Brahmaguptaの公式

同義語：ブラーマグプタの公式Brahmagupta's formula

概要

前提知識: 円に内接する四角形, 余弦定理（高校数学）, 三角形の面積の公式, 三角比と鈍角への拡張

高校での出発点：四角形を対角線で 2 つに分ける

三角形の面積は 3 辺で決まる（Heron の公式。三角形の面積の公式）。四角形はそうはいかない。4 辺がすべて $1$ の正方形とひし形は、辺の長さが同じなのに面積が違う（三角形の面積の公式の反例「4 辺だけでは四角形の面積は決まらない」）。四角形は 4 辺を決めても、角を変えて変形できるからである。
ところが、四角形が 円に内接する と、4 辺を並べる順まで決めれば形が 1 つに決まり、面積は 4 辺だけで（しかも並べる順によらずに）表せる（形が決まる理由は ex-brg-order の直前で述べる）。その式がこの記事の主題である。まず、高校の方法で面積を求めてみる。
この記事では、凸四角形 $\mathrm{ABCD}$ の辺を $a=\mathrm{AB}$、$b=\mathrm{BC}$、$c=\mathrm{CD}$、$d=\mathrm{DA}$、面積を $K$、周の長さの半分を $s=\dfrac{a+b+c+d}2$ と書く。内角 $\angle\mathrm{ABC}$ を $B$、$\angle\mathrm{CDA}$ を $D$ と書く。

等脚台形の面積

$\mathrm A(0,0)$、$\mathrm B(8,0)$、$\mathrm C(5,4)$、$\mathrm D(3,4)$ を頂点とする等脚台形を考える（図 1）。辺は $a=8$、$b=\sqrt{3^2+4^2}=5$、$c=2$、$d=\sqrt{3^2+4^2}=5$ である。

台形の公式：上底 $2$、下底 $8$、高さ $4$ なので $K=\dfrac{(2+8)\cdot4}2=20$ である。
対角線 $\mathrm{AC}$ で 2 つの三角形に分ける：三角形 $\mathrm{ABC}$ は底辺 $\mathrm{AB}=8$、高さ $4$ で面積 $16$、三角形 $\mathrm{ACD}$ は底辺 $\mathrm{CD}=2$、高さ $4$ で面積 $4$ である。合わせて $K=20$ である。
この台形は円に内接する。外接円の中心は $\mathrm{AB}$ と $\mathrm{CD}$ の共通の垂直二等分線 $x=4$ の上にあり、$(4,k)$ から $\mathrm A$ と $\mathrm D$ までの距離の 2 乗が等しい条件 $16+k^2=1+(4-k)^2$ を解くと $k=\dfrac18$ である。
4 辺から $s=\dfrac{8+5+2+5}2=10$ で、$(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)=2\cdot5\cdot8\cdot5=400=20^2$ である。$\sqrt{400}$ が面積 $20$ と一致する。

辺 8, 5, 2, 5 の等脚台形とその外接円。対角線 AC で 2 つの三角形に分けると、向かい合う角 B と D の和は 180° である

直径を対角線にもつ四角形

直径 $65$ の円で、直径 $\mathrm{AC}$ の両側に点 $\mathrm B$、$\mathrm D$ をとり、$\mathrm{AB}=25$、$\mathrm{BC}=60$、$\mathrm{CD}=52$、$\mathrm{DA}=39$ とする。$25^2+60^2=625+3600=4225=65^2$、$52^2+39^2=2704+1521=4225=65^2$ なので、三平方の定理の逆により $B=D=90^\circ$ で、このような点は直径 $\mathrm{AC}$ を見込む角が直角の点として円の上にとれる（直径に対する円周角）。

2 つの直角三角形に分ける：$K=\dfrac12\cdot25\cdot60+\dfrac12\cdot52\cdot39=750+1014=1764$ である。
4 辺から：$s=\dfrac{25+60+52+39}2=88$ で、$(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)=63\cdot28\cdot36\cdot49=3111696=1764^2$ である。やはり $\sqrt{\ }$ が面積と一致する。

2 つの例で、面積は $\sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}$ に等しかった。この記事で答える問いは次の 4 つである。

円に内接する四角形の面積は、いつも $\sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}$ か。→ thm-brg-main
Heron の公式とどう関係するか。→ rem-brg-heron
どんな 4 つの長さでも、それを辺とする円に内接する四角形はあるか。辺の順番を変えるとどうなるか。→ prop-brg-exists、ex-brg-order

