テスト圏

1. $i_A(\varphi)$ に関するコンマ圏 $(A/F)/(a,x)$ の対象は、$b\in A$、$y\in F(b)$、$u\colon b\to a$ で $\varphi(y)=x\circ u$ をみたすもの、すなわち $a\times_GF$ の $b$ での元 $(u,y)$ であり、射も一致するので $(A/F)/(a,x)\cong A/(a\times_GF)$ である。

2. $G'\to G$ による引き戻し $F'=G'\times_GF\to G'$ と $x\colon a\to G'$ について $a\times_{G'}F'\cong a\times_GF$ なので、1 により引き戻しも非球面的である。非球面的な関手は $\mathcal W$ に属する（基本局所化子 の命題「非球面的な関手は弱同値」）ので、非球面的な射は $\mathcal W_A$ に属する。後半は $A/F\to A/G\to e$ と (FS2) による。

3. $\mathbf 1$ の元 $a\to\mathbf 1$ はただ 1 つなので、1 により前半が従う。$F\times T\to T$ は $F\to\mathbf 1$ の引き戻しなので 2 による。$\square$

$A/F_i$ は $A/F$ の充満部分圏で、射の始点へ向かって閉じている（$(b,y)\to(a,x)$ で $x\in F_i(a)$ なら $y\in F_i(b)$）。$\chi_i\colon A/F\to[1]$ を $A/F_i$ の上で $0$、その外で $1$ とおくと関手であり、$\rho=(\chi_1,\chi_2)\colon A/F\to[1]\times[1]$ は、$F=F_1\cup F_2$ により $(1,1)$ を除いた順序集合 $P=\{(0,0),(0,1),(1,0)\}$ に値をとる。$P$ の各元 $p$ について $(A/F)/p$ は $\rho(\xi)\le p$ をみたす対象 $\xi$ の充満部分圏で、$p=(0,0),(0,1),(1,0)$ に対しそれぞれ $A/(F_1\cap F_2)$、$A/F_1$、$A/F_2$ である。仮定によりこれらは非球面的なので $\rho$ は非球面的で $\mathcal W$ に属する。$P$ は始対象 $(0,0)$ をもつので非球面的であり（基本局所化子 の命題「随伴をもつ関手」）、$A/F\to P\to e$ と (FS2) により $A/F$ は非球面的である。$\square$

(a)⇒(e)：$i_A^*(e)=\mathbf 1$、$A/\mathbf 1\cong A$ なので $\varepsilon_e\colon A\to e$ が $\mathcal W$ に属し、$A$ は非球面的である。$f\colon C\to D$ について余単位の自然性 $f\circ\varepsilon_C=\varepsilon_D\circ i_Ai_A^*(f)$ と (FS2) により、$f\in\mathcal W$ なら $i_Ai_A^*(f)\in\mathcal W$、すなわち $i_A^*(f)\in\mathcal W_A$ である。

(e)⇒(d)：$C\to e$ が $\mathcal W$ に属するので $i_A^*(C)\to\mathbf 1$ は $\mathcal W_A$ に属し、$A/i_A^*(C)\to A$ が $\mathcal W$ に属する。$A\to e$ も属するので $A/i_A^*(C)$ は非球面的である。(d)⇒(c) は (LB) による。

(c)⇒(b)：$c\in C$ について $(A/i_A^*(C))/c$ の対象は $(a,x,p)$（$x\colon A/a\to C$、$p\colon x(a,1_a)\to c$）である。$(a,1_a)$ は $A/a$ の終対象なので、$p$ は自然変換 $x\Rightarrow c$（定値関手）と一対一に対応し、組 $(x,p)$ は関手 $A/a\to C/c$ と同じものである。射も対応するので $(A/i_A^*(C))/c\cong A/i_A^*(C/c)$ で、$C/c$ は終対象をもつから (c) によりこれは非球面的である。(b)⇒(a) は非球面的な関手が $\mathcal W$ に属することによる。$\square$

