Grauertの定理(順像の局所自由性)

$\mathfrak m$ を極大イデアルとする。$M\otimes\kappa(\mathfrak m)$ の基底を持ち上げて $u\colon A^n\to M$ を作ると、Nakayamaの補題により $u$ は全射である。核を $N$ とする。$A$ の極小素イデアル $\mathfrak q$ について、$A_{\mathfrak q}$ は被約で唯一の素イデアル $\mathfrak qA_{\mathfrak q}$ が冪零元からなるので $\mathfrak qA_{\mathfrak q}=0$、すなわち $A_{\mathfrak q}=\kappa(\mathfrak q)$ は体である。局所化した完全列 $0\to N_{\mathfrak q}\to\kappa(\mathfrak q)^n\to M_{\mathfrak q}\to0$ で $\dim M_{\mathfrak q}=n$ だから $N_{\mathfrak q}=0$ である。$N$ の元 $v=(v_1,\dots,v_n)$ をとると、各 $v_j$ はすべての極小素イデアル $\mathfrak q$ で $v_j/1=0$、すなわち $sv_j=0$ となる $s\notin\mathfrak q$ があるので $v_j\in\mathfrak q$ である。$A$ は被約なので極小素イデアルの共通部分（冪零根基）は $0$ であり、$v_j=0$ である。よって $N=0$ で、$u$ は同型である。$\square$

主張は局所的なので、点 $y$ のアフィン開近傍に制限して $Y=\operatorname{Spec}A$（$A$ は被約な Noether 環）とし、Grothendieck の複体 $L^\bullet$ をとる。$y=\mathfrak p$ とする。
段 1（微分の階数が一定）．$\rho_i$ と $\rho_{i-1}$ は下半連続なので、$y$ の開近傍 $V$ があって、$V$ 上で $\rho_i\ge\rho_i(y)$、$\rho_{i-1}\ge\rho_{i-1}(y)$ であり、さらに $V$ 上で $h^i$ は一定である。$h^i=r_i-\rho_i-\rho_{i-1}$ だから、$V$ 上で両方の不等号は等号である。$\mathfrak p$ に含まれる素イデアル $\mathfrak q$ に対応する点は $y$ の一般化なので $y$ のどの開近傍にも属し、とくに $V$ に属する。
段 2（余核が自由）．$W^{p}:=\operatorname{coker}d^{p-1}$ とおく。テンソル積は右完全なので $\dim W^{i+1}\otimes\kappa(\mathfrak q)=r_{i+1}-\rho_i(\mathfrak q)$、$\dim W^i\otimes\kappa(\mathfrak q)=r_i-\rho_{i-1}(\mathfrak q)$ であり、段 1 によりこれらは $\mathfrak q\subset\mathfrak p$ によらない。$A_{\mathfrak p}$ は被約な Noether 局所環で、その素イデアルは $\mathfrak q\subset\mathfrak p$ と対応するから、lem-gr-reduced により $(W^{i+1})_{\mathfrak p}$ と $(W^i)_{\mathfrak p}$ は自由 $A_{\mathfrak p}$ 加群である。
段 3（底変換写像の全射性）．$(W^{i+1})_{\mathfrak p}=\operatorname{coker}d^i_{\mathfrak p}$ と $(W^i)_{\mathfrak p}=\operatorname{coker}d^{i-1}_{\mathfrak p}$ が自由なので、半連続性定理 の補題「余核の自由性と底変換写像の全射性」を $L^\bullet_{\mathfrak p}$ と次数 $i$、$i-1$ に当てて、$\varphi^i(y)$ と $\varphi^{i-1}(y)$ は全射である。
段 4（結論）．コホモロジーと底変換の定理により、$\varphi^i(y)$ が全射なので $y$ の近くの点で $\varphi^i$ は同型であり、$y$ のアフィン開近傍 $U$ 上ですべての係数 $M$ について $\varphi_M$ は同型である。さらに $\varphi^{i-1}(y)$ も全射なので、$R^if_*\mathcal F$ は $y$ の近くで局所自由である。その階数は $\dim R^if_*\mathcal F\otimes\kappa(y)=h^i(y)$ である。$y$ は任意なので 1 と、2 の $\varphi^i$ が従う。$\varphi^{i-1}(y)$ は段 3 により全射なので、同じ定理の 1 を次数 $i-1$ に当てて同型である。3 は、$U$ の各点で $\varphi_M$ を局所化すると、段 4 の前半で得た同型になることから従う（局所化はテンソル積ともコホモロジーとも交換する）。$\square$

