組合せ的Pontryagin類

$u_r$ は $u'\in H^r(S,S\setminus D^\circ)$ の像なので、$c\smile f^*u_r$ は $c\smile f^*u'\in H^n(X,X\setminus f^{-1}(D^\circ))$ の像であり、その $\mu$ での値は $c\smile f^*u'$ の $\mu$ の像での値に等しい。定義の同型で移すと、$f\circ\varphi=\mathrm{pr}_2$ から $f^*u'$ は $\mathrm{pr}_2^*u_D$ に写る。また $\varphi$ の $F\times\{y\}$ への制限は $j$ で、$F\times D\to F$ はホモトピー同値なので、$c$ は $\mathrm{pr}_1^*j^*c$ に写る。よって値は $\langle j^*c\times u_D,\mu_D\rangle=\langle j^*c,\mu_F\rangle$ である。$\square$

1：$f$ は滑らかな写像 $g$ にホモトピックなので（最後の段落）$f^*u_r=g^*u_r$ であり、thm-cpc-smooth により $\lambda(g^*u_r)$ は符号数で整数である。

2：$M$ は有限単体複体に三角形分割できる（Whitehead三角形分割 の定理「Cairns–Whitehead の定理」）ので $H^r(M;\mathbb Z)$ は有限生成であり、像 $\lambda(H^r)$ と $\mathbb Z$ の和は $\mathbb Q$ の有限生成部分群、すなわち $\frac1D\mathbb Z$ の形である。$\{x:\lambda(x)\in\mathbb Z\}$ は $H^r(M;\mathbb Z)\to\frac1D\mathbb Z/\mathbb Z$ の核なので、指数は $D$ 以下である。

3：$c$ と $L_i(p(M))$ の差 $\delta$ は、すべての滑らかな $f$ について $\langle\delta\smile f^*u_r,[M]\rangle=0$ をみたす。1 と同じく連続写像の類はすべて滑らかな代表をもち、rem-cpc-serre により $f^*u_r$ は $H^r(M)$ を張る。Poincaré 双対の対は非退化（Poincaré双対 の系「体係数の非退化対」）なので $\delta=0$ である。$\square$

$S^r\subset\mathbb R^{r+1}$ とみる。$M$ の有限個の開集合で、その上で $f$ の値の変化が $\frac12$ 未満のものによる被覆と、それに従う滑らかな 1 の分割 $\{\rho_k\}$ をとり、各開集合の点 $x_k$ で $G:=\sum_k\rho_kf(x_k)$ とおくと、$G$ は滑らかで $\lvert G-f\rvert< \frac12$ である。$g:=G/\lvert G\rvert$ は滑らかで、$(1-s)f+sG$ は $0$ にならないので、正規化した直線のホモトピーで $f\simeq g$ である。

$\Lambda$ の頂点を $A_0,\dots,A_r$、$y=\sum_jt_jA_j$（$t_j>0$）とする。$x\in g^{-1}(V)$ を含む $K$ の閉単体 $\tau$ をとると、$g(\tau)$ は $V$ と交わる $\Lambda$ の面なので $\Lambda$ であり、$x$ の重心座標のうち $g$ で $A_j$ に行く頂点の分の和 $s_j$ は正である。その頂点だけの座標を $s_j$ で割った点を $x_j$ とすると、$x=\sum_js_jx_j$、$g(x)=\sum_js_jA_j$ である。$\psi(x):=(g(x),\sum_jt_jx_j)$ とおき、逆を $(\sum_js_jA_j,\sum_jt_jz_j)\mapsto\sum_js_jz_j$（$z$ も同じように分解する）で定める。どちらも各閉単体の上の連続な式で、面の上で一致するので同相写像であり、$z\in g^{-1}(y)$ では $s_j=t_j$ なので $\psi(z)=(y,z)$ である。$\square$