三角等式と $\varepsilon_{i_A(F)}\in\mathcal W$ から (FS2) により $i_A(\eta_F)\in\mathcal W$、すなわち $\eta_F\in\mathcal W_A$ である。定義により $i_A(\mathcal W_A)\subset\mathcal W$、thm-tc-weak-test (e) により $i_A^*(\mathcal W)\subset\mathcal W_A$ なので、圏の局所化 の命題「随伴の局所化」により随伴 $\bar i_A\dashv\bar i_A^*$ が誘導され、その単位・余単位は $Q\eta$、$Q'\varepsilon$ を延ばしたものである。局所化のどの対象も $Q(F)$ の形なので、成分はすべて同型であり、二つの関手は互いに逆な圏同値である。（局所化の存在は、必要なら宇宙を大きくとって保証する。）$\square$

1. $F|_{A/a}(b,v)=F(b)$ とおく。$(A/a)/F|_{A/a}$ の対象 $((b,v),y)$（$v\colon b\to a$、$y\in F(b)$）は $a\times F$ の $b$ での元 $(v,y)$ と同じなので、要点の第 1 の同型を得る。また $(A/a)/(b,v)\cong A/b$ から第 2 の同型を得る。thm-tc-weak-test (c) により、$A/a$ が弱テスト圏であることは、終対象をもつすべての $C$ について $i_A^*(C)|_{A/a}$ が非球面的、すなわち $a\times i_A^*(C)$ が非球面的であることと同値である。これがすべての $a$ で成り立つことは、prop-tc-aspherical-morphism 3 により $i_A^*(C)$ が局所非球面的であることと同値である。

2. 弱テスト圏は非球面的である（thm-tc-weak-test (e)）。逆に $A$ が非球面的な局所テスト圏なら、終対象をもつ $C$ について $i_A^*(C)\to\mathbf 1$ は非球面的なので $\mathcal W_A$ に属し、$A/i_A^*(C)\to A\to e$ と (FS2) により $i_A^*(C)$ は非球面的である。thm-tc-weak-test (c) により $A$ は弱テスト圏である。

3. $(A/F)/(a,x)\cong A/a$ なので前半が従う。$A/F$ は $F$ が非球面的なとき非球面的なので、2 により後半が従う。$\square$

1. prop-tc-aspherical-morphism 3 により射影 $I\times X\to X$ は $\mathcal W_A$ に属し、$\partial_\varepsilon\times1_X$ はその切断なので (FS2) により $\mathcal W_A$ に属する。$f=h(\partial_0\times1)$、$g=h(\partial_1\times1)$ だから $f\in\mathcal W_A\iff h\in\mathcal W_A\iff g\in\mathcal W_A$ である。

2. $1_X$ から $sp$（$p\colon X\to\mathbf 1$、$s\colon\mathbf 1\to X$）への $I$ ホモトピー $h$ と $a\in A$ について、$h\times1_a$ は $1_{X\times a}$ から $(s\times1_a)(p\times1_a)$ への $I$ ホモトピーである。1 により $(s\times1_a)(p\times1_a)\in\mathcal W_A$、$(p\times1_a)(s\times1_a)=1_a$ なので (FS3) により射影 $X\times a\to a$ は $\mathcal W_A$ に属する。$a$ は非球面的なので $X\times a$ も非球面的であり、prop-tc-aspherical-morphism 3 により $X$ は局所非球面的である。$\square$

(a)⇒(b)：関手 $A/(F\times G)\to A/F\times A/G$ のコンマ圏は要点の同型により非球面的なので、この関手は $\mathcal W$ に属する。$F,G$ が非球面的なら $A/F\times A/G$ は非球面的（基本局所化子 の命題「非球面的な圏との直積」）なので、$A/(F\times G)$ も非球面的である。(b)⇒(d)：$a$ は非球面的なので $a\times F$ は非球面的であり、prop-tc-aspherical-morphism 3 による。(d)⇒(c) は表現可能前層が非球面的であることによる。(c)⇒(a) は prop-tc-aspherical-morphism 3 による。(a)⇔(e)：対角関手のコンマ圏 $A/(a,b)$ は $A/(a\times b)$ と同型である。最後に、$a\in A$ について (c) により $a\to\mathbf 1$ は非球面的で、$a$ は非球面的なので prop-tc-aspherical-morphism 2 により $\mathbf 1$、すなわち $A$ は非球面的である。$\square$