複体
概要
複体（complex）とは、対象と射を次数順に並べ、連続する二つの射の合成が零になるようにした列である。鎖写像・鎖ホモトピー・擬同型を通じて、ホモロジー代数の基本的な計算対象となる。
概要
複体（complex）とは、対象と射を次数順に並べ、連続する二つの射の合成が零になるようにした列である。鎖写像・鎖ホモトピー・擬同型を通じて、ホモロジー代数の基本的な計算対象となる。
複体は、完全列、位相空間の鎖、加群の分解などを同じ形式で扱う器である。本記事では複体そのもの、鎖写像、鎖ホモトピー、次数移動、写像錐を扱い、ホモロジー対象の詳細はホモロジーへ委ねる。
定義
アーベル圏 $\mathcal A$ における複体（chain complex）とは、対象の列 $(C_n)_{n\in\mathbb Z}$ と射の列 $d_n\colon C_n\to C_{n-1}$（差分または境界射、boundary map）の組であって、任意の $n$ について
$$
d_{n-1}\circ d_n=0
$$
を満たすものをいう。この複体を $C_\bullet=(C_n,d_n)$ と書く。
二つの複体 $C_\bullet=(C_n,d_n^C)$、$D_\bullet=(D_n,d_n^D)$ の間の鎖写像（chain map）$f\colon C_\bullet\to D_\bullet$ とは、射の族 $f_n\colon C_n\to D_n$ であって、任意の $n$ について
$$
d_n^D\circ f_n=f_{n-1}\circ d_n^C
$$
を満たすものをいう。
二つの鎖写像 $f,g\colon C_\bullet\to D_\bullet$ が鎖ホモトピック（chain homotopic）であるとは、射の族 $s_n\colon C_n\to D_{n+1}$ が存在して、任意の $n$ について
$$
f_n-g_n=d_{n+1}^D\circ s_n+s_{n-1}\circ d_n^C
$$
を満たすことをいう。この $(s_n)$ を $f$ と $g$ の間の鎖ホモトピーという。
鎖写像 $f\colon C_\bullet\to D_\bullet$ が擬同型（quasi-isomorphism）であるとは、誘導される射 $H_n(f)\colon H_n(C)\to H_n(D)$（prop-chain-map-induces-homology）がすべての $n$ で同型射であることをいう。
射が次数を上げる列
$$
\cdots\longrightarrow C^{n-1}\xrightarrow{d^{n-1}}C^n
\xrightarrow{d^n}C^{n+1}\longrightarrow\cdots,
\qquad d^{n+1}\circ d^n=0
$$
をコチェイン複体（cochain complex）という。鎖複体から $C^n:=C_{-n}$、$d^n:=d_{-n}$ と読み替えればコチェイン記法になる。添字の上下と差分の次数を混在させないことが重要である。
鎖複体 $C_\bullet$ が上に有界であるとは、ある $N$ が存在して $n>N$ なら $C_n=0$ となることをいう。下に有界も同様に、ある $N$ が存在して $n< N$ なら $C_n=0$ となることをいう。両方を満たす複体を有界複体という。
コチェイン記法では矢印の向きが逆になるため、「上」「下」の用語を使う際はどちらの次数規約かを明示する。
例と反例
短完全列 $0\to A\xrightarrow{f}B\xrightarrow{g}C\to 0$ は、$C_2:=A$、$C_1:=B$、$C_0:=C$、$d_2:=f$、$d_1:=g$、他は $0$ とおくことで複体 $C_\bullet$ とみなせる（$d_1\circ d_2=g\circ f=0$ は短完全列の定義から従う）。このとき
$$
Z_2(C)=\ker f=0,\quad B_2(C)=\operatorname{im}(0)=0,\quad H_2(C)=0
$$
$$
Z_1(C)=\ker g=\operatorname{im}f=B_1(C),\quad H_1(C)=0
$$
$$
Z_0(C)=C,\quad B_0(C)=\operatorname{im}g=C,\quad H_0(C)=0
$$
となり、すべての次数でホモロジーが消える。これはホモロジーにより、短完全列が（両端も含めて）完全列であることの言い換えにほかならない。