$X_y$ を定める多項式を $g$ とすると、$\mathbb P^2_{\kappa(y)}$ 上の完全列 $0\to\mathcal O(-d)\xrightarrow{g}\mathcal O\to\mathcal O_{X_y}\to0$ がある。$\mathbb P^2$ 上で $H^1(\mathcal O(n))=0$（すべての $n$）、$H^0(\mathcal O(-d))=0$、$H^2(\mathcal O)=0$、$H^0(\mathcal O)=\kappa(y)$ であり、$H^2(\mathcal O(-d))$ は $H^0(\mathcal O(d-3))$ の双対で次元 $\binom{d-1}{2}$ である（Har77 III 定理 5.1、p. 225）。長完全列から $H^0(\mathcal O_{X_y})=\kappa(y)$、$H^1(\mathcal O_{X_y})\cong H^2(\mathcal O(-d))$ を得る。$\square$

$A$ の素イデアル $\mathfrak p$ について $h^{-1}(L^\bullet\otimes\kappa(\mathfrak p))=T^{-1}(\kappa(\mathfrak p))=0$ なので、$h^{-1}(L_{\mathfrak p}^\bullet)\otimes\kappa(\mathfrak p)\to h^{-1}(L_{\mathfrak p}^\bullet\otimes\kappa(\mathfrak p))$ は全射であり、半連続性定理 の補題「余核の自由性と底変換写像の全射性」（次数 $-1$）により $(W^0)_{\mathfrak p}$ は自由である。$W^0$ は有限表示で、すべての局所化が自由なので平坦であり、有限表示の平坦加群として有限生成射影加群である（平坦射 の注意「有限表示の平坦加群は局所自由」）。テンソル積は右完全なので $W^0\otimes M=\operatorname{coker}(d^{-1}\otimes M)$ であり、$\ker(\bar d^0\otimes M)=\ker(d^0\otimes M)/\operatorname{im}(d^{-1}\otimes M)=h^0(L^\bullet\otimes M)$ である。$\bar d^0\otimes M$ の像は $d^0\otimes M$ の像に等しく、次数 $1$ 以上では $K^\bullet$ と $L^\bullet$ は同じなので、$h^i(K^\bullet\otimes M)=h^i(L^\bullet\otimes M)$ がすべての $i$ で成り立つ。$\square$

点 $y=\mathfrak p$ のアフィン開近傍 $\operatorname{Spec}A$ で prop-gr-truncation の $K^\bullet$ をとる。有限生成射影加群は基本開集合の上で自由になるので（射影加群 の命題「基本開近傍での有限射影加群の基底」）、$g\notin\mathfrak p$ をとって $D(g)$ の上で $K^0,\dots,K^N$ がすべて自由（階数 $s_0,\dots,s_N$）としてよい。$y'\in D(g)$ で $K^\bullet\otimes\kappa(y')$ は有限次元線型空間の有界な複体で、そのコホモロジーの次元が $h^i(y')$ である。$\dim K^p\otimes\kappa(y')=\dim Z^p+\dim B^{p+1}$、$h^p(y')=\dim Z^p-\dim B^p$（$Z^p,B^p$ は $K^\bullet\otimes\kappa(y')$ の核と像）の交代和をとると
$$ \chi(y')=\sum_p(-1)^ph^p(y')=\sum_p(-1)^p\dim K^p\otimes\kappa(y')=\sum_p(-1)^ps_p $$
で、$D(g)$ 上で定数である。$\square$

$X$ は $Y$ 上平坦で $\mathcal L$ は局所自由なので、$\mathcal L$ は $Y$ 上平坦である。仮定から $h^0(y,\mathcal L)=\dim H^0(X_y,\mathcal O_{X_y})=1$ がすべての $y$ で成り立つので、thm-gr-main（$i=0$）により $f_*\mathcal L$ は階数 $1$ の局所自由層で、$\varphi^0(y)\colon f_*\mathcal L\otimes\kappa(y)\to H^0(X_y,\mathcal L_y)$ は同型である。点 $x\in X$、$y=f(x)$ をとり、$y$ の近傍 $V$ で $f_*\mathcal L|_V$ を生成する切断 $s$（$f^{-1}(V)$ 上の $\mathcal L$ の切断）をとる。$\varphi^0(y)$ が同型なので、$s$ の $X_y$ への制限は $H^0(X_y,\mathcal L_y)\cong H^0(X_y,\mathcal O_{X_y})=\kappa(y)$ の 0 でない元、すなわち $\mathcal L_y\cong\mathcal O_{X_y}$ のもとで 0 でない定数であり、$X_y$ のどの点でも消えない。よって $\mathcal L\otimes\kappa(x)$ の中で $s(x)\ne0$ であり、$\varepsilon\otimes\kappa(x)$ は全射である。Nakayamaの補題により $\varepsilon$ は $x$ の茎で全射であり、階数 $1$ の自由加群の間の全射は同型だから（全射 $\mathcal O_{X,x}\to\mathcal O_{X,x}$ は単元倍）、$\varepsilon$ は同型である。$\mathcal M=f_*\mathcal L$ とすればよい。$\square$