円に内接しない四角形では何が起こるか。→ ex-brg-cx-parallelogram、rem-brg-bretschneider

高校の計算	この記事での見方	ボックス
対角線で 2 つの三角形に分ける	余弦定理 2 本で対角線を消す	prf-brg-main
円に内接する四角形の対角の和は $180^\circ$	$\sin D=\sin B$、$\cos D=-\cos B$	prf-brg-main
Heron の公式	$d=0$ の場合	rem-brg-heron
Ptolemy の定理	対角線の長さの式の積	cor-brg-diagonals

主定理：Brahmagupta の公式

Brahmagupta の公式の主張

円に内接する四角形 $\mathrm{ABCD}$ の辺を $a=\mathrm{AB}$、$b=\mathrm{BC}$、$c=\mathrm{CD}$、$d=\mathrm{DA}$、$s=\dfrac{a+b+c+d}2$ とすると、面積 $K$ は
$$ K=\sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)} $$
である。同じことを 2 乗して $16$ 倍した形で書くと
$$ 16K^2=(-a+b+c+d)(a-b+c+d)(a+b-c+d)(a+b+c-d) $$
である。

この公式は Brahmagupta の公式 と呼ばれる。7 世紀のインドの数学者 Brahmagupta が 628 年の著書『ブラーマスプタ・シッダーンタ』で、円に内接する四角形の面積と対角線の長さを辺で表す式を与えた（MTBra。ただし Brahmagupta は「円に内接する」という条件をはっきりとは書いておらず、その読み方には議論がある、と同じ文献は伝えている）。
証明の方針は、ex-brg-trapezoid の 2 のように対角線 $\mathrm{AC}$ で 2 つの三角形に分けることである。対角線の長さは分からないが、2 つの三角形に余弦定理（高校数学）を使うと $\mathrm{AC}^2$ が 2 通りに書けるので、それを等しいとおいて消す。円に内接することは、「$B+D=180^\circ$」という形で 1 回だけ使う。

対角線で分け、2 つの余弦定理で対角線を消す

方針：面積を $\sin B$ で、対角線の長さの 2 乗を $\cos B$ で書き、$\sin^2B+\cos^2B=1$ で角を消す。最後に 2 乗の差の因数分解を 2 回使う。
段 1（向かい合う角）。四角形 $\mathrm{ABCD}$ は円に内接するので、円に内接する四角形の定理「円に内接する四角形の対角」により $B+D=180^\circ$、つまり $D=180^\circ-B$ である。三角比と鈍角への拡張の定理「$180^\circ-\theta$ と $90^\circ-\theta$ の三角比」により
$$ \sin D=\sin B,\qquad\cos D=-\cos B $$
である。
段 2（面積を $\sin B$ で書く）。円に内接する四角形は凸なので、対角線 $\mathrm{AC}$ は四角形を三角形 $\mathrm{ABC}$ と三角形 $\mathrm{ACD}$ に重なりなく分ける。三角形の面積の公式の定理「2 辺と間の角の正弦」により
$$ K=\frac12ab\sin B+\frac12cd\sin D=\frac12(ab+cd)\sin B $$
である（段 1 の $\sin D=\sin B$ を使った）。
段 3（対角線を 2 通りに書く）。三角形 $\mathrm{ABC}$ で角 $B$ に、三角形 $\mathrm{ACD}$ で角 $D$ に余弦定理を使うと
$$ \mathrm{AC}^2=a^2+b^2-2ab\cos B,\qquad \mathrm{AC}^2=c^2+d^2-2cd\cos D=c^2+d^2+2cd\cos B $$
である（段 1 の $\cos D=-\cos B$ を使った）。2 つを等しいとおいて $\cos B$ の項を集めると
$$ 2(ab+cd)\cos B=a^2+b^2-c^2-d^2 $$
である。
段 4（角を消す）。段 2 を 2 乗して $16$ 倍すると $16K^2=4(ab+cd)^2\sin^2B$ である。$\sin^2B=1-\cos^2B$ と段 3 を使うと
$$ 16K^2=4(ab+cd)^2-\bigl(2(ab+cd)\cos B\bigr)^2=\bigl(2(ab+cd)\bigr)^2-(a^2+b^2-c^2-d^2)^2 $$
である。
段 5（1 回目の因数分解）。$X^2-Y^2=(X-Y)(X+Y)$ を $X=2(ab+cd)$、$Y=a^2+b^2-c^2-d^2$ に使う。
$$ X-Y=c^2+2cd+d^2-(a^2-2ab+b^2)=(c+d)^2-(a-b)^2,\qquad X+Y=a^2+2ab+b^2-(c^2-2cd+d^2)=(a+b)^2-(c-d)^2 $$
である。
段 6（2 回目の因数分解）。同じく 2 乗の差を分解すると
$$ (c+d)^2-(a-b)^2=(c+d-a+b)(c+d+a-b),\qquad (a+b)^2-(c-d)^2=(a+b-c+d)(a+b+c-d) $$
である。よって $16K^2=(-a+b+c+d)(a-b+c+d)(a+b-c+d)(a+b+c-d)$ である。
段 7（$s$ で書く）。$-a+b+c+d=2s-2a=2(s-a)$ で、同じく残りの 3 つは $2(s-b)$、$2(s-c)$、$2(s-d)$ である。よって $16K^2=16(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)$ で、$K>0$ なので正の平方根をとると $K=\sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}$ である。$\square$

