van Kampen–Floresの定理

同義語：van Kampen-Floresの定理van Kampen–Flores theorem

概要

van Kampen–Floresの定理（van Kampen–Flores theorem）とは、$n\ge0$ について、$(2n+2)$ 単体の $n$ 骨格（次元 $n$ 以下の面の和）から $\mathbb{R}^{2n}$ へのどの連続写像も、互いに交わらない 2 つの面から 1 点ずつとった 2 点で同じ点に写るものをもつという定理で、とくにこの骨格は $\mathbb{R}^{2n}$ に埋め込めない。$n=1$ は 5 頂点の完全グラフが平面に描けないことを含む。証明は、骨格からの距離を座標に加えて、Borsuk–Ulam の定理から従う位相的 Radon の定理に帰着させる。骨格の被覆次元は $n$ なので、Menger–Nöbeling の埋め込み定理の次元 $2n+1$ は一般には下げられない（骨格は $\mathbb{R}^{2n+1}$ には埋め込める）。

$$\newcommand{C}[0]{\mathbb{C}} \newcommand{div}[0]{\mathbin{÷}} \newcommand{N}[0]{\mathbb{N}} \newcommand{Q}[0]{\mathbb{Q}} \newcommand{R}[0]{\mathbb{R}} \newcommand{Z}[0]{\mathbb{Z}} $$

前提知識: 単体複体, Borsuk–Ulamの定理, Tietzeの拡張定理, 被覆次元

5 頂点の完全グラフ $K_5$ は、辺どうしが交わらないように平面に描くことができない。$K_5$ を図形として見ると、5 頂点の単体（4 単体）から頂点と辺だけを取り出したもの、すなわち 4 単体の 1 骨格である。van Kampen–Flores の定理はこれを高い次元に一般化し、$(2n+2)$ 単体の $n$ 骨格（次元が $n$ 以下の面の和）は $2n$ 次元の Euclid 空間 $\mathbb{R}^{2n}$ に埋め込めないことを主張する。van Kampen と Flores が 1930 年代に示した（BZ17 §2.3、p. 4）。基本群を計算する Van Kampenの定理（Seifert–van Kampen の定理）とは別の定理である。
次元を数えると、$\mathbb{R}^{m}$ の中の $n$ 次元の 2 つの図形の交わりは $n+n-m$ 次元と見積もられ、$m=2n$ では一般の位置に動かしても有限個の点で交わりうるが、$m=2n+1$ では一般の位置に動かせば交わらない。Menger–Nöbelingの埋め込み定理 は、被覆次元が $n$ 以下の可分距離空間がすべて $\mathbb{R}^{2n+1}$ に埋め込めることを述べる。van Kampen–Flores の定理は、その次元 $2n+1$ を一般には $2n$ に下げられないことを示す例を与える。
実際にはより強く、$n$ 骨格から $\mathbb{R}^{2n}$ へのどんな連続写像についても、互いに交わらない 2 つの面から 1 点ずつとった 2 点で、同じ点に写るものがある。この記事では、この形を、Radon の定理の連続写像版である位相的 Radon の定理から導く。位相的 Radon の定理は Borsuk–Ulamの定理 から従う。

定義

$N\ge0$ とし、$V:=\{0,1,\dots,N\}$ とする。座標を $V$ の元で番号づけた $\mathbb{R}^V\cong\mathbb{R}^{N+1}$ の中の
$$ \Delta_N:=\Bigl\{x\in\mathbb{R}^V\Bigm| x_v\ge0\ (v\in V),\ \sum_{v\in V}x_v=1\Bigr\} $$
を標準 $N$ 単体という（単体複体 の記事の標準単体 $\Delta^N$ と同じもの）。$e_v$ を $v$ 番目の標準基底ベクトルとすると、$\Delta_N$ は $e_0,\dots,e_N$ の凸包である。点 $x\in\Delta_N$ の台を $\operatorname{supp}x:=\{v\in V\mid x_v>0\}$ と書く。座標の和が $1$ なので台は空でない。

