Hilbert立方体

$\sum_n(n+1)^{-2}<\infty$ なので $\Phi(x)\in\ell^2$ であり、$\Phi$ は $Q$ から $Q'$ への全単射である。連続性：$x\in Q$ と $\varepsilon>0$ をとり、$\sum_{n>M}(n+1)^{-2}<\varepsilon^2/2$ となる $M$ をとる。直積位相の開集合 $\{y\in Q\mid\lvert y_n-x_n\rvert<\varepsilon/\sqrt{2(M+1)}\ (n\le M)\}$ の点 $y$ について
$$ \|\Phi(y)-\Phi(x)\|^2\le\sum_{n\le M}\lvert y_n-x_n\rvert^2+\sum_{n>M}(n+1)^{-2}<\frac{\varepsilon^2}2+\frac{\varepsilon^2}2 $$
なので、$\Phi$ は $x$ で連続である。$Q$ はコンパクトで $\ell^2$ は Hausdorff なので、連続な全単射 $\Phi$ は同相写像であり、$Q'=\Phi(Q)$ はコンパクトである。凸性は各座標の条件が凸であることから明らかである。$\square$

$n\in\mathbb{N}$ について、$j_n\colon[0,1]^{n+1}\to Q$ を $j_n(t):=(t_0,\dots,t_n,0,0,\dots)$、$p_n\colon Q\to[0,1]^{n+1}$ を最初の $n+1$ 座標への射影とする。$g_n:=p_n\circ f\circ j_n$ は立方体 $[0,1]^{n+1}$ からそれ自身への連続写像なので、Brouwerの不動点定理により不動点 $t^{(n)}$ をもつ（立方体は閉球体と同相）。$x^{(n)}:=j_n(t^{(n)})$ とおくと
$$ f(x^{(n)})_i=x^{(n)}_i\qquad(0\le i\le n) $$
である。$Q$ はコンパクトな距離化可能空間なので、部分列 $x^{(n_k)}$ がある $x\in Q$ に収束する。$i$ を固定すると、$n_k\ge i$ を満たす $k$ について $f(x^{(n_k)})_i=x^{(n_k)}_i$ であり、$f$ と座標への射影の連続性により $k\to\infty$ として $f(x)_i=x_i$ を得る。$i$ は任意なので $f(x)=x$ である。$\square$

$X$ は $Q$ のある閉集合と同相なので、$X\subset Q$ とみなせる。$X$ は AR なのでレトラクション $r\colon Q\to X$ がある。$f\circ r\colon Q\to Q$ は thm-hc-fixed-point により不動点 $x$ をもち、$x=f(r(x))\in X$ なので $r(x)=x$ であり、$f(x)=x$ である。$\square$

埋め込み $e\colon Q\to\mathbb{R}^n$ があったとする。$j_n$（prf-hc-fixed-point の記号）を開立方体 $(0,1)^{n+1}$ に制限して $e$ と合成し、$\mathbb{R}^n=\mathbb{R}^n\times\{0\}\subset\mathbb{R}^{n+1}$ とみると、$\mathbb{R}^{n+1}$ の開集合 $(0,1)^{n+1}$ から $\mathbb{R}^{n+1}$ への連続な単射が得られる。Brouwerの領域不変性定理によりその像は $\mathbb{R}^{n+1}$ の空でない開集合であるが、像は内部をもたない $\mathbb{R}^n\times\{0\}$ に含まれるので矛盾である。$\square$

1：$2^{-N}<\varepsilon$ となる $N$ をとり、$c\in[0,1]$ を $c\neq p_{N+1}$ となるようにとる。$f(x)$ を、第 $N+1$ 座標を $c$ に置き換え、ほかの座標は $x$ と同じ点とする。$f$ は連続で、$f(x)_{N+1}=c\neq p_{N+1}$ なので $f(x)\neq p$ であり、$\rho(f(x),x)\le2^{-(N+1)}<\varepsilon$ である。
2：$g(x):=x-f(x)+p$ とおく。$\lvert g(x)-p\rvert=\lvert x-f(x)\rvert<\varepsilon$ なので、$g$ は $[0,1]^n$ からそれ自身への連続写像である。Brouwerの不動点定理により不動点 $x$ があり、$x=x-f(x)+p$ から $f(x)=p$ を得る。$\square$

位相多様体は第 2 可算な Hausdorff 空間で局所コンパクトなので、Urysohnの距離化定理により距離化可能であり、可分である。$Q$ も可分な距離化可能空間なので、$N\times Q$ は可分な距離化可能空間である。点 $(x,q)\in N\times Q$ をとる。$x$ の開近傍 $U$ と、$U$ から $\mathbb{R}^n$ の開集合への同相写像 $\varphi$ がある。$\mathbb{R}^n$ は開立方体 $(0,1)^n$ と同相（各座標で $t\mapsto(1+\tanh t)/2$）なので、$\varphi(U)$ を $(0,1)^n$ の開集合 $G$ とみなせる。すると $U\times Q$ は $G\times Q$ と同相であり、$G\times Q$ は $(0,1)^n\times Q$ の、したがって $[0,1]^n\times Q$ の開集合である。rem-hc-homogeneity の 1 の座標の並べ替えによる同相 $[0,1]^n\times Q\cong Q$ で、$G\times Q$ は $Q$ の開集合と同相になる。よって $(x,q)$ は $Q$ の開集合と同相な開近傍 $U\times Q$ をもつ。$\square$