対象族 $(C_n)_{n\in\mathbb Z}$ にすべて零射を差分として入れると複体になる。このときサイクルは $C_n$ 全体、境界は零対象なので $H_n(C)\cong C_n$ である。複体であるためには項の並びだけでは足りず差分の指定が必要であり、同じ対象族でも差分を変えれば別の複体になる。
射 $u\colon A\to B$ に対し、$C_1=A$、$C_0=B$、$d_1=u$、他の項と差分を零とすれば複体を得る。この複体の非自明なホモロジーは
$$
H_1(C)=\ker u,
\qquad
H_0(C)=\operatorname{coker}u
$$
である。従って一つの射の核と余核も複体のホモロジーとして同じ形式に入る。
性質と証明
$f\colon C_\bullet\to D_\bullet$、$g\colon D_\bullet\to E_\bullet$ が鎖写像なら、次数ごとの合成
$$
(g\circ f)_n:=g_n\circ f_n
$$
は鎖写像である。次数ごとの恒等射は恒等鎖写像を与える。
鎖写像の可換条件と結合律から
$$
\begin{aligned}
d_n^E\circ(g_n\circ f_n)
&=(d_n^E\circ g_n)\circ f_n\\
&=(g_{n-1}\circ d_n^D)\circ f_n\\
&=g_{n-1}\circ(d_n^D\circ f_n)\\
&=g_{n-1}\circ(f_{n-1}\circ d_n^C)\\
&=(g_{n-1}\circ f_{n-1})\circ d_n^C
\end{aligned}
$$
となる。恒等射についても $d_n\circ\operatorname{id}_{C_n}=\operatorname{id}_{C_{n-1}}\circ d_n$ である。
従って複体と鎖写像は圏 $\operatorname{Ch}(\mathcal A)$ をなす。上に有界、下に有界、有界な複体のなす部分圏をそれぞれ $\operatorname{Ch}^-(\mathcal A)$、$\operatorname{Ch}^+(\mathcal A)$、$\operatorname{Ch}^{\mathrm b}(\mathcal A)$ と書く流儀がある。添字規約により $+$ と $-$ の呼び方が逆転し得るので、使用する文献の規約を確認する。
鎖写像 $f\colon C_\bullet\to D_\bullet$ は、各 $n$ に対して射 $H_n(f)\colon H_n(C)\to H_n(D)$ を誘導する。
加群の圏では要素を用いて示せる。一般のアーベル圏でも同じ図式追跡が成り立る。$z\in Z_n(C)$（すなわち $d_n^C(z)=0$）と書けば、鎖写像の条件より
$$
d_n^D(f_n(z))=f_{n-1}(d_n^C(z))=f_{n-1}(0)=0
$$
であるから $f_n(z)\in Z_n(D)$。ゆえに $f_n$ は $Z_n(C)\to Z_n(D)$ を誘導する。さらに $b=d_{n+1}^C(x)\in B_n(C)$（$x\in C_{n+1}$）ならば、鎖写像の条件より
$$
f_n(b)=f_n(d_{n+1}^C(x))=d_{n+1}^D(f_{n+1}(x))\in B_n(D)
$$
であるから、この $Z_n(C)\to Z_n(D)$ は $B_n(C)$ を $B_n(D)$ の中へ送る。したがって商対象への誘導射 $H_n(f)\colon H_n(C)=Z_n(C)/B_n(C)\to H_n(D)=Z_n(D)/B_n(D)$ が一意に定まる。$\blacksquare$
鎖写像 $f,g\colon C_\bullet\to D_\bullet$ が鎖ホモトピックならば、$H_n(f)=H_n(g)$ がすべての $n$ で成り立つ。
加群の圏では要素を用いて示せ、一般のアーベル圏でも同じ図式追跡が成り立る。鎖ホモトピー $(s_n)$ を $f_n-g_n=d_{n+1}^D\circ s_n+s_{n-1}\circ d_n^C$ とする。$z\in Z_n(C)$ とすると $d_n^C(z)=0$ であるから、
$$
f_n(z)-g_n(z)=d_{n+1}^D(s_n(z))+s_{n-1}(d_n^C(z))=d_{n+1}^D(s_n(z))\in B_n(D).