1．$y$ を含む開単体 $V$ の上で $f^{-1}(V)\cong V\times F$ であり、$f^{-1}(V)$ は $|K|$ の開集合なので、点 $(v,x)$ の局所ホモロジーは $H_*(V,V\setminus v)\otimes H_*(F,F\setminus x)$（体係数の対の Künneth）に等しい。前者は次数 $r$ だけ $\mathbb Q$ なので、$F$ の局所ホモロジーは次数 $4i$ だけ $\mathbb Q$ である。$V$ の中に閉単体 $D\subset D_1$ をとれば積の形になる。$y$ が頂点になるまで細分すれば $F$ は部分複体である（MS74 p. 237）。

2・3．$V$ の中では逆像が向きごと同相なので $\sigma(F)$ は一定である。PL ホモトピー $H\colon|K|\times[0,1]\to\Sigma^r$ を単体写像にし、一般の点 $y$ をとると、$H^{-1}(y)$ は境界付きの有理ホモロジー多様体で、境界は $f^{-1}(y)$ と向きを逆にした $g^{-1}(y)$ の非交和である。境界の符号数は $0$ なので $\sigma(f^{-1}(y))=\sigma(g^{-1}(y))$ である。ホモトピックな PL 写像の間に PL ホモトピーがとれること、$H^{-1}(y)$ が境界付きの有理ホモロジー多様体であること、境界の向きの細部は MS74 p. 237 に従い、この記事では証明しない。異なる開単体の点 $y_1,y_2$ は、恒等写像にホモトピックな PL 同相 $\Sigma^r\to\Sigma^r$ で $y_1$ を $y_2$ に写して比べる（MS74 Lemma 20.3・20.4 の証明、pp. 237–238）。

4．rem-cpc-serre の和の代表 $h$ では、基点でない $y$ について $h^{-1}(y)=f^{-1}(y)\sqcup g^{-1}(y)$ なので、符号数(多様体) の命題「非交和と向きの反転」と同じく $\sigma(h)=\sigma(f)+\sigma(g)$ である。

潰し写像．$\Sigma^r$、$\Sigma^m$ の最高次元の単体 $A$、$B$ をとる。凸胞 $A\times B$ は対として $(\Delta^{r+m},\partial\Delta^{r+m})$ と PL 同相で、境界を 1 点に潰し内部では同相な PL 写像 $\Delta^{r+m}\to\Sigma^{r+m}$ がある（中に小さい単体をとり、残りの環状部分を錐の座標で頂点へ送る）。これと合成し、$A^\circ\times B^\circ$ の外を 1 点に送る写像を $q$ とする。$q$ は $A^\circ\times B^\circ$ 上で同相なので写像度は $\pm1$ で、向きを選んで $+1$ にすると、$H^{r+m}(\Sigma^r\times\Sigma^m;\mathbb Z)$ は $u_r\times u_m$ で生成されるから $q^*u_{r+m}=u_r\times u_m$ である。

検査．$P:=K\times\Sigma^m$ とする。$m>4i$ なので Künneth により $p^*$、$j^*$ は $H^{4i}$ の上で互いに逆の同型であり、$\alpha:=j^*\ell_i(P)$ とおくと $\ell_i(P)=p^*\alpha$ である。$P$ も $4i< (n+m-1)/2$ をみたす。$F$ は PL で、$F^*u_{r+m}=(f\times\mathrm{id})^*(u_r\times u_m)=f^*u_r\times u_m$ である。$q(A^\circ\times B^\circ)$ の一般の点 $w=q(a,a')$ で、$a$ が $f$ の一般の点になるものをとると $F^{-1}(w)=f^{-1}(a)\times\{a'\}$ であり、積の形の近傍で $u_{D_w}$ は $u_{D_a}\times u_{D_{a'}}$ に引き戻され、積の向きの定義から誘導される向きは $\mu_{f^{-1}(a)}$ である。よって $\sigma(F)=\sigma(f)$ であり、thm-cpc-main を $P$ に使うと $\sigma(f)=\langle p^*\alpha\smile(f^*u_r\times u_m),\mu_P\rangle=\langle(\alpha\smile f^*u_r)\times u_m,\mu_P\rangle=\langle\alpha\smile f^*u_r,\mu\rangle$ である。一意性から $\alpha=\ell_i(K)$ である。$\square$