面・骨格・交わらない面

空でない部分集合 $S\subset V$ について、$\Delta_S:=\{x\in\Delta_N\mid \operatorname{supp}x\subset S\}$ を $S$ が張る面といい、その次元を $\lvert S\rvert-1$ とする。$0\le n\le N$ について、次元 $n$ 以下の面の和
$$ \Delta_N^{(n)}:=\{x\in\Delta_N\mid \lvert\operatorname{supp}x\rvert\le n+1\} $$
を $\Delta_N$ の $n$ 骨格という。2 つの面 $\Delta_S$、$\Delta_T$ は $S\cap T=\emptyset$ のとき交わらないという。

$\Delta_S\cap\Delta_T$ は $S\cap T=\emptyset$ なら空集合で、そうでなければ面 $\Delta_{S\cap T}$ である。点 $x,y\in\Delta_N$ が交わらない面に属することは、$\operatorname{supp}x\cap\operatorname{supp}y=\emptyset$ と同値である（$S:=\operatorname{supp}x$、$T:=\operatorname{supp}y$ と取ればよい）。このとき $x\neq y$ である。$\Delta_N$ のすべての面からなる幾何的単体複体を $K$ とすると、$\Delta_N^{(n)}$ は $K$ の $n$ 骨格 $K^{(n)}$ の多面体である（単体複体 の記事の定義「幾何的単体複体」）。$\Delta_N^{(n)}$ は有限個の閉集合 $\Delta_S$（$\lvert S\rvert=n+1$）の和なので、$\Delta_N$ のコンパクトな部分集合である。
連続写像 $f\colon X\to Y$ が埋め込みであるとは、$f$ が単射で、$X$ から部分空間 $f(X)$ への同相写像であることをいう（位相空間の埋め込み定理）。コンパクト空間から Hausdorff 空間への連続な単射は閉写像なので、自動的に埋め込みである。

小さい場合
  1. $n=0$：$\Delta_2^{(0)}$ は 3 頂点 $e_0,e_1,e_2$ からなる 3 点集合で、$\mathbb{R}^0=\{0\}$ は 1 点である。
  2. $n=1$：$\Delta_4^{(1)}$ は 5 個の頂点と、それらを 2 つずつ結ぶ 10 本の辺からなる。これは完全グラフ $K_5$ を図形として実現したものである。
  3. $n=2$：$\Delta_6^{(2)}$ は 7 個の頂点、21 本の辺、$\binom73=35$ 個の三角形からなる 2 次元の多面体である。

主張

van Kampen–Floresの定理

$n\ge0$ とし、$f\colon\Delta_{2n+2}^{(n)}\to\mathbb{R}^{2n}$ を連続写像とする。このとき、台が交わらない 2 点 $x,y\in\Delta_{2n+2}^{(n)}$（$\operatorname{supp}x\cap\operatorname{supp}y=\emptyset$）で、$f(x)=f(y)$ となるものがある。

証明の所在

証明は下の節「定理の証明」の prf-vkf-main にあり、節「位相的 Radon の定理」の thm-vkf-topological-radon から導く。

$\Delta_{2n+2}$ の頂点は $2n+3$ 個あり、$n$ 骨格の点の台は $n+1$ 個以下の頂点からなる。交わらない 2 つの $n$ 次元の面は合わせて $2n+2$ 個の頂点を使うので、頂点が $2n+3$ 個あれば、どの $n$ 次元の面にも交わらない $n$ 次元の面が少なくとも $\binom{n+2}{n+1}=n+2$ 個ある。定理は、この「交わらない面の組」のどれかが $f$ で重なることを主張している。$n=0$ では、3 点から 1 点への写像は必ず異なる 2 点を同じ点に写すという自明な主張である。

骨格は低い次元に埋め込めない

$n\ge0$ について、$\Delta_{2n+2}^{(n)}$ から $\mathbb{R}^{2n}$ への連続な単射は存在しない。とくに $\Delta_{2n+2}^{(n)}$ は $\mathbb{R}^{2n}$ に埋め込めない。

thm-vkf-main の $x,y$ は台が交わらないので $x\neq y$ であり、$f(x)=f(y)$ なので $f$ は単射でない。埋め込みは連続な単射なので、埋め込みも存在しない。$\square$

