複体とホモロジー
概要
複体（chain complex）とホモロジー（homology）とは、アーベル圏の対象の列 $(C_n)_{n\in\mathbb Z}$ と射（差分）$d_n\colon C_n\to C_{n-1}$ の組であって $d_{n-1}\circ d_n=0$ を満たすもの（複体）、およびそのサイクル対象を境界対象で割った商対象 $H_n(C):=Z_n(C)/B_n(C)$（ホモロジー）のことをいう。ホモロジーは複体が完全列からどれだけ外れているかを測る不変量であり、鎖写像・鎖ホモトピー・擬同型の理論を通じて導来圏の構成へとつながる。
定義
アーベル圏 $\mathcal A$ における複体（chain complex）とは、対象の列 $(C_n)_{n\in\mathbb Z}$ と射の列 $d_n\colon C_n\to C_{n-1}$（差分または境界射、boundary map）の組であって、任意の $n$ について
$$
d_{n-1}\circ d_n=0
$$
を満たすものをいう。この複体を $C_\bullet=(C_n,d_n)$ と書く。
複体 $C_\bullet=(C_n,d_n)$ に対し、
$$
Z_n(C):=\ker d_n,\qquad B_n(C):=\operatorname{im}d_{n+1}
$$
（それぞれ $C_n$ の部分対象）を、$n$ 次のサイクル対象（cycle）、境界対象（boundary）という。def-complexの条件 $d_n\circ d_{n+1}=0$ により $B_n(C)$ は部分対象として $Z_n(C)$ に含まれる（prop-boundary-in-cycle）ので、商対象
$$
H_n(C):=Z_n(C)/B_n(C):=\operatorname{coker}\bigl(B_n(C)\hookrightarrow Z_n(C)\bigr)
$$
が定義できる。これを複体 $C_\bullet$ の $n$ 次ホモロジー対象（homology）という。
二つの複体 $C_\bullet=(C_n,d_n^C)$、$D_\bullet=(D_n,d_n^D)$ の間の鎖写像（chain map）$f\colon C_\bullet\to D_\bullet$ とは、射の族 $f_n\colon C_n\to D_n$ であって、任意の $n$ について
$$
d_n^D\circ f_n=f_{n-1}\circ d_n^C
$$
を満たすものをいう。
二つの鎖写像 $f,g\colon C_\bullet\to D_\bullet$ が鎖ホモトピック（chain homotopic）であるとは、射の族 $s_n\colon C_n\to D_{n+1}$ が存在して、任意の $n$ について
$$
f_n-g_n=d_{n+1}^D\circ s_n+s_{n-1}\circ d_n^C
$$
を満たすことをいう。この $(s_n)$ を $f$ と $g$ の間の鎖ホモトピーという。
鎖写像 $f\colon C_\bullet\to D_\bullet$ が擬同型（quasi-isomorphism）であるとは、誘導される射 $H_n(f)\colon H_n(C)\to H_n(D)$（prop-chain-map-induces-homology）がすべての $n$ で同型射であることをいう。
直感
複体は、対象を並べて隣り合うものどうしを射（差分）でつなぎ、二回合成すると必ず $0$ になるようにしたものである。これは完全列で導入した「複体」（合成が零になる列）と本質的に同じ構造であり、添字の向きを逆にした呼び方（コチェイン複体では $C^n:=C_{-n}$、$d^n:=d_{-n+1}$ と読み替える）も広く使われる。
ホモロジー $H_n(C)$ は、複体が $n$ 番目の対象において完全列の意味で完全であることからどれだけ外れているかを測る量である。$B_n(C)=Z_n(C)$（部分対象として一致する）ならば $H_n(C)=0$ であり、これはちょうど完全性の定義そのものである。したがってホモロジーがすべての次数で $0$ になる複体とは、まさに完全列にほかならない（prop-exact-iff-zero-homology）。逆にホモロジーが非自明であれば、それは複体のどこに「完全性の欠損」があるかを対象として記録している。
鎖写像は複体どうしの構造を保つ射であり、差分と可換であることによってサイクル・境界をそれぞれサイクル・境界へ写すので、自動的にホモロジーの間の射を誘導する。鎖ホモトピーは、この誘導射が等しくなるための十分条件を「一段高い次数への補正項」として与えるものであり、後にホモトピー圏を構成する際の同値関係の基礎になる。擬同型は、複体自身は同型でなくてもホモロジーだけを見れば区別がつかない、という関係を捉えたものであり、これを人為的に同型へ格上げする操作（局所化）が導来圏の構成の出発点になる。
例
短完全列 $0\to A\xrightarrow{f}B\xrightarrow{g}C\to 0$ は、$C_2:=A$、$C_1:=B$、$C_0:=C$、$d_2:=f$、$d_1:=g$、他は $0$ とおくことで複体 $C_\bullet$ とみなせる（$d_1\circ d_2=g\circ f=0$ は短完全列の定義から従う）。このとき
$$
Z_2(C)=\ker f=0,\quad B_2(C)=\operatorname{im}(0)=0,\quad H_2(C)=0
$$
$$
Z_1(C)=\ker g=\operatorname{im}f=B_1(C),\quad H_1(C)=0
$$
$$
Z_0(C)=C,\quad B_0(C)=\operatorname{im}g=C,\quad H_0(C)=0
$$
となり、すべての次数でホモロジーが消える。これはprop-exact-iff-zero-homologyにより、短完全列が（両端も含めて）完全列であることの言い換えにほかならない。
