$f(z_j)=f(a)+w$ はすべて等しい。これは単射性に反する。
したがって $f'$ はどこでも零でなく、thm-holomorphic-map-inverse により $f$ は各点の近くで双正則である。$\square$

$x\mapsto x^3$ の逆写像 $y\mapsto y^{1/3}$ は $0$ で微分可能でないので、実数の場合には「単射で滑らかなら逆も滑らか」は成り立たない。上の命題は、複素微分可能性がこの現象を排除することを示す。多変数でも、開集合 $U\subset\mathbb C^n$ から $\mathbb C^n$ への単射な正則写像の Jacobian 行列式はどこでも零にならず、特に開集合の間の正則な全単射は双正則である（Leb26 Theorem 1.6.6, p. 43）。この記事では多変数の場合を証明しない。
複素次元の違う場合には、微分の階数に応じて正則写像が局所的な埋め込みや沈め込みになる。たとえば $\mathbb C\to\mathbb C^2$、$z\mapsto(z,z^2)$ は正則な埋め込みで、像は $w=z^2$ という正則方程式で表せる。$\mathbb C^2\to\mathbb C$、$(z,w)\mapsto z$ は正則な沈め込みで、各ファイバーは複素直線である。これらは複素次元が異なるため双正則写像とは呼ばない。

グラフは複素部分多様体

正則写像 $F:X\to Y$ のグラフ $\Gamma_F=\{(x,F(x)):x\in X\}$ は $X\times Y$ の部分集合である。グラフは単に集合として $X$ と同じ形をしているだけでなく、周囲の積多様体の複素部分多様体になる。この事実は、正則写像を幾何学的な部分空間として扱うときに便利である。

正則写像のグラフ

$F:X\to Y$ が正則なら、$\Gamma_F$ は $X\times Y$ の閉じた複素部分多様体であり、第一射影 $\Gamma_F\to X$ は双正則写像である。逆に、連続写像 $F:X\to Y$ のグラフが複素部分多様体で、第一射影が双正則なら、$F$ は正則である。

グラフを座標平面に直す

$x\in X$ と $F(x)\in Y$ の座標近傍を取り、局所座標で $F$ を $f:U\subset\mathbb C^n\to V\subset\mathbb C^m$ と書く。積の座標で正則写像 $T(z,w)=(z,w-f(z))$ を考える。これは $T^{-1}(z,u)=(z,u+f(z))$ を持つので、十分小さい積近傍の間の双正則写像である。$T$ はグラフ $w=f(z)$ を座標平面 $u=0$ に送る。したがってグラフは複素次元 $n$ の部分多様体であり、第一射影は逆写像 $x\mapsto(x,F(x))$ を持つ双正則写像である。$Y$ は Hausdorff なので連続写像のグラフは $X\times Y$ で閉じている。逆向きは、第二射影 $\Gamma_F\to Y$ と第一射影の正則な逆との合成が $F$ に等しいことから従う。

複素解析空間の間の正則写像についても、グラフを解析的部分空間として扱える。ただし特異な空間や冪零元を含む場合には、台の集合としてのグラフだけでは足りず、構造層を含めた解析空間としてのグラフを考える。ここで証明した多様体の場合は、その局所的な手本である。

射影空間への写像

終域が複素射影空間のとき、写像を一組の複素数値関数で書くには注意がいる。$[u_0:\cdots:u_m]$ は同時に零でない座標の組を同時スカラー倍で同一視した点であり、各 $u_j$ 自体は射影空間上の関数ではない。正則写像を作るには、始域上で同時に零にならない正則関数の組を使うことができる。

正則関数の組が定める射影空間への写像

$X$ を複素多様体とし、$f_0,\ldots,f_m$ を $X$ 上の正則関数で、どの点でも同時に零にならないものとする。このとき $x\mapsto[f_0(x):\cdots:f_m(x)]$ は $X\to\mathbb P^m(\mathbb C)$ の正則写像である。逆に、任意の正則写像 $F:X\to\mathbb P^m(\mathbb C)$ は各点の近くでこの形に書ける。

射影座標の比を調べる

各点 $x$ である $f_i(x)$ は零でない。$f_i\ne0$ の開集合に制限すると、像は射影空間の標準アフィン座標近傍 $u_i\ne0$ に入り、その座標表示は $(f_j/f_i)_{j\ne i}$ となる。分母 $f_i$ はこの開集合で零にならないから、各比は正則である。したがって写像は正則である。逆に $F(x)$ のある斉次座標 $u_i$ は零でないので、$x$ の近くで $F$ はその標準アフィン座標近傍に入る。その座標成分を $g_j$ と書き、$f_i=1$、$f_j=g_j$（$j\ne i$）とすれば、局所的な表示を得る。

局所表示と大域表示の差

$\mathbb C\to\mathbb P^1(\mathbb C)$、$z\mapsto[1:z]$ は正則で、像は無限遠点を除いたアフィン座標近傍である。同じ始域から $z\mapsto[1:e^z]$ も正則である。これらは二つの大域正則関数の組で書ける。一方、$\mathbb P^1(\mathbb C)$ の恒等写像は正則だが、二つの大域正則関数の組では書けない。実際、コンパクトな連結複素多様体上の大域正則関数は定数なので（prop-holomorphic-map-compact）、そのような組は定数写像しか与えない。恒等写像を表すには、各アフィン座標近傍で別々に正則関数の組を取り、重なりで零でない正則関数を掛けて同一視する。この移り変わりは直線束の言葉で記述できる。