$n=1$ の場合は、$K_5$ が平面グラフでないことを含む。実際、$K_5$ の平面埋め込みがあったとすると、辺 $\{u,v\}$ に対応する弧を $\gamma_{uv}\colon[0,1]\to\mathbb{R}^2$（$\gamma_{uv}(0)$ が $u$ の点、$\gamma_{uv}(1)$ が $v$ の点である、像への同相写像）で表し、辺 $\Delta_{\{u,v\}}$ の点 $(1-t)e_u+te_v$ を $\gamma_{uv}(t)$ に写す。各辺の上で連続で、辺は有限個の閉集合なので、貼り合わせ補題 により $\Delta_4^{(1)}\to\mathbb{R}^2$ の連続写像が定まる。平面埋め込みの条件（異なる辺の弧は共通の端点以外で交わらず、弧の内部は頂点の点を通らない）からこの写像は単射になり、cor-vkf-no-embedding に反する。平面グラフ の記事の命題「$K_5$ は平面グラフでない」は辺の数の評価で同じ結論を出しているが、この記事の定理は「弧」を一般の連続な単射に広げても成り立つ。

位相的 Radon の定理

$\mathbb{R}^d$ の $d+2$ 個の点は、凸包が交わる 2 つの組に分けられる（Radonの定理(凸幾何)）。点を $p_0,\dots,p_{d+1}$ とし、アフィン写像 $f\colon\Delta_{d+1}\to\mathbb{R}^d$、$f(x):=\sum_vx_vp_v$ を考えると、これは「台が交わらない 2 点 $x,y\in\Delta_{d+1}$ で $f(x)=f(y)$ となるものがある」と言い換えられる（2 つの組の凸包の共通点を、それぞれの組の点の凸結合として表した係数が $x$ と $y$ で、$f(x)=f(y)$ がその共通点である。逆に $x,y$ があれば、$\operatorname{supp}x$ とその補集合が凸包の交わる 2 つの組になる）。この言い換えは、アフィン写像を連続写像に替えても成り立つ。

位相的 Radon の定理

$d\ge0$ とし、$f\colon\Delta_{d+1}\to\mathbb{R}^d$ を連続写像とする。このとき、台が交わらない 2 点 $x,y\in\Delta_{d+1}$ で $f(x)=f(y)$ となるものがある。

この定理は Bajmóczy と Bárány が 1979 年に示した（BZ17 Theorem 2.3、p. 4）。証明では、$\Delta_{d+1}$ の点の組 $(x,y)$ を、正の部分と負の部分に分けた 1 つのベクトル $z$ で表す。

正の部分と負の部分に分ける

$V:=\{0,\dots,d+1\}$ とする。$z\in\mathbb{R}^V$ に対し $\|z\|_1:=\sum_v|z_v|$、$z^+_v:=\max(z_v,0)$、$z^-_v:=\max(-z_v,0)$ とおくと、$z=z^+-z^-$、$\|z\|_1=\|z^+\|_1+\|z^-\|_1$ であり、$z^+$ と $z^-$ は $0$ でない座標の位置が重ならない。$z\mapsto z^{\pm}$ は連続で、$(-z)^+=z^-$、$(-z)^-=z^+$ である。
1. $\ell^1$ 球面． $\Sigma:=\{z\in\mathbb{R}^V\mid \|z\|_1=1\}$ とし、$|\cdot|$ を Euclid ノルム、$S^{d+1}:=\{w\in\mathbb{R}^V\mid |w|=1\}$ とする。$\phi(z):=z/|z|$ と $\psi(w):=w/\|w\|_1$ は $\Sigma$ と $S^{d+1}$ の間の互いに逆な連続写像で、$\phi(-z)=-\phi(z)$ を満たす。
2. 錐への拡張． $C:=\{u\in\mathbb{R}^V\mid u_v\ge0\ (v\in V)\}$ とし、$u\in C$ に対し
$$ F(u):=\|u\|_1\,f\bigl(u/\|u\|_1\bigr)\quad(u\neq0),\qquad F(0):=0 $$
と定める。$u\neq0$ なら $u/\|u\|_1\in\Delta_{d+1}$ なので定義できる。$\Delta_{d+1}$ はコンパクトなので $M:=\max_{\Delta_{d+1}}|f|$ は有限で、$|F(u)|\le M\|u\|_1$ から $F$ は $0$ でも連続である。
3. 奇写像． $z\in\Sigma$ に対し $z^{\pm}\in C$ なので、
$$ G(z):=\bigl(\|z^+\|_1-\|z^-\|_1,\ F(z^+)-F(z^-)\bigr)\in\mathbb{R}\times\mathbb{R}^d=\mathbb{R}^{d+1} $$
は連続で、$G(-z)=-G(z)$ を満たす。$g:=G\circ\psi\colon S^{d+1}\to\mathbb{R}^{d+1}$ も連続な奇写像である。Borsuk–Ulamの定理 の記事の定理「Borsuk–Ulamの定理」（$d+1\ge1$ の場合）と命題「同値な言い換え」の (1)⇒(2) により、$g(w)=0$ となる $w$ があり、$z:=\psi(w)\in\Sigma$ は $G(z)=0$ を満たす。
4. 交わらない 2 点． 第 1 成分と $\|z^+\|_1+\|z^-\|_1=1$ から $\|z^+\|_1=\|z^-\|_1=\frac12$ である。$x:=2z^+$、$y:=2z^-$ とおくと $x,y\in\Delta_{d+1}$ で、台は $z$ の正の座標と負の座標の位置なので交わらない。第 2 成分から $\frac12f(x)=F(z^+)=F(z^-)=\frac12f(y)$、すなわち $f(x)=f(y)$ である。$\square$