$$
したがって $f_n(z)$ と $g_n(z)$ は $H_n(D)=Z_n(D)/B_n(D)$ において同じ類を代表する。ゆえに $H_n(f)([z])=H_n(g)([z])$ が任意の類 $[z]\in H_n(C)$ について成り立ち、$H_n(f)=H_n(g)$ である。$\blacksquare$
鎖ホモトピー同値と可縮性
鎖写像 $f\colon C_\bullet\to D_\bullet$ が鎖ホモトピー同値であるとは、鎖写像 $g\colon D_\bullet\to C_\bullet$ が存在して
$$
g\circ f\simeq\operatorname{id}_{C_\bullet},
\qquad
f\circ g\simeq\operatorname{id}_{D_\bullet}
$$
となることをいう。$C_\bullet$ が零複体と鎖ホモトピー同値であるとき、$C_\bullet$ は可縮（contractible）であるという。
鎖ホモトピー同値は擬同型である。特に可縮複体のホモロジーはすべて零である。
$g$ を鎖ホモトピー逆とする。鎖ホモトピックな写像はホモロジー上で同じ射を誘導するので
$$
H_n(g)\circ H_n(f)=H_n(g\circ f)=\operatorname{id}_{H_n(C)},
$$
$$
H_n(f)\circ H_n(g)=H_n(f\circ g)=\operatorname{id}_{H_n(D)}
$$
である。従って $H_n(f)$ は同型であり、$f$ は擬同型である。可縮複体では恒等射が零写像と鎖ホモトピックなので、ホモロジー上の恒等射が零射になる。ゆえに各 $H_n(C)$ は零対象である。
逆は一般に成り立たない。ホモロジーがすべて消える完全複体でも、追加の分裂条件がなければ可縮とは限らない。従って「acyclic」と「contractible」を同義語として使ってはいけない。
次数移動
鎖複体 $C_\bullet$ のシフト $C[1]$ を
$$
C[1]_n:=C_{n-1},
\qquad
d_n^{C[1]}:=-d_{n-1}^C
$$
で定める。符号を入れることで再び $d^{C[1]}\circ d^{C[1]}=0$ となる。文献によって $C[1]_n=C_{n+1}$ とする逆の規約もあるため、次数の方向を確認する必要がある。
上の規約では
$$
H_n(C[1])\cong H_{n-1}(C)
$$
が自然に成り立つ。
差分の符号を変えても核と像は変わらない。従って
$$
Z_n(C[1])=\ker(-d_{n-1}^C)=Z_{n-1}(C),
$$
$$
B_n(C[1])=\operatorname{im}(-d_n^C)=B_{n-1}(C)
$$
である。商を取れば主張を得る。
写像錐
鎖写像 $f\colon C_\bullet\to D_\bullet$ の写像錐（mapping cone）を
$$
\operatorname{Cone}(f)_n:=D_n\oplus C_{n-1}
$$
とし、差分を
$$
d_n^{\operatorname{Cone}(f)}(y,x)
:=(d_n^D(y)+f_{n-1}(x),-d_{n-1}^C(x))
$$
で定める。
上の写像錐について
$$
d_{n-1}^{\operatorname{Cone}(f)}\circ d_n^{\operatorname{Cone}(f)}=0
$$
が成り立つ。
$(y,x)\in D_n\oplus C_{n-1}$ に二回差分を施すと、第2成分は
$$
(-d_{n-2}^C)(-d_{n-1}^C(x))
=d_{n-2}^C d_{n-1}^C(x)=0
$$
である。第1成分は
$$
d_{n-1}^D(d_n^D(y)+f_{n-1}(x))
+f_{n-2}(-d_{n-1}^C(x))
$$
$$
=d_{n-1}^D d_n^D(y)
+d_{n-1}^D f_{n-1}(x)
-f_{n-2}d_{n-1}^C(x)=0
$$
となる。最後に複体条件と鎖写像条件を用いた。
写像錐は鎖写像が擬同型であるかを測り、導来圏の三角構造を作る基本対象である。詳細な長完全列や導来圏での役割は導来圏へ委ねる。
誤解しやすい点
- 複体条件は各差分が零であることではなく、隣接する二つの差分の合成が零であることである。
- 鎖複体とコチェイン複体では次数の向きが逆であり、シフトの符号規約も文献により異なる。
- 擬同型は各次数の射 $f_n$ が同型であることを要求しない。ホモロジー上の射だけが同型であればよい。
- 鎖ホモトピー同値なら擬同型だが、一般の擬同型が鎖ホモトピー同値とは限らない。
- ホモロジーの定義・長完全列・具体計算はホモロジーで扱い、本記事は複体の構造と射を主題とする。
複体、鎖写像、鎖ホモトピー、シフト、写像錐については Wei94（Chapter 1, pp. 1--29）を参照した。
関連項目
参考文献
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