証明の途中の値を追う

ex-brg-trapezoid の台形（$a=8$、$b=5$、$c=2$、$d=5$）で、段 3 の式から
$$ \cos B=\frac{a^2+b^2-c^2-d^2}{2(ab+cd)}=\frac{64+25-4-25}{2\cdot50}=\frac{60}{100}=\frac35 $$
である。座標で確かめると、$\overrightarrow{\mathrm{BA}}=(-8,0)$、$\overrightarrow{\mathrm{BC}}=(-3,4)$ で、$\cos B=\dfrac{24}{8\cdot5}=\dfrac35$ と一致する。$\sin B=\dfrac45$ なので、段 2 から $K=\dfrac12\cdot50\cdot\dfrac45=20$ である。対角線は $\mathrm{AC}^2=64+25-2\cdot8\cdot5\cdot\dfrac35=89-48=41$ で、座標の $5^2+4^2=41$ と一致する。
ex-brg-diameter では $a^2+b^2-c^2-d^2=625+3600-2704-1521=0$ なので $\cos B=0$、$B=90^\circ$ で、例で見たとおり角 $B$ は直角である。

Heron の公式は 1 辺が 0 の場合

Heron の公式との関係

thm-brg-main の式で $d=0$ とおくと、$s=\dfrac{a+b+c}2$、$s-d=s$ となり
$$ \sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} $$
で、Heron の公式の右辺になる。図形でいえば、辺 $\mathrm{DA}$ の長さを $0$ にすると $\mathrm D$ が $\mathrm A$ に重なり、四角形 $\mathrm{ABCD}$ は三角形 $\mathrm{ABC}$ につぶれる。
thm-brg-main は $d>0$ の四角形についての定理なので、これで Heron の公式が「証明された」わけではない。しかし prf-brg-main の計算は $d=0$ でもそのまま意味をもつ。段 3 の $2(ab+cd)\cos B=a^2+b^2-c^2-d^2$ は $d=0$ で $2ab\cos B=a^2+b^2-c^2$ となり、三角形 $\mathrm{ABC}$ の余弦定理そのものである（$\mathrm{AC}=c$）。段 2 は $K=\dfrac12ab\sin B$ になる。段 4〜段 7 は同じ計算で $16K^2=(a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)$ を与える。これは余弦定理（高校数学）の命題「面積の 2 乗を 3 辺で表す」の証明と同じ計算である。
三角形の場合に「円に内接する」という条件が要らないのは、どんな三角形も 3 頂点を通る円（外接円）をもつからである（三角形の外心）。四角形では、4 頂点が 1 つの円の上に乗るのは特別な場合で、その場合に限って Heron の公式と同じ形の式が成り立つ。

$d=0$ とおいて Heron の公式を確かめる

$a=13$、$b=14$、$c=15$、$d=0$：$s=21$ で、$\sqrt{8\cdot7\cdot6\cdot21}=\sqrt{7056}=84$ である。3 辺 $13,14,15$ の三角形の面積 $84$（三角形の面積の公式）と一致する。
$a=3$、$b=4$、$c=5$、$d=0$：$s=6$ で、$\sqrt{3\cdot2\cdot1\cdot6}=6$ である。直角三角形の面積 $\dfrac12\cdot3\cdot4=6$ と一致する。