$d=0$ では $\Delta_1$ の 2 頂点がともに $\mathbb{R}^0$ の 1 点に写るという自明な主張になる。位相的 Radon の定理では頂点が $d+2$ 個で、交わらない 2 点の台の大きさに制限はない。van Kampen–Flores の定理は、頂点を 1 つ増やす代わりに、台の大きさを $n+1$ 以下に制限した形である。

定理の証明

thm-vkf-main を thm-vkf-topological-radon から導く。$f$ を $\Delta_{2n+2}$ 全体に延ばし、骨格からの距離を新しい座標として加えて $\mathbb{R}^{2n+1}$ への写像を作るのが要点である。この筋は BZ17 §2.3（Theorem 2.4 の証明、pp. 4–5）による。

骨格からの距離を座標に加える

$N:=2n+2$、$K_n:=\Delta_N^{(n)}$ とする。$\Delta_N$ は Euclid 距離をもつコンパクト距離空間なので正規であり、$K_n$ はその閉集合である。Tietzeの拡張定理 の記事の系「区間の積への延長」により、$f$ は連続写像 $\tilde f\colon\Delta_N\to\mathbb{R}^{2n}$ に延長できる。$\delta(x):=\operatorname{dist}(x,K_n)$（Euclid 距離による $K_n$ までの距離）は連続で、$K_n$ が閉なので $\delta(x)=0$ と $x\in K_n$ は同値である。
$$ g(x):=\bigl(\tilde f(x),\ \delta(x)\bigr)\in\mathbb{R}^{2n}\times\mathbb{R}=\mathbb{R}^{2n+1} $$
とおくと、$g\colon\Delta_N\to\mathbb{R}^{2n+1}$ は連続で、$\Delta_N$ の頂点は $N+1=(2n+1)+2$ 個である。thm-vkf-topological-radon を $d=2n+1$ として $g$ に使うと、台が交わらない 2 点 $x,y\in\Delta_N$ で $g(x)=g(y)$、すなわち $\tilde f(x)=\tilde f(y)$ かつ $\delta(x)=\delta(y)$ となるものがある。
台は交わらないので $\lvert\operatorname{supp}x\rvert+\lvert\operatorname{supp}y\rvert\le2n+3$ であり、どちらか一方、たとえば $x$ について $\lvert\operatorname{supp}x\rvert\le n+1$ である（両方が $n+2$ 以上なら和は $2n+4$ 以上になる）。よって $x\in K_n$、$\delta(x)=0$ であり、$\delta(y)=\delta(x)=0$ から $y\in K_n$ でもある。$\tilde f$ は $K_n$ の上で $f$ に一致するので $f(x)=f(y)$ である。$\square$