大域的な制約と代数的写像

局所的には多数の正則写像があるが、始域と終域の大域的な性質で写像が強く制限される。特に、連結でコンパクトな複素多様体から複素数空間への正則写像は定数に限られる。これは「射影的な空間からアフィン空間への写像」を考えるときにも重要である。

コンパクトな始域からの正則写像

$X$ を連結なコンパクト複素多様体とする。任意の正則写像 $F:X\to\mathbb C^m$ は定数である。

各成分に最大値原理を適用する

$F=(F_1,\ldots,F_m)$ と書く。各 $F_j:X\to\mathbb C$ は正則関数である。コンパクト性により $|F_j|$ は最大値を点 $x_j$ で取る。$x_j$ の座標近傍を連結な小さな多重円板に取ると、$\lvert F_j\rvert$ はそこで $x_j$ において最大となるので、最大値原理により $F_j$ は $x_j$ の近くで定数になる。$F_j-F_j(x_j)$ は空でない開集合で消えるので、一致の定理により連結な $X$ 全体で $0$ であり、$F_j$ は定数である（一致の定理は座標近傍ごとに適用し、消える点の集合の内部が開かつ閉であることから $X$ 全体に広げる）。すべての成分が定数なので $F$ も定数である（最大値原理と一致定理は正則関数、Leb26 Theorem 1.2.8, 1.2.7, p. 25）。

終域を $\mathbb C^m$ から射影空間に替えると、コンパクトな始域から非定数の正則写像が存在する。たとえば恒等写像 $\mathbb P^1(\mathbb C)\to\mathbb P^1(\mathbb C)$ はその例であり、$[z_0:z_1]\mapsto[z_0^2:z_1^2]$ も二次の正則写像である。前者の命題が終域のアフィン性に依存していることが分かる。
複素代数多様体の代数的射 $f:X\to Y$ は、座標近傍では多項式や分母が零にならない有理式で与えられるので、解析化によって正則写像 $f^{\mathrm{an}}:X^{\mathrm{an}}\to Y^{\mathrm{an}}$ を与える（GAGA の「解析化」の節）。逆向きは一般には成り立たない。$e^z:\mathbb A^1_{\mathbb C}(\mathbb C)\to\mathbb A^1_{\mathbb C}(\mathbb C)$ は正則だが、アフィン直線の代数的自己射は $\mathbb C[z]$ の元、すなわち多項式で定まるため、$e^z$ はその解析化ではない。射影的な場合の連接層と射の比較には GAGA が必要である。

反例：条件を外すと崩れること

正則写像について成り立ちそうに見えるが、条件を外すと成り立たない主張を表にまとめる。各行の反例は右の列の主張を破る。

外す条件	反例	成り立たなくなること
複素微分可能性（実微分可能だけ）	$G(z,w)=(z,\overline w)$	微分は複素線形
大域的な単射性	$e^z:\mathbb C\to\mathbb C^*$	局所双正則なら双正則
微分の可逆性	$z\mapsto z^2$ の $0$	局所的な逆写像がある
複素構造（実数の場合）	$x\mapsto x^3$	単射なら微分は零でない
始域のコンパクト性	恒等写像 $\mathbb C\to\mathbb C$	$\mathbb C^m$ への正則写像は定数
終域が $\mathbb C^m$	恒等写像 $\mathbb P^1(\mathbb C)\to\mathbb P^1(\mathbb C)$	コンパクトな始域からの正則写像は定数
代数性	$e^z$	正則写像は代数的射の解析化

複素微分可能性：$G$ の第二成分 $\overline w$ は実微分 $v\mapsto\overline v$ をもち、$\overline{iv}=-i\overline v\ne i\overline v$（$v\ne0$）なので複素線形でない。Cauchy–Riemann の方程式 $\partial\overline w/\partial\overline w=1\ne0$ を満たさず、正則でない。
大域的な単射性：$e^z$ は微分 $e^z\ne0$ なので thm-holomorphic-map-inverse によりどの点でも局所双正則だが、$e^{z+2\pi i}=e^z$ で単射でなく、双正則でない。
微分の可逆性：$z^2$ は $0$ の任意の近傍で $\pm z$ を同じ値に送るので、$0$ の近くで単射でなく、局所的な逆写像がない。prop-holomorphic-map-injective の対偶の形である。
複素構造：$x^3$ は $\mathbb R$ から $\mathbb R$ への単射な滑らかな写像で、$0$ で微分が零である。prop-holomorphic-map-injective の証明は $k$ 乗根が $k$ 個あること（複素数の性質）を使っており、実数では $w$ の実数の $3$ 乗根は一つしかない。
始域のコンパクト性：恒等写像は定数でない。prop-holomorphic-map-compact の証明で $\lvert F_j\rvert$ が最大値をとる点は、コンパクト性がなければ存在しない。
終域：恒等写像は定数でない。$\mathbb P^1(\mathbb C)$ 上には非定数の大域正則関数がないが、写像の成分は局所的にしか関数として書けない（ex-holomorphic-map-projective）。
代数性：$e^z$ は多項式でないので、アフィン直線の代数的自己射の解析化でない（前節）。