4 辺から円に内接する四角形をつくる

thm-brg-main は、円に内接する四角形があるときの面積の式である。逆に、4 つの長さを与えたとき、それを辺とする円に内接する四角形はあるだろうか。三角形の場合、3 つの長さから三角形ができるのは、どの 1 つも他の 2 つの和より小さいとき（三角不等式）である。四角形でも同じ形の条件になる。

円に内接する四角形が存在する条件

正の数 $a,b,c,d$ について、どの 1 つも他の 3 つの和より小さい（$a< b+c+d$、$b< a+c+d$、$c< a+b+d$、$d< a+b+c$）とする。このとき、辺が順に $\mathrm{AB}=a$、$\mathrm{BC}=b$、$\mathrm{CD}=c$、$\mathrm{DA}=d$ である、円に内接する四角形 $\mathrm{ABCD}$ がある。

角 $B$ を決めて 2 つの三角形を貼り合わせる

方針：prf-brg-main の段 3 の式から逆算して角 $B$ の余弦を決める。2 辺とその間の角で三角形 $\mathrm{ABC}$ を作り、対角線 $\mathrm{AC}$ の反対側に、角 $D=180^\circ-B$ の三角形 $\mathrm{ACD}$ を貼る。対角の和が $180^\circ$ なので円に内接する。
段 1（$\cos B$ の値を決める）。$k=\dfrac{a^2+b^2-c^2-d^2}{2(ab+cd)}$ とおく。$-1< k<1$ を示す。分母をそろえて計算すると
$$ 1-k=\frac{2ab+2cd-a^2-b^2+c^2+d^2}{2(ab+cd)}=\frac{(c+d)^2-(a-b)^2}{2(ab+cd)}=\frac{(-a+b+c+d)(a-b+c+d)}{2(ab+cd)} $$
$$ 1+k=\frac{2ab+2cd+a^2+b^2-c^2-d^2}{2(ab+cd)}=\frac{(a+b)^2-(c-d)^2}{2(ab+cd)}=\frac{(a+b-c+d)(a+b+c-d)}{2(ab+cd)} $$
である。仮定から $-a+b+c+d>0$、$a-b+c+d>0$、$a+b-c+d>0$、$a+b+c-d>0$ なので、$1-k>0$、$1+k>0$ である。よって $-1< k<1$ で、$\cos B=k$ となる角 $B$ が $0^\circ< B<180^\circ$ の範囲にただ 1 つある。
段 2（三角形 $\mathrm{ABC}$ を作る）。長さ $a$ と $b$ の 2 辺が角 $B$ をはさむ三角形 $\mathrm{ABC}$（$\mathrm{AB}=a$、$\mathrm{BC}=b$）を作る。余弦定理により $p=\mathrm{AC}$ は $p^2=a^2+b^2-2abk$ を満たす。
段 3（三角形 $\mathrm{ACD}$ を作る）。長さ $c$ と $d$ の 2 辺が角 $180^\circ-B$ をはさむ三角形を考える。その 3 辺目の長さを $q$ とすると、余弦定理と $\cos(180^\circ-B)=-k$ により $q^2=c^2+d^2+2cdk$ である。$k$ の決め方から $2(ab+cd)k=a^2+b^2-c^2-d^2$ なので
$$ p^2-q^2=a^2+b^2-c^2-d^2-2(ab+cd)k=0 $$
で、$q=p$ である。つまり、この三角形の 3 辺は $c$、$d$、$p$ である。これと合同な三角形を、辺 $\mathrm{AC}$ を共有し、直線 $\mathrm{AC}$ について $\mathrm B$ と反対側に、$\mathrm{CD}=c$、$\mathrm{DA}=d$ となるように置く（3 辺の長さが同じ三角形は合同）。このとき $\angle\mathrm{ADC}=180^\circ-B$ である。
段 4（円に内接する）。$\mathrm A$、$\mathrm B$、$\mathrm C$ は一直線上になく、$\mathrm B$ と $\mathrm D$ は直線 $\mathrm{AC}$ の反対側にあり、$\angle\mathrm{ABC}+\angle\mathrm{ADC}=180^\circ$ である。円に内接する四角形の定理「対角の和による判定」により、4 点は同じ円の上に $\mathrm A$、$\mathrm B$、$\mathrm C$、$\mathrm D$ の順に並び、四角形 $\mathrm{ABCD}$ は円に内接する。辺は順に $a,b,c,d$ である。$\square$