証明の最後の段落が、頂点の個数 $2n+3$ と骨格の次元 $n$ の関係を使う唯一の箇所である。$\mathbb{R}^{2n+1}$ への位相的 Radon の定理は頂点を $2n+3$ 個必要とし、台の大きさの和が $2n+3$ 以下なら一方は $n+1$ 以下になる。

埋め込み定理の次元は最良

次元 $2n+1$ の側では、$K_n=\Delta_{2n+2}^{(n)}$ は実際に埋め込める。頂点を一般の位置に置き、線形に延ばせばよい。

モーメント曲線による埋め込み

$n\ge0$ とし、相異なる実数 $t_0,\dots,t_{2n+2}$ について $p_v:=(t_v,t_v^2,\dots,t_v^{2n+1})\in\mathbb{R}^{2n+1}$ とおく。$L(x):=\sum_{v}x_vp_v$ で定まる写像 $L\colon\Delta_{2n+2}\to\mathbb{R}^{2n+1}$ の $K_n$ への制限は埋め込みである。

点のアフィン独立性

$p_v$ のうち相異なる $m\le2n+2$ 個はアフィン独立である。実際、$\sum_{v\in W}\lambda_vp_v=0$、$\sum_{v\in W}\lambda_v=0$（$\lvert W\rvert=m$）なら、各成分を見て $j=0,1,\dots,m-1$ について $\sum_{v\in W}\lambda_vt_v^{\,j}=0$ である（$m-1\le2n+1$ なので成分が足りる）。係数行列は相異なる $t_v$ の $m$ 次の Vandermondeの行列式 をもち、$0$ でないので、すべての $\lambda_v$ が $0$ である。
$x,y\in K_n$ が $L(x)=L(y)$ を満たすとする。$\lambda_v:=x_v-y_v$ は $W:=\operatorname{supp}x\cup\operatorname{supp}y$ の外で $0$ で、$\sum_v\lambda_vp_v=0$、$\sum_v\lambda_v=1-1=0$ を満たす。$\lvert W\rvert\le2(n+1)$ なので上の段落から $\lambda=0$、すなわち $x=y$ である。よって $L|_{K_n}$ は連続な単射で、$K_n$ はコンパクトなので埋め込みである。$\square$

次元 $2n+1$ の最良性

$n\ge0$ について、$K_n=\Delta_{2n+2}^{(n)}$ は被覆次元が $n$ のコンパクト距離空間であり、$\mathbb{R}^{2n+1}$ には埋め込めるが、$\mathbb{R}^{2n}$ には埋め込めない。

被覆次元：$n=0$ では $K_0$ は有限個の点からなる離散空間で、任意の開被覆は 1 点集合の被覆で細分でき、その位数は $1$ なので $\dim K_0=0$ である。$n\ge1$ とする。$K_n$ は次元 $n$ の有限な幾何的単体複体の多面体なので、被覆次元 の記事の命題「多面体の被覆次元の上からの評価」により $\dim K_n\le n$ である。一方 $K_n$ は $n$ 次元の面 $\Delta_S$（$\lvert S\rvert=n+1$）を閉集合として含み、$\Delta_S$ は $n$ 単体なので同じ記事の系「Euclid 空間・球面・Hilbert 立方体」の 1 により $\dim\Delta_S=n$ である。コンパクト距離空間は正規なので、同じ記事の命題「閉部分空間の被覆次元」により $n=\dim\Delta_S\le\dim K_n$ である。
埋め込めることは lem-vkf-moment、埋め込めないことは cor-vkf-no-embedding による。$\square$

Menger–Nöbelingの埋め込み定理 により、被覆次元が $n$ 以下の可分距離空間はすべて $\mathbb{R}^{2n+1}$ に埋め込める。cor-vkf-sharp はこの $2n+1$ を $2n$ に替えた主張が成り立たない例であり、埋め込み定理の次元は最良である。ただしこれは「すべての $n$ 次元の空間」についての主張で、たとえば $n$ 次元の多様体や個々の有限グラフは、もっと低い次元に埋め込めることがある。