すべての $n$ で $d_n=0$ であるような複体（差分の零な複体）を考えると、$Z_n(C)=\ker 0=C_n$、$B_n(C)=\operatorname{im}0=0$ であるから、$H_n(C)=C_n/0\cong C_n$ となる。すなわちホモロジーは元の対象をそのまま復元する。これは複体が「完全性から最大限外れている」極端な例である。
性質
複体 $C_\bullet=(C_n,d_n)$ において、$B_n(C)=\operatorname{im}d_{n+1}$ は $C_n$ の部分対象として $Z_n(C)=\ker d_n$ に含まれる。
アーベル圏の性質（Freyd–Mitchellの埋め込み定理Wei94）により、この証明は要素を用いた議論として正当に行える。任意の（一般化）元 $x\in C_{n+1}$ に対し、複体の条件 $d_n\circ d_{n+1}=0$ より
$$
d_n(d_{n+1}(x))=(d_n\circ d_{n+1})(x)=0
$$
であるから、$d_{n+1}(x)\in\ker d_n=Z_n(C)$ である。$x$ は任意であったから $\operatorname{im}d_{n+1}\subset Z_n(C)$、すなわち $B_n(C)\subset Z_n(C)$ が部分対象として成り立つ。$\blacksquare$
複体 $C_\bullet=(C_n,d_n)$ が対象 $C_n$ において完全列の意味で完全である（すなわち $B_n(C)=Z_n(C)$）ことと、$H_n(C)=0$（零対象）であることは同値である。
包含 $\iota\colon B_n(C)\hookrightarrow Z_n(C)$ はモノ射であり、$H_n(C)=\operatorname{coker}\iota$ である。
（$\Rightarrow$）$B_n(C)=Z_n(C)$（部分対象として一致する）ならば $\iota$ は同型射であり、同型射の余核は零対象である（同型射はエピ射であり、アーベル圏の性質「エピ射であることと余核の余定義域が零対象であることは同値」による）。ゆえに $H_n(C)=\operatorname{coker}\iota=0$。
（$\Leftarrow$）$H_n(C)=\operatorname{coker}\iota=0$（余定義域が零対象）ならば、アーベル圏の性質より $\iota$ はエピ射である。$\iota$ はもともとモノ射であったから、$\iota$ はモノ射かつエピ射であり、短完全列の証明で用いたのと同じ議論（正規性より $\iota\cong\ker(\operatorname{coker}\iota)$ であり、右辺は余定義域が零対象であるような射の核であるから恒等射に同型である）により $\iota$ は同型射である。ゆえに $B_n(C)=Z_n(C)$ が部分対象として成り立つ。$\blacksquare$
鎖写像 $f\colon C_\bullet\to D_\bullet$ は、各 $n$ に対して射 $H_n(f)\colon H_n(C)\to H_n(D)$ を誘導する。
アーベル圏の性質（Freyd–Mitchellの埋め込み定理Wei94）により、要素を用いて議論する。$z\in Z_n(C)$（すなわち $d_n^C(z)=0$）ならば、鎖写像の条件より
$$
d_n^D(f_n(z))=f_{n-1}(d_n^C(z))=f_{n-1}(0)=0
$$
であるから $f_n(z)\in Z_n(D)$。ゆえに $f_n$ は $Z_n(C)\to Z_n(D)$ を誘導する。さらに $b=d_{n+1}^C(x)\in B_n(C)$（$x\in C_{n+1}$）ならば、鎖写像の条件より
$$
f_n(b)=f_n(d_{n+1}^C(x))=d_{n+1}^D(f_{n+1}(x))\in B_n(D)
$$
であるから、この $Z_n(C)\to Z_n(D)$ は $B_n(C)$ を $B_n(D)$ の中へ送る。したがって商対象への誘導射 $H_n(f)\colon H_n(C)=Z_n(C)/B_n(C)\to H_n(D)=Z_n(D)/B_n(D)$ が一意に定まる。$\blacksquare$
鎖写像 $f,g\colon C_\bullet\to D_\bullet$ が鎖ホモトピックならば、$H_n(f)=H_n(g)$ がすべての $n$ で成り立つ。
アーベル圏の性質（Freyd–Mitchellの埋め込み定理Wei94）により、要素を用いて議論する。鎖ホモトピー $(s_n)$ を $f_n-g_n=d_{n+1}^D\circ s_n+s_{n-1}\circ d_n^C$ とする。$z\in Z_n(C)$ とすると $d_n^C(z)=0$ であるから、
$$
f_n(z)-g_n(z)=d_{n+1}^D(s_n(z))+s_{n-1}(d_n^C(z))=d_{n+1}^D(s_n(z))\in B_n(D).
$$
したがって $f_n(z)$ と $g_n(z)$ は $H_n(D)=Z_n(D)/B_n(D)$ において同じ類を代表する。ゆえに $H_n(f)([z])=H_n(g)([z])$ が任意の類 $[z]\in H_n(C)$ について成り立ち、$H_n(f)=H_n(g)$ である。$\blacksquare$
以上の命題により、ホモロジーを取る操作 $C_\bullet\mapsto H_n(C)$ は、複体と鎖写像の圏から $\mathcal A$ への関手であり、しかも鎖ホモトピーで結ばれた鎖写像を区別しない。この「鎖ホモトピーを法として複体を扱う」という視点を圏として定式化したものがホモトピー圏であり、擬同型を形式的に同型に変える局所化の操作を経て導来圏が構成される。
関連項目
参考文献
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