段 1 の計算は、prf-brg-main の段 5・段 6 と同じ因数分解である。条件「どの 1 つも他の 3 つの和より小さい」は、公式の 4 つの因数 $s-a$、$s-b$、$s-c$、$s-d$ がすべて正であることと同じである（$s-a=\dfrac{-a+b+c+d}2$ など）。
thm-brg-main の右辺は $a,b,c,d$ をどう並べ替えても変わらない。したがって、同じ 4 つの長さを別の順に並べて円に内接する四角形を作っても、面積は変わらない。形は変わる。
一方、辺を並べる順まで決めれば、円に内接する四角形の形は 1 つに決まる（合同な四角形は同じとみる）。prf-brg-main の段 3 により $\cos B=\dfrac{a^2+b^2-c^2-d^2}{2(ab+cd)}$ は 4 辺で決まり、$0^\circ< B<180^\circ$ なので角 $B$ も決まる。すると、2 辺 $a$、$b$ とその間の角 $B$ で三角形 $\mathrm{ABC}$ が決まり、対角線 $\mathrm{AC}$ の長さも決まる。次に、3 辺 $\mathrm{AC}$、$c$、$d$ で三角形 $\mathrm{ACD}$ が決まる。円に内接する四角形は凸なので $\mathrm D$ は直線 $\mathrm{AC}$ について $\mathrm B$ と反対側にあり、2 つの三角形の貼り合わせ方も 1 通りである。よって四角形 $\mathrm{ABCD}$ は 1 つに決まる。並べる順を変えると $\cos B$ の値が変わりうるので、形も変わりうる。

辺の順番を変える

ex-brg-diameter の 4 辺 $25,60,52,39$ を、順番を変えて並べる。prf-brg-exists の段 1 の $k$ と、段 2 の $p^2=a^2+b^2-2abk$ を計算する。

辺の順 $a,b,c,d$	$\cos B=k$	対角線 $\mathrm{AC}$	面積
$25,60,52,39$	$0$	$65$	$1764$
$25,39,60,52$	$-\dfrac{33}{65}$	$56$	$1764$

2 行目では $k=\dfrac{625+1521-3600-2704}{2(975+3120)}=\dfrac{-4158}{8190}=-\dfrac{33}{65}$、$\mathrm{AC}^2=625+1521+2\cdot25\cdot39\cdot\dfrac{33}{65}=2146+990=3136=56^2$ である。面積は、どちらも $s=88$ なので thm-brg-main により $1764$ である。図 2 のように、2 つの四角形は同じ半径 $\dfrac{65}2$ の円に内接し、形も対角線の長さも違うが、面積は等しい。

半径 65/2 の同じ円に内接する 2 つの四角形。辺を 25, 60, 52, 39 の順（左）と 25, 39, 60, 52 の順（右）に並べた。対角線の長さは違うが、面積はどちらも 1764 である

対角線の長さ

Brahmagupta は面積とともに、対角線の長さも辺で表した（MTBra）。prf-brg-main の段 3 から、それがすぐに出る。

円に内接する四角形の対角線の長さ

円に内接する四角形 $\mathrm{ABCD}$（辺 $a,b,c,d$ は thm-brg-main と同じ）の対角線について
$$ \mathrm{AC}^2=\frac{(ac+bd)(ad+bc)}{ab+cd},\qquad \mathrm{BD}^2=\frac{(ac+bd)(ab+cd)}{ad+bc} $$
が成り立つ。とくに $\mathrm{AC}\cdot\mathrm{BD}=ac+bd$ である。