条件を外した反例

外す条件・変える値反例成り立たなくなること
行き先の次元 $2n$ を $2n+1$ にするlem-vkf-moment の $L\colon K_n\to\mathbb{R}^{2n+1}$台が交わらない 2 点が同じ点に写ること（$L$ は単射）
頂点の個数 $2n+3$ を $2n+2$ にする（$n\ge1$）$\Delta_{2n+1}^{(n)}$（$n=1$ では 4 頂点の完全グラフ $K_4$）$\mathbb{R}^{2n}$ に埋め込めないこと
写像の連続性（$n\ge1$）集合としての全単射 $K_n\to\mathbb{R}^{2n}$単射が存在しないこと
反例の確かめ
  1. 行き先の次元． lem-vkf-moment による。$\mathbb{R}^{2n}$ を $\mathbb{R}^{2n+1}$ に替えると、定理の結論は単射についてさえ成り立たない。
  2. 頂点の個数． $D:=\Delta_{2n+1}$ は $2n+1$ 次元の単体で、単体複体 の記事の命題「単体は閉球体と同相」により、その境界 $\partial D$（真の面の和）は $S^{2n}$ と同相である。$n$ 骨格の点は台が $n+1\le2n+1$ 個以下の頂点からなるので真の面に属し、$\Delta_{2n+1}^{(n)}\subset\partial D$ である。$2n$ 次元の面 $\Delta_{V\setminus\{0\}}$ の重心 $c$ は台が $2n+1$ 個の頂点からなり、$n\ge1$ なら $2n+1>n+1$ なので $c\notin\Delta_{2n+1}^{(n)}$ である。よって $\Delta_{2n+1}^{(n)}$ は $\partial D\setminus\{c\}\cong S^{2n}\setminus\{\text{1 点}\}$ の部分空間であり、後者は立体射影により $\mathbb{R}^{2n}$ と同相である。$n=1$ の場合は、$K_4$ が平面グラフであることにあたる（平面グラフ の記事の例「完全グラフ$K_4$」）。
  3. 連続性． $n\ge1$ なら $K_n$ は線分を含み、$\mathbb{R}^{2n+3}$ の部分集合なので、$K_n$ と $\mathbb{R}^{2n}$ の濃度はどちらも連続体濃度であり、集合としての全単射がある。連続性を外すと単射が存在しうる。

一般化

位相的 Radon の定理は、交わる面の個数を 2 から $r$ に増やした問題に一般化される。$d\ge1$、$r\ge2$、$N:=(d+1)(r-1)$ とし、連続写像 $f\colon\Delta_N\to\mathbb{R}^d$ について「互いに交わらない $r$ 個の面で、$f$ による像がすべて共通の点をもつものがある」かを問う（位相的 Tverberg 予想）。$r=2$ は thm-vkf-topological-radon である。$f$ がアフィン写像のときは、頂点の像 $N+1=(r-1)(d+1)+1$ 個の点の Tverberg 分割の存在と同じことであり、Tverbergの定理 により成り立つ（同記事の節「位相的 Tverberg 予想」）。

  • $r$ が素数の冪なら成り立つ（BZ17 Theorem 3.11、p. 10。素数の場合は Bárány–Shlosman–Szűcs、素数の冪の場合は Özaydin と Volovikov による）。
  • $r$ が素数の冪でないときは、一般には成り立たない（BZ17 Theorem 5.5、p. 25。$k\ge3$、$r\ge6$ で $r$ が素数の冪でなければ、$N=(r-1)(rk+2)$ について結論を満たさない連続写像 $\Delta_N\to\mathbb{R}^{rk+1}$ がある。Frick、Mabillard–Wagner による）。
  • 骨格に制限した形も、この記事の証明と同じ「距離を座標に加える」方法で得られる。$r$ が素数の冪、$k\ge\lceil\frac{r-1}{r}d\rceil$、$N:=(d+2)(r-1)$ なら、連続写像 $f\colon\Delta_N\to\mathbb{R}^d$ について、$k$ 骨格の中の互いに交わらない $r$ 個の面で像が共通の点をもつものがある（BZ17 Theorem 4.1、p. 14）。$r=2$、$d=2n$（$n\ge1$）とすると $k\ge n$、$N=2n+2$ となり、$k=n$ の場合が thm-vkf-main にあたる（$f$ が $n$ 骨格の上だけで定義されているときは、prf-vkf-main と同じく $\Delta_N$ 全体に延ばす）。
    これらの定理はこの記事では証明しない。

関連項目

参考文献

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