1．$\ell_i(P_m)=p^*\alpha$ なので、$p$ の切断ならどれで引き戻しても $\alpha$ である。$m,l$ を許される値とし、$T:=P_m\times\Sigma^l$、$T':=P_l\times\Sigma^m$、$\tau\colon T\to T'$ を因子の入れ替えとする。$P_m$ に thm-cpc-stability を使うと $\ell_i(T)=\pi_m^*\ell_i(P_m)$（$\pi_m$ は射影）、同様に $\ell_i(T')=\pi_l^*\ell_i(P_l)$ である。クロス積の入れ替えの符号から $\tau_*\mu_T=(-1)^{ml}\mu_{T'}$ なので、thm-cpc-main の PL 不変性と向きの反転により $\tau^*\ell_i(T')=\ell_i(T)$ である。$t(x):=(x,b',c')$、$t'(x):=(x,c',b')$ とすると $\tau t=t'$ なので$$j_m^*\ell_i(P_m)=t^*\ell_i(T)=t^*\tau^*\ell_i(T')=t'^*\ell_i(T')=j_l^*\ell_i(P_l).$$範囲内での一致は thm-cpc-stability である。

2．$h\times\mathrm{id}$ に thm-cpc-main を使い、$j$ で引き戻す。$-\mu$ では $\mu_{P_m}$ も逆になる。

3．$P:=K\times\Sigma^m$ と射影 $p_2\colon P\to\Sigma^m$（$m=(n+m)-4i$）を考える。一般の逆像は $K\times\{y\}$ で、積の向きの定義から誘導される向きは $\mu$ なので $\sigma(p_2)=\sigma(K)$ である。thm-cpc-main から $\sigma(K)=\langle p^*\ell_i(K)\smile p_2^*u_m,\mu_P\rangle=\langle\ell_i(K)\times u_m,\mu_P\rangle=\langle\ell_i(K),\mu\rangle$ である。$\square$

$f(t)=\sqrt t/\tanh\sqrt t$、$\log f(t)=\sum_kc_kt^k$ とし、$\omega_1,\dots,\omega_i$ を 1 の $i$ 乗根とする。$\mathbb C[t]$ で $\prod_j(1+\omega_jt)=1+(-1)^{i+1}t^i$ なので基本対称式は $\sigma_k=0$（$0< k< i$）、$\sigma_i=(-1)^{i+1}t^i$ である。Hirzebruchの符号数定理 の定理「Hirzebruch の補題」により $L(\prod_j(1+\omega_jt))=\prod_jf(\omega_jt)=\exp(\sum_kc_k(\sum_j\omega_j^k)t^k)$ で、$\sum_j\omega_j^k$ は $i\mid k$ なら $i$、それ以外は $0$ なので、$i$ 次の成分は $ic_it^i$ である。左辺の $i$ 次の成分は（係数を $e$ として）$e\sigma_i$ なので $e=(-1)^{i+1}ic_i$。$x=\sqrt t$ について $(\log(x/\tanh x))'=1/x-2/\sinh2x$ と $x/\sinh x=\sum_k(2-2^{2k})B_{2k}x^{2k}/(2k)!$（$x\coth x=\sum_k2^{2k}B_{2k}x^{2k}/(2k)!$ と $1/\sinh x=\coth\frac x2-\coth x$ から）を積分すると $c_i=(2^{2i}-2)2^{2i}B_{2i}/(2i\,(2i)!)$ で、Bernoulli数 の系「符号と大きさ」により $B_{2i}\ne0$ である。$i=1,2$ で $\frac13$、$\frac7{45}$ になる。$\square$