余弦を代入して分子を因数分解する

方針：prf-brg-main の段 3 で求めた $\cos B$ を、$\mathrm{AC}^2=a^2+b^2-2ab\cos B$ に代入する。
段 1（$\mathrm{AC}^2$）。段 3 から $2ab\cos B=\dfrac{ab(a^2+b^2-c^2-d^2)}{ab+cd}$ なので
$$ \mathrm{AC}^2=\frac{(a^2+b^2)(ab+cd)-ab(a^2+b^2-c^2-d^2)}{ab+cd}=\frac{(a^2+b^2)cd+ab(c^2+d^2)}{ab+cd} $$
である（分子の $(a^2+b^2)ab$ が打ち消し合う）。分子は $a^2cd+b^2cd+abc^2+abd^2=ac(ad+bc)+bd(bc+ad)=(ac+bd)(ad+bc)$ と因数分解できる。
段 2（$\mathrm{BD}^2$）。四角形の頂点を $\mathrm B,\mathrm C,\mathrm D,\mathrm A$ の順に読み直すと、辺は順に $b,c,d,a$ で、対角線 $\mathrm{BD}$ が段 1 の $\mathrm{AC}$ の役になる。段 1 の式で $(a,b,c,d)$ を $(b,c,d,a)$ に置き換えると
$$ \mathrm{BD}^2=\frac{(bd+ca)(ba+cd)}{bc+da} $$
である。
段 3（積）。段 1 と段 2 を掛けると、$ad+bc$ と $ab+cd$ が約分されて $\mathrm{AC}^2\,\mathrm{BD}^2=(ac+bd)^2$ である。長さは正なので $\mathrm{AC}\cdot\mathrm{BD}=ac+bd$ である。$\square$

段 3 の $\mathrm{AC}\cdot\mathrm{BD}=ac+bd$ は、「円に内接する四角形では、対角線の積は向かい合う辺の積の和に等しい」という Ptolemyの定理である。Ptolemy の定理の相似による証明と、複素数による不等式への一般化はその記事で扱う。

対角線の長さを確かめる

ex-brg-trapezoid（$a=8$、$b=5$、$c=2$、$d=5$）：$ac+bd=16+25=41$、$ad+bc=40+10=50$、$ab+cd=40+10=50$ なので、$\mathrm{AC}^2=\dfrac{41\cdot50}{50}=41$、$\mathrm{BD}^2=41$ である。座標では、$\mathrm A(0,0)$、$\mathrm C(5,4)$ から $\mathrm{AC}^2=5^2+4^2=41$、$\mathrm B(8,0)$、$\mathrm D(3,4)$ から $\mathrm{BD}^2=5^2+4^2=41$ で、どちらも一致する（等脚台形の 2 本の対角線は等しい）。
ex-brg-diameter（$a=25$、$b=60$、$c=52$、$d=39$）：$ac+bd=1300+2340=3640$、$ad+bc=975+3120=4095$、$ab+cd=1500+2028=3528$ なので
$$ \mathrm{AC}^2=\frac{3640\cdot4095}{3528}=4225=65^2,\qquad \mathrm{BD}^2=\frac{3640\cdot3528}{4095}=3136=56^2 $$
である。$\mathrm{AC}=65$ は直径で、$65\cdot56=3640=ac+bd$ と Ptolemy の定理が成り立っている。ex-brg-order の 2 行目の四角形では対角線が $56$ と $63$ で、$56\cdot63=3528=25\cdot60+39\cdot52$ である。

例と反例

外した仮定	崩れる主張	ボックス
四角形が円に内接する	$K=\sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}$	ex-brg-cx-parallelogram
どの辺も他の 3 辺の和より小さい	辺が $a,b,c,d$ の円に内接する四角形がある	ex-brg-cx-long
4 辺の並ぶ順が分かっている	対角線の長さが 4 辺で決まる	ex-brg-order

反例：円に内接しない平行四辺形

辺が $3,4,3,4$ で、1 つの角が $60^\circ$ の平行四辺形 $\mathrm{ABCD}$（$\mathrm{AB}=3$、$\mathrm{BC}=4$、$B=60^\circ$）を考える。対角線 $\mathrm{AC}$ で合同な 2 つの三角形に分かれるので、面積は $K=2\cdot\dfrac12\cdot3\cdot4\sin60^\circ=6\sqrt3=10.39\ldots$ である。
一方、公式の右辺は $s=7$ で $\sqrt{4\cdot3\cdot4\cdot3}=12$ である。$6\sqrt3\ne12$ で、公式は成り立たない。平行四辺形では向かい合う角が等しいので $D=B=60^\circ$ で、$B+D=120^\circ\ne180^\circ$ であり、円に内接する四角形の定理「円に内接する四角形の対角」から、この平行四辺形は円に内接しない。prf-brg-main の段 1 の $\cos D=-\cos B$ が成り立たないので、段 3 以降の計算が崩れる。
公式の値 $12$ は、同じ辺 $3,4,3,4$ の長方形（円に内接する）の面積である。4 辺が同じ四角形の中で、面積が公式の値に届くのは円に内接するものである（rem-brg-bretschneider）。

反例：1 辺が長すぎる

長さ $1,1,1,4$：$s=\dfrac72$ で、$(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)=\dfrac52\cdot\dfrac52\cdot\dfrac52\cdot\Bigl(-\dfrac12\Bigr)=-\dfrac{125}{16}<0$ である。平方根は実数にならない。実際、この 4 本では四角形そのものができない。四角形 $\mathrm{ABCD}$ があれば、三角不等式を 2 回使って $\mathrm{DA}\le\mathrm{DB}+\mathrm{BA}\le(\mathrm{DC}+\mathrm{CB})+\mathrm{BA}$ なので、$\mathrm{DA}$ は他の 3 辺の和以下でなければならないが、$4>1+1+1$ である。
長さ $1,1,1,3$：$s=3$ で、$(s-d)=0$ なので積は $0$ である。長さ $1$ の 3 本をつなぐとちょうど長さ $3$ の線分に重なり、4 点が一直線上に並ぶ「つぶれた四角形」になる。面積 $0$ はこの様子を表している。
どちらも prop-brg-exists の仮定「どの 1 つも他の 3 つの和より小さい」を満たしていない。

大学数学で見る

一般の四角形：Bretschneider の公式

円に内接しない凸四角形でも、向かい合う角 $B$、$D$ を使うと
$$ K^2=(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)-abcd\cos^2\frac{B+D}2 $$
が成り立つ。これを Bretschneider の公式 という（MWBre。証明は用語解説 Heronの公式の定理「凸四角形の面積」にあり、prf-brg-main と同じく対角線で 2 つの三角形に分け、2 つの余弦定理を 2 乗して足す方法である。この記事では証明しない）。円に内接すれば $B+D=180^\circ$、$\cos90^\circ=0$ で、thm-brg-main に戻る。
ex-brg-cx-parallelogram の平行四辺形では $B=D=60^\circ$、$\cos^260^\circ=\dfrac14$ なので $K^2=144-3\cdot4\cdot3\cdot4\cdot\dfrac14=144-36=108$、$K=6\sqrt3$ で、正しい面積が出る。
右辺の第 2 項は $0$ 以上なので、4 辺を固定した凸四角形の面積は $\sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}$ 以下で、等号は $\cos\dfrac{B+D}2=0$、つまり円に内接するときに限る。円に内接する四角形は、同じ 4 辺をもつ凸四角形の中で面積が最大のものである（MWBre と同じ著者の Brahmagupta の公式の頁 MWBra にも同じ事実が述べられている）。周の長さを固定した図形の中で面積が最大になるのは円である、という等周不等式（等周不等式（高校数学））と同じく、ここでも「円」が面積を最大にしている。

距離の関係として見る

4 点 $\mathrm A,\mathrm B,\mathrm C,\mathrm D$ の間の 6 つの距離（4 辺と 2 本の対角線）を考える。4 点が同じ平面の上にあることは、Heronの公式とCayley–Menger行列式の 5 次の Cayley–Menger 行列式が $0$ になることで表される。4 点がさらに同じ円の上に並ぶと、6 つの距離の間にもう 1 つの関係 Ptolemyの定理 $\mathrm{AC}\cdot\mathrm{BD}=ac+bd$ が加わる。一般の四角形では 4 辺だけでは対角線も面積も決まらないが、円に内接する四角形では、cor-brg-diagonals と thm-brg-main で見たように、対角線も面積も 4 辺だけで決まる。三角形では 3 点がいつも同じ円の上にあるので、このような追加の条件なしに Heron の公式が成り立つ。

さらに先へ

三角形の面積を 3 辺で表す Heron の公式の証明は三角形の面積の公式と余弦定理（高校数学）、行列式による書き直しと四面体への一般化は Heronの公式とCayley–Menger行列式にある。
円に内接する四角形の判定（対角の和、外角、見込む角）は円に内接する四角形、対角線の積の関係は Ptolemyの定理で扱う。
辺が整数で面積も整数の円に内接する四角形（ex-brg-diameter の $25,60,52,39$ はその例）は、辺と面積が整数の三角形（Heron 三角形。用語解説 Heronの公式）